六年级奥数平面几何部分

1、实用标准文案精彩文档平面几何部分教学目标：1.熟练掌握五大面积模型2.掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比;两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；如右图S1 :S2a:b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图反之，如果SaACD =$ BCD ,则可知直线 AB平行于CD .等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于 它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形

2、中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.如图在 4ABC中，D,E分别是AB,AC上的点如图 （或D在BA的延长线上，E在AC上）,则5A ABC :Saade -（AB AC）： （AD AE）任意四边形中的比例关系（“蝴蝶定理”）：Si ： S2 =S4 ： S3或 者S3=S 强）AO: OC =!& S2 ： S4 S3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系.梯形中比例关系

3、（“梯形蝴蝶定理”）:22 S1 ：S3 =a2 :b222 S : S3: S2: S4 =a : b : ab:ab；2S的对应份数为（a+b）.（二）沙漏模型四、相似模型（一）金字塔模型 AD AE DE AF AB - AC - BC - AG SA ADE：_ 2_ 2=AF :AG .所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似），与相似三角形相关的常用的性质及定理如下:相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线

4、定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形. 五、燕尾定理在三角形 ABC中，AD , BE, CF相交于同一点 O ,那么SABO ： SaCO = BD ： DC .上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为MBO和 MCO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理.该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径典型例题【例1】 如图，正方形 A

5、BCD的边长为6, AE=1.5, CF =2.长方形 EFGH的面积为【巩固】如图所示，正方形 ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长 方形的宽为几厘米？例2长方形ABCD的面积为36cm2, E、F点，问阴影部分面积是多少？G为各边中点，H为AD边上任意【巩固】在边长为 6厘米的正方形 ABCD内任取一点P ,将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接，求阴影部分面积.例3如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70, AB = 8, AD =15,四边形EFGO的面积为【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是36, E是AD的三等分点，AE

6、=2ED,则阴影部分 的面积为.例4已知ABC为等边三角形，面积为 400, D、E、F分别为三边的中点，已知甲、 乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）例5如图，已知 CD =5, DE =7, EF=15,FG=6,线段AB将图形分成两部分,左边部分面积是 38,右边部分面积是 65,那么三角形 ADG的面积是例6 如图在 4ABC中，D,E分 别 是 AB,AC上 的点，且 AD:AB = 2:5AE: AC =4:7 , Saade =16平方厘米，求 4ABC的面积.【巩固】如图，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形 ADE的 面积

7、等于1,那么三角形ABC的面积是多少？【巩固】如图，三角形 ABC被分成了甲（阴影部分）、乙两部分，BD=DC=4, BE =3,AE=6,乙部分面积是甲部分面积的几倍?【例7】 如图在4ABC中，D在BA的延长线上， E在AC上，且AB: AD =5: 2 ,AE:EC=3:2, Sa ade=12平方厘米，求 4ABC的面积.例 8 如图，平行四边形 ABCD, BE=AB, CF =2CB , GD=3DC, HA = 4AD , 平行四边形 ABCD的面积是2 ,求平行四边形 ABCD与四边形EFGH的面积 比.【例9】 如图所示的四边形的面积等于多少?13D1：【例10如图所示，MB

8、C中，ZABC=90- AB =3 , BC =5 ,以AC为一边向AABC外 作正方形ACDE ,中心为O,求AOBC的面积.【例11如图，以正方形的边 AB为斜边在正方形内作直角三角形ABE, NAEB=90。AC、BD交于O.已知AE、BE的长分别为3cm、5cm,求三角形 OBE的面积.【例12】如下图，六边形 ABCDEF中，AB = ED, AF =CD , BC = EF ,且有 AB平行 于ED , AF平行于CD , BC平行于EF ,对角线FD垂直于BD ,已知FD =24厘 米，BD=18厘米，请问六边形 ABCDEF的面积是多少平方厘米？【例13如图，三角形ABC的面积

9、是1 , E是AC的中点，点D在BC上，且BD :DC =1: 2 ,AD与BE交于点F .则四边形 DFEC的面积等于【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE, F是DG的中点.阴影部 分的面积是多少平方厘米 ？xFxG【例14】四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O （如图所示）.如果三角形 ABD的面积等于三角形BCD的面积的1 ,且AO=2 , DO =3 ,那么CO的长度是DO的长 3度的 倍.【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知,求：三角形 BGC的面积； AG:GC=?【例15如图，平行四边形 ABCD的对角线交于 O点

10、，CEF、AOEF AODF ABOE的面积依次是 2、4、4和6.求：求 OCF的面积；求 4GCE的面积.【例16】如图，长方形 ABCD中，BE: EC =2:3 , 2平方厘米，求长方形 ABCD的面积.DF :FC =1: 2 ,三角形DFG的面积为【例17如图，正方形 ABCD面积为3平方厘米，M是AD边上的中点.求图中阴影部分 的面积.【巩固】在下图的正方形 ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形 ABCD面积是 平方厘米.【例18】已知ABCD是平行四边形，BC:CE=3: 2 ,三角形ODE的面积为6平方厘米.则 阴影

11、部分的面积是 平方厘米.【巩固】右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【巩固】右图中 ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【例19如图，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中 3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC的面积为 平方厘米.【例20如图，AABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，线段AB与CD相交于K点.已知正方形DEFG的面积48, AK ：KB =1:3 ,则ABKD的面积是多少？【例21下图中，四边形

12、ABCD都是边长为1的正方形，E、F、G、H分别是AB , BC ,CD, DA的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数m ,那么，(m+n)的值等于n【例22如图， ABC中，DE ,BC互相平行，AD = DF = FB ,则 SA ADE ： Sg边形 DEGF : S3边形 FGCB【巩固】如图,A【例23】 ABC 中，DE, FG =FM =MP =PB,则: S四边形FGNM : S3边形MNQPDE 平行 BC,且 AD =2, AB =5, AE =4,求 AC 的长.【巩固】如图，平行，AD=DFSA ADE : S四边形 DEGF如图，已知正方形 A

13、BCD的边长为4, F是BC边的中点，E是DC边上的点，且 DE:EC =1:3, AF与BE相交于点 G ,求SAABG【例24如图所示，已知平行四边形 ABCD的面积是1, E、F是AB、AD的中点，BF 交EC于M ,求iBMG的面积.【例25如图，ABCD为正方形，AM = NB = DE = FC =1cm且MN =2 cm ,请问四边形PQRS的面积为多少？【例26如右图，三角形 ABC中,BD :DC =4:9【巩固】如右图，三角形ABC 中,BD:DC =3:4,【巩固】如右图，三角形ABC 中,BD:DC =2:3 ,【例27】如右图，三角形 ABC中,CE:EA = 4:3

14、 ，求 AF: FB.AE:CE=5:6 ,求 AF:FB.EA:CE = 5: 4,求 AF:FB.AF : FB = BD :DC =CE : AE =3: 2 ,且三角形ABC的面积是1 ,则三角形ABE的面积为 角形GHI的面积为.,三角形AGE的面积为? *【巩固】 如右图，三角形 ABC中，AF : FB = BD: DC=CE: AE=3: 2,且三角形GHI的面 积是1 ,求三角形 ABC的面积.【巩固】如图， MBC中BD =2DA , CE =2EB , AF =2FC ,那么AABC的面积是阴影三 角形面积的 倍.【巩固】如图在 ABC中,DC EA FB 1 + GHI

15、 的面积二一二一二一,求二TDB EC FA 2 ABC 的面积ADC【例28如图，三角形ABC的面积是1, BD = DE=EC, CF=FG=GA,三角形ABC被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少？ABD E C【巩固】如图， MBC的面积为1,点D、E是BC边的三等分点，点 F、G是AC边的三 等分点，那么四边形 JKIH的面积是多少？【例29】右图，4ABC中，G是AC的中点，D、E、F是BC边上的四等分点， AD与 BG交于M , AF与BG交于N ,已知4ABM的面积比四边形 FCGN的面积大 7.2平方厘米，则 ABC的面积是多少平方厘米？【例30如图，面积为l的三角形AB

16、C43, D E、F、G HH I分别是AB BC CA的三等 分点，求阴影部分面积.【例31如图，面积为l的三角形ABC43, D E、F、G H I分别是AB BC CA的三等 分点，求中心六边形面积.课后练习：练习1. 已知4DEF的面积为7平方厘米，BE =CE,AD =2BD,CF =3AF ,求4ABC的面积.练习2.如图，四边形 EFGH的面积是 66平方米， EA=AB, CB=BF, DC =CG , HD=DA,求四边形 ABCD的面积.练习3.BGHF的面积是平方厘米.练习4.如图，已知 AB=AE=4cm, BC=DC,2SBC +S/CE + SDE = cm /BA

17、E=NBCD=90, AC=10cm,则练习5.如图，正方形 ABCD的面积是120平方厘米, 四边形BGHF的面积是 平方厘米.E是AB的中点，F是BC的中点,正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形练习6. 如图，ABC中，点D是边AC的中点，点 E、F是边BC的三等分点，若 MBC 的面积为1,那么四边形 CDMF的面积是 .练习7. 如右图，三角形 ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=4:3 ,且三角形 ABC的面 积是74,求角形GHI的面积.备选【备选1】按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形.已知甲三角形两条直角边分别为2cm和4cm,乙三角形两条直角边分别为3cm和6cm,求图中阴影部分的面积.【备选2】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边