新课标高中数学必修1-5公式大全

1、数学必修 必修1： 一、集合1、含义与表示:2集合的分类；有限集，无限集2、集合间的关系：子集：对任意 X 真子集：假设A是B的子集，且在 记作A B1-5常用公式及结论1集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性3集合的表示法：列举法，描述法，图示法A，都有x B，那么称A是B的子集。记作A B B中至少存在一个元素不属于集合相等：假设：AA，那么A是B的真子集,B,B A,那么 A B空集： B的元素组成的集合叫并集，记为AUB交集：由集合A和集合B中的公共元素组成的集合叫交集，记为AQ B补集：在全集U中，由所有不属于集合 A的元素组成的集合叫补集，记为Cu A5. 集合aa?,，a.的子

2、集个数共有2n6. 常用数集：自然数集：N正整数集：N二、函数的奇偶性1、定义： 奇函数 <=> f (-X) = -f ( X )3. 元素与集合的关系：属于不属于：4、 集合的运算：并集：由属于集合A或属于集合个；真子集有2n - 1个；非空子集有2n - 1个;整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R，偶函数 <=> f (之)=f ( x)注意定义域2、性质：1奇函数的图象关于原点成中心对称图形；2偶函数的图象关于 y轴成轴对称图形；3如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；4如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数.二、函数的单调性1、定

3、义：对于定义域为 f ( X1 ) < f ( X 2 ) f ( X1 ) > f ( X 2 )2、复合函数的单调性：D的函数f ( x )，假设任意的X1, X2 D，且X1 < X2 f ( X )是增函数 f ( X )是减函数<=>f ( X1 ) -f ( X2 ) < 0<=>f ( X1 ) -f ( X2 ) > 0同增异减<=><=>三、二次函数 y = ax2 +bx + c a 0的性质1顶点坐标公式:b 4ac b22a' 4a,对称轴:b亦，最大小值:4ac b24a2.二次函数

4、的解析式的三种形式(1) 一般式 f (x)(3)两根式f (x)四、指数与指数函数1、幕的运算法那么：ax2 bx c(a a(x G(x0) ; (2)顶点式X2)(a0).f(x) a(x h)2 k(a 0)；1a m ? a n = a m + nm,2a3( am)n=a m n 4( ab ) n = an ? b nnna a_n5 b 6a 0=1 ( a a 0)7a89a2、根式的性质1(n a)n a.2当n为奇数时，a ；当n为偶数时,a,a 0|a| a,a 04、指数函数y = a1定义域：R ;2图象过定点0, 1(a > 0且a丰1)的性质: 值域：(0

5、 , +)0)loga N babN (a 0,a 1,N五、对数与对数函数71对数的运算法那么：1a b = N <=> b = log a N 2log a 1 = 0 36log a (MN) = log a M + log a Nlog Nlog a a = 1 4log a a b = b 5a = NMlog a () = log a M - log a NN8log a N b = b log a N9换底公式:log a N =logb Nlogb a10推论 logam bn logab( a 0,且a 1,mm, n0,且m1, n 1, N0).111log

6、a N = 12常用对数：lg N=log10 N 13自然对数：ln A=log e AlogN a其中1定义域:2、对数函数y = log a x (a > 0且a工1)的性质：(0 , + g); 值域：R 2图象过定点1, 0例如:丄y x x2七. 图象平移：假设将函数 y f (x)的图象右移a、上移b个单位, 得到函数y f(x a) b的图象； 规律：左加右减，上加下减八. 平均增长率的问题九、函数的零点：1.定义：对于y f (x)，把使f(x) 0的X叫yf (x)的零点。即y f (x)的图象与X轴相交时交点的横坐标。如果原来产值的根底数为 N,平均增长率为p，那么

7、对于时间x的总产值y，有y N(1 p)x.2函数零点存在性定理：如果函数y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条a,b内有零点，即存在c曲线，并有f(a) f(b) 0，那么yf (x)在区间a, b，使得f (C)0，这个C就是零点。3二分法求函数零点的步骤：给定精确度 1确定区间 a,b，验证f(a) f(b)0；(2)求a,b的中点x(3计算f(G假设f(xj 0,那么为就是零点；假设f(a) f(xj 0,那么零点Xi,b ；x0a, % 假设f(xj f (b) 0，那么零点x04判断是否到达精确度，假设a b，那么零点为a或b或a,b内任一值。否那么重复2到4必修 2：

8、 一、直线与圆1、斜率的计算公式：k = tan a =y一yia90 ° x佇xx2%2、直线的方程1斜截式y = k x + b,k存在；2点斜式y -y 0 = k ( x -x 0 ) , k存在;3两点式y %y2y1x x1X2X1X2,%x y r cc、y2； 4截距式1 a 0,b 0a b5一般式Ax By c 0(A,B不同时为0)5、点 P ( x 0 , y 0 )到直线 l : Ax + B y + C = 0 的距离：dAX0 By。 C、A2 B23、两条直线的位置关系：11: y = k1 x + b1 12： y = k 2 x + b2I1:A1

9、 x + B1 y + C1 = 012：A2 x + B2 y + C2 = 0重合k1= k 2 且 b1= b2A1B1C1A2B2C 2平行k1= k 2 且 b1 工 b2A1B1C1A2B2C2垂直k1 k 2 = -1A1 A2 + B 1 B2 = 024、两点间距离公式： 设 P1 ( x 1 , y 1)、P 2 ( x 2 , y 2 )，贝U | P1 P2 | =.治 X2y1 y27、圆的方程圆的方程圆心半径标准方程2 2 2x + y = r0, 0r(x -a ) 2 + ( y -b ) 2 = r 2a, br一般方程x 2 + y 2 +D x + E y

10、 + F = 0D 旦2，21VD2 E2 4F2点P(xo, yo)与圆(xa)2(yb)2 r2的位置关系有三种假dJ(a xo)2(b yo)2，那么dr点P在圆外；d r点P在圆上；d rP在圆内(圆心到直线的距离为d)直线Ax By C o与圆(xa)2(y b)22r的位置关系有三种：d r 相离0; dr相切0; d r 相交0.10.两圆位置关系的判疋方法设两圆圆心分别为 O,Q,半径分别为n, r2,O1O2 ddr1r2外离4条公切线5dr1r2外切3条公切线5A D dA D相交2条公切线；dr1r2内切1条公切线5设占八、2内含无公切线.o圆的切线方程圆x2 y2假设切

11、点11.x°x yoy D(x° x)Dx Ey F o .(x°,y°)在圆上，那么切线只有一条，其方程是F o.当(Xo,yo)圆外时,xoxyoyD(xo x) E(yo y)F 0表示过两个切点的切点弦方程. 过圆外一点的切线方程可设为 有两条切线，注意不要漏掉平行于 斜率为k的切线方程可设为圆x2 y2 r2.过圆上的F0(xo,yo)点的切线方程为y yo k(x Xo)，再利用相切条件求 k，这时必 y轴的切线.y kxb，再利用相切条件求 b,必有两条切线.2Xoxy°y r ；斜率为k的圆的切线方程为 y kx二、立体几何一、

12、线线平行判定定理:r .1 k21、平行于同一条直线的两条直线互相平行。22、垂直于同一平面的两直线平行。 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。4、如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。二、线面平行判定定理1、假设平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行。2、假设两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线都与另一个平面平行。 三、面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。四、线线垂直判定定理：假设一直线垂直于一平面，那么这条直线垂直于这个平面内的

13、所有直线。五、线面垂直判定定理1、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。2、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 六、面面垂直判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。七证明直线与直线的平行的思考途径1转化为判定共面二直线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.八证明直线与平面的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行九.证明平面与平面平行的思考途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化

14、为线面垂直.十证明直线与直线的垂直的思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3利用三垂线定理或逆定理； 十一.证明直线与平面垂直的思考途径1转化为该直线与面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直;3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该直线垂直于另一个平行平面;十二.证明平面与平面的垂直的思考途径1转化为判断二面角是直二面角；2三、空间几何体一、正三棱锥的性质转化为线面垂直a,那么有AA1、底面是正三角形，假设设底面正三角形的边长为B图形外接圆半径内切圆半径面积正三角形BDOA a3OD a6s刍42、正三棱锥的辅助线作法一般是:作P0丄底面 ABC于0,贝U O AB

15、C的中心，PO为棱锥的高,取AB的中点D，连结PD、CD，贝U PD为三棱锥的斜高， CD ABC的AB边上的高,且点0在CD上。 P0D和厶POC都是直角三角形，且/ POD = / POC = 90图形外接圆半径内切圆半径面积正方形|a BOB = a2aOA =2S = a 21、底面是正方形，假设设底面正方形的边长为a,那么有二、正四棱锥的性质DA2、正四棱锥的辅助线作法一般是：作PO丄底面ABCD于O,那么O为正方形 ABCD的中心，PO为棱锥的高，取AB的中点E, 连结PE、OE、OA，贝U PE为四棱锥的斜高，点 O在AC上。 POE和厶POA都是直角 三角形，且/ POE =

16、/ POA = 90 °三、长方体长方体的一条对角线长的平方等于这个长方体的长、宽、高的平方和。特殊地，假设正方体的棱长为 a，那么这个正方体的一条对角线长为 .、3a。3a 2R,a 2R2五几何体的外表积体积计算公式四、正方体与球1、设正方体的棱长为它的外接球半径为Ri ,它的内切球半径为R2 ,那么CiC1、圆柱：外表积：2冗R2 +2 n Rh体积：n R2h2、圆锥：外表积：n R2+nR_体积：n R2h/3L为母线长3、圆台：外表积：r2R2r Rl体积：V =n h(R即 Rr + r2)/34、球：S球面=4 n R24V球=n R3 其中R为球的半径5、正方体：6

17、、长方体7、棱柱：全面积 &棱锥：全面积a 一边长，S = 6a2 , V = a3a 长 ,b 宽 ,c 高 S = 2(ab+ac+bc) V = abc=侧面积+2X底面积 V = Sh=侧面积+底面积3V= Sh/31 ,9、棱台：全面积=侧面积+上底面积+下底面积 V -S| J® s2 s2h四、三视图 1.投影：把光由一点向外散射形成的投影称为中心投影。把在一束平行光线照射下形成的投影，称为平行投影。平行投影按照投射方向是否正对着投影面，可以分为斜投影和正投影两种。2、光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图 也叫主视图；光线从几

18、何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图或左视图3、长对正，高平齐，宽相等是三视图之间的投影规律，是画图和读图的重要依据 画几何体的三视图时，能看见的轮廓线和棱用实线表示，不能看见的轮廓线和棱用虚线表示。必修3:第一章算法初步1、算法概念：在数学上，现代意义上的“算法通常是指可以用电脑来解决的某一类问题是程序或步骤，这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成2、构成程序框的图形符号及其作用程序框名称功能r>起止框表示一个算法的起始和结束，是任何流程图 不可少的。/ /输入、输

19、出框表示一个算法输入和输出的信息，可用在算法中任何需要输入、输出的位置。处理框赋值、计算，算法中处理数据需要的算式、 公式等分别写在不同的用以处理数据的处 理框内。O判断框判断某一条件是否成立，成立时在出口处标 明“是或“ Y ；不成立时标明“否或“ N 。3、 算法的三种根本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构。结构图请看教材4、 1、辗转相除法：用较大的数除以较小的数所得的余数和较小的数构成新的一对数，继 续做上面的除法，直到大数被小数除尽，这个较小的数就是最大公约数。2、更相减损术。以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比拟，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止

20、，那么这个数等数就是所求的最大公约数。3进位制以k为基数的k进制换算为十进制：nn 110anan i.3iaoka/kan rkarkark十进制换算为k进制：除以k取余，倒序排列第二章统计1 总体和样本：在统计学中，把研究对象的全体叫做总体.把每个研究对象叫做个体.把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体丁的有关性质，一般从总体中随机抽取一局部：，研究，我们称它为样本其中个体的个数称为样本容量.2、简单随机抽样，也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等，完全随机地抽取调查单位。特点是：每个样本单位被抽中的可能性相同。总体个数较少3、 简单随机抽样常用的方法：1抽签法；随机

21、数表法；电脑模拟法；4、系统抽样等距抽样：把总体的单位进行排序，再计算出抽样距离，然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的方法抽取。总体个数较多K抽样距离=N总体规模/n样本规模5、分层抽样：先将总体中的所有单位按照某种特征或标志性别、年龄等划分成假设干 类型或层次，然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系统抽样的方法抽取一个子样 本，最后，将这些子样本合起来构成总体的样本。先以分层变量将总体划分为假设干层，再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。总体中差异明显6、总体分布的估计：一表二图：频率分布表 数据详实频率分布直方图一一分布直观频率分布折线图一一便于观察总体分

22、布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。茎叶图：茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数重复写。7、用样本的数字特征估计总体的数字特征s为标准差1、平均值：XXiX2Xn2、s8、两个变量的线性相关1、概念：1回归直线方程：y a bxnnxy _2回归系数：b 4， a y b xn 2-2X nxi 13.应用直线回归时注意：回归分析前，最好先作出散点图;第三章 概率一、概念1、事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示;S的必然事件;1必然事件：在条件 S下，一定会发生的事件，叫相

23、对于条件2不可能事件：在条件 S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件;3随机事件：在条件 S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；2、古典概型：根本领件：一次试验中可能出现的每一个根本结果； 古典概型的特点：根本领件可列举；每个根本领件都是等可能发生概率计算公式：一次试验的等可能根本领件共有n个，事件A包含了其中的m个根本领件，那么事件A发生的概率p(A)n3、几何概型：特点：所有的根本领件是无限个；每个根本领件都是等可能发生。构成事件A的区域长度(面积或体 积)几何概型概率计算公式：试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)4、 假设An B= e,即不可能

24、同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥；5、假设A n B为不可能事件，A U B为必然事件，即不能同时发生且必有一个发生的两个事件，那么称事件 A与事件B互为对立事件；、概率的根本性质：1必然事件概率为 1,不可能事件概率为 0,因此0W P(A) < 1 ；2当事件 A与B互斥时，满足加法公式：P(A U B)= P(A)+ P(B);3假设事件A与B为对立事件，那么 A U B为必然事件，所以P(A U B)= P(A)+ P(B)=1 ,于是有 P(A)=1 P(B);4互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生，具体包括三种不同的情

25、形：1事件A发生且事件B不发生；2事件A不发生且事件B发生；3事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A与事件B有且仅有一个发生，其包括两种情形；1事件A发生B不发生；2事件B发生事必修4sin件A不发生，对立事件是互斥事件的特殊情形。函数正弦函数余弦函数正切函数图象1IJ rI1 1 uI !|PjTT定义域RRx| x 丰+k n ,k Z2值域-1,1-1,1R周期性2 n2 nn奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间卜一+2k n , +2k n 2 23减区间+2k n , +2k n 2 2增区间-n +2k n , 2k n 减区间2k n , n +2k n (k Z )增区

26、间(-+k n , +k n ) 2 2(k Z )对称轴x = + k n ( k Z ) 2x = k n ( k Z )无对称中心(k n ,0 ) ( k Z )(+ k n ,0 )( k Z ) 2(k ,0 ) ( k Z )2、三角函数与三角恒等变换1、三角函数的图象与性质2、同角三角函数公式tan a cot a =1sin 2a + cos 2 a = 1 tanCOS3、二倍角的三角函数公式sin2 a = 2sin a cos2 tanta n2tan 214、降幕公式cos2cos2 a =2cos2 a - 1cos 2sin21-2 sin2 a = cos2 a

27、1 cos22sin2 a5、升幕公式1 ± Sin2 a = (sin a± COS a ) 21 + cos2 a =2 cos2 a1- cos2 a = 2 sin2 a6、两角和差的二角函数公式sin ( a±3 ) = sin a cos 3 土 cos a sin 3cos ( a±3 ) = cos a cos 3 干 sin a sin 3tantan tan1 tan tan7、两角和差正切公式的变形：tan a 土 tan 3 = tan ( a±3 ) (1 干 tan a tan 3 )1 tan tan 45 tan

28、=tan (+ a1 tan 1 tan 45 tan48、两角和差正弦公式的变形合一变形1 tan tan 45 tan、=tan (- a )41 tan1 tan 45 tana sin bcos. a2b2 sin其中tan9、半角公式:sin-1 coscos21 cos21 cos1 cossin10、三角函数的诱导公式“奇变偶不变,符号看象限。sin ( n a ) = sin a,cos (n a ):=cos a,tan (n a ) = tan a;sin ( n + a ) = sin acos (n + a )=cos atan ( n + a ) = tan asin

29、 (2 n a ) = sin acos (2 n a )=cos atan (2 n a ) = tan asin (a ) = sin acos ( a ) = cos atan ( a ) = tan aSin (a ) = cos a2cos (a )2=sin atan (a ) = cot a2sin ( + a ) = cos a 2cos (+ a )=2:sin atan (+ a ) = cot a211.三角函数的周期公式函数y sin( x),x R及函数y cos( x),x R(A, 3 , 为常数，且23> 0)的周期T ；函数y tan(x ), xk,

30、k Z (A, 3,为常数,2tan AM 0,且AM 0 ,3> 0)的周期 T .sin1 cos1 cos、平面向量一、向量的有关概念1、向量的模计算公式:1向量法:2坐标法：设 a=x, y，那么 | a | =y22、单位向量的计算公式：1与向量a=x, y同向的单位向量是xy2与向量a=x, y反向的单位向量是3、平行向量规定：零向量与任一向量平行。设a=Xi, yi，b =X2, y2，入为实数向量法：a / b b丰0<=> a=入bx x坐标法：a / b b 丰 0<=> x i y2 -X2 yi = 0 <=> yi 工 0 ,

31、 y 2 丰0yiy24、垂直向量规定：零向量与任一向量垂直。设a= Xi, yi，b = X2, y2向量法：a 丄 b<=> a b = 0坐标法：a 丄 b <=> x i x 2 + yi y 2 = 05. 平面两点间的距离公式dA,B=| AB | V AB AB J(X2 Xi)2 (y2 yj2 (A(xi, yj , B(x2, y2).二、向量的加法i向量法：三角形法那么首尾相接首尾连，平行四边形法那么起点相同连对角2坐标法：设 a = Xi , yi，b =:X2,y2，那么 a+b=xi+ X2 , yi+ y2三、向量的减法i向量法：三角形法那

32、么首首相接尾尾连，差向量的方向指向被减向量2坐标法：设 a =Xi , yi，b =:X2,ht-y2，贝y a- b=xi - X2 , yi- y2¥Ff-FF3、重要结论：| |a| - |b| | <|a± b|W |a|+|b|四、两个向量的夹角计算公式：i向量法：coswfc-=a b|a|b|2坐标法：设 a =Xi，yi，b =:X2,y2，贝 U cosxiX2yi y2/ 2 2 ； 2 2Xiyi , X2y2五、平面向量的数量积计算公式:i向量法：a b= | a | |b | cos2坐标法：设 a= Xi，yi，fb=X2,y2,那么 a

33、*b = xi X2 + y i y23a b的几何意义：数量积a b等于a的长度|a 与 b在a的方向上的投影|b|cos0的乘积. 六.i、实数与向量的积的运算律：设入、为实数，那么(1) 结合律：入(1 a)=(入口 ) a;(2)第一分配律：(入+ 1) a=入a+卩a;(3)第二分配律：入(a+b)=入a+入b.2. 向量的数量积的运算律：(1) a b= b a 交换律；(2) a b= a b= a b= a b;(3) a+b c= a c +b c.3. 平面向量根本定理：如果ei、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入1、入2,

34、使得a= iei+入2e2.不共线的向量ei、e?叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.七.三角形的重心坐标公式 abc三个顶点的坐标分别为 A(x1,y 1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),那么厶abc的重心的坐标是G(p，5)必修5 一、解三角形： ABC的六个元素A, B, C, a , b, c满足以下关系:1、角的关系：A + B + C = n,特殊地，假设 ABC的三内角 A, B, C成等差数列，那么/ B = 60o,/ A + / C = 12002、 诱导公式的应用：si n ( A + B ) = sinC , cos ( A + B ) = -cosC ,ABC

35、ABCsin () = cos , cos () = sin -2222223、 边的关系：a + b > c , a -b < c两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。4、边角关系：1正弦定理:abcsin A sin B sin C2R R为厶ABC外接圆半径a : b : c = sinA : sinB : sinC分体型 a = 2R si nA , b = 2R si nB , c = 2R si nC ,2余弦定理:a 2 = b 2 + c 2 -2bc?cosA , c 2 = a 2 + b 2 -2 a b?cosCb 2 = a2 + c 2 -2a c?cosB ,2 2 2“ b c arcos A, cosB2bc2 2 , 2a c b2accosC2 , 2 2abc2ab5、面积公式:二、数列1 ac sinB2111S = a h = ab si nC =bc si nA =222一、等差数列 a n 1、通项公式：a n