微积分基本定理教案

1、学习好资料欢迎下载第五章 定积分及其应用第三节微积分基本定理教学基本信息教学课题第二节微积分基本定理教学时间45分钟教学重点微积分基本公式教学对象高职局专学生教学难点变上限积分函数及导数教学内容1 .变上限积分函数的定义.2 .变上限积分函数的导数.3 .微积分基本定理.教学要求1 .理解变上限积分函数定义及其导数；2 .熟练掌握牛顿-莱布尼兹公式的应用 .双语教学微积分：Calculus; 变上限积分函数：Integration of variable upper limit function ； 导数 Derivative；牛顿莱布尼兹：Newton-Leibniz.教学过程一、复习1 .

2、定积分的定义2 .定积分的几何意义3 .定积分的性质二、引入新课一蝴蝶在一正弦形y =sinx,xw0,n花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积？问题1:蝴蝶活动的区域面积如何表示？学生回答：S = ( sin xdx问题2:能否用定积分的定义求出积分值？学生回答：不能。因为在求积分和时不易计算。有没有简单的方法求出这个积分值呢？有。通过“微积分基本定理”的学习。我们将给出求定积分的一种简单方法。三、探究感性认识变上限积分函数,11239例如lxdx-2 lxdx-2lxdx-2下限足吊数，给出一个上备注引入问 题,激起 兴趣，案例教 学法x限x ,通过求对应的定积分.有唯一确定的一个积分值y与之对

3、应.y = tdt是一个 以x为自变量的函数。1、变上限积分函数的定义定义1:设f(x)为区间a,b上的连续函数，任取xwa,b都有唯一确定的 定积分xxa f (x)dx(= f (t)dt)与之对应.这种对应满足函数的定义.因此,它是定义在区间xa,b上的函数.记为：甲(x) = a f (t)dt(其几何意义如图)x形如中(x) = f f(t)dt形式的函数称为变上限积分函数。a例1判断下列函数是否为变上限积分函数提问学 生，询问 原因xax2x中(x) = e dt ：'(x) = e dt 邛(x) = cosxdt D(x) = cosxdt'axaa(提问学生，

4、询问原因)通过例题讲解.使学生进一步体会变上限积分函数的特征：下限是一常数，上限只 有一个自变量x .同时，这是一类函数.这类函数如同其它函数一样，可以计算求其定 义域，值域在这我们根据需要，只学习它的一条性质-导数.从而引出2、变上限积分函数的导数xte理1如果f(x)在a,b上连续，则变上限积分函数中(x)= 1 f(t)dt在a,bax上可导，且 中(x)=旦 f f (t)dt = f (x), xa,b dx a对于定理的证明不要求掌握.例2求下列函数的导数提问学 生，询问 原因 教师根 据学生x t0(1) (x) = e dt (2)(x) =- arctantdtax(提问学生

5、，询问原因)x解：(1)中'(x) = ( e dt)' = ea回答总 结答案计算limx0xarctan tdt0的值xarctantdt解啊。x2arctan x2x问题驱动法(加深理解)x中'(x) = ( 0 arctan tdt)' = arctan x该题进一步深化对变上限积分函数是一类函数的理解.同时加深了变上限积分函 数的性质的应用.定理2 (原函数存在定理)x如果f(x)在a,b上连续,则函数9(x) = ! f(t)dt是f(x)在区间a,b上的一个原函数.定理的重要意义：(1)肯定了连续函数的原函数是存在的.(2)初步揭示了积分学中的定积

6、分与原函数之间的联系.3、微积分基本定理如果F(x)是连续函数f (x)在区间a,b上的一个原函数bf(x)dx 二F(b) -F(a)已知F(x)是f (x)的一个原函数,x又丁(x) = f f (t)dt也是f (x)的一个原函数，ax则 F(x) - f (t)dt =C,x a,b aa-x令 x=a 则 F(a) f f (t)dt =C，则 F(a)=C，即 F (x) 1f (t)dt = C, xw a,babf(t)dt =F(b) - f(a),x a,b ab令 x = b 则 F(b) - f (t)dt = F(a),即 a注意条件：f (x)在a,b上连续.11例

7、4 求TE积分f 2-dx41 x1 x2dx = arctan x =arctan1 -arctan(T)=5例5求te积分f 2x -4 dx0例4的选取主要熟悉公式解:o 2x - 4dx =0 - (2x - 4)dx - (2x -4)dx一(x2 - 4x) |0 + (x2 - 4x) |=13例6求-4-2解 11dx = ln|x|-2 x1-= ln1 -ln 2 =-ln2-2学I43用的 解 问刁使件视 回答 提,对条叫 学问：计算定积分I 1dx,能用牛顿-莱布尼兹公式吗？ x ,对本节开始引例的解答冗rRL.解：面积 A =(sin xdx = Lcosx=2.一蝴

8、蝶在一正弦形y =sinx,xw0,n花带中飞行，求蝴蝶活动的区域面积?四、课堂练习(分组练习，教师答疑)x1、设中(x)=e点求6解：(x)=ex.中(2)=e22x、2、y = costdt.求 y J a解： y = cos2x (2x)=2cos2xx3 求f (x) = ( (t -1)dt 的极值.解：:定义域为Rf (x) = x -1x =1 时，f (x) =0x'1时，f '(x) A 0,函数为增函数.x <1时，f '(x) <0,函数为减函数.11 211f(1) = 0(t-1)dt =2t2 -t0 =-2为函数的极小值.五、课堂小结本节通过几个例子的讲解，轻而易举推出变上限积分函数的概念；学习了变上限 积分函数的导数.在此基础上推出了微积分基本公式.x1 .变上限积分函数：G(x)=f (t)dta2 .变上限积分函数的导数：'(x)=f(x)b3 .微积