《材料力学》第3章扭转习题解

1、第三章扭转习题解习题3-1 一传动轴作匀速转动，转速 n = 200r/min ,轴上装有五个轮子，主动轮 II输 入的功率为60 kW,从动轮，I , III , IV, V依次出18kW, 12kW, 22kW和8kW。 试作轴的扭图。解：（1）计算各轮的力偶矩（外力偶矩）Te u 9.55 Nk n外力偶矩计算（kW换算成kN.m)题目编号轮子编号轮子作用功率（kW）转速r/minTe (kN.m)习题3-1I从动轮182000.859II主动轮602002.865III从动轮122000.573IV从动轮222001.051V从动轮82000.382（2）作扭矩图。85旺同朝图T图（k

2、N.m）习题3-2 一钻探机的功率为 10kvy转速n =180r/ min。钻杆钻入土层的深度l = 40m。如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶，试求分布力偶的集度m ,并作钻杆的扭矩解：(1)求分布力偶的集度 mNk10Me =9.549 - =9.549 =0.5305(kN m) n180设钻杆轴为x轴，则：£ Mx = 0ml0.530540= 0.0133(kN /m)（2）作钻杆的扭矩图113W dp 16(2)计算扭矩maxWp2二 60N / mmMeT (x) = mx = j x =-0.0133X。x c 0,40T(0)=0;T(40) = Me =_

3、0.5305(kN m)扭矩图如图所示。习题3-3圆轴的直径d =50mm,转速为120r/min。若该轴横截面上的最大切应力等于60MPa,试问所传递的功率为多大？解：(1)计算圆形截面的抗扭截面模量：133、3.14159 503 = 24544(mm3)T =60N/mm2 24544mm3 =1472640N mm=1.473(kN m)(3)计算所传递的功率=Me = 9.549 N =1.473(kN m)nNk =1.473 120/9.549 =18.5(kW)习题3-4空心钢轴的外径 D = 100mm,内径d =50mm。已知间距为l= 2.7m的两横截面的相对扭转角 中=

4、1.8° ,材料的切变模量 G =80GPa。试求:(1)轴内的最大切应力；(2)当轴以n =80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率。解；(1)计算轴内的最大切应力11Ip = D4(1-a4)=豆乂 3.14159M1004 乂 (10.54) = 9203877(mm4)。1_ 341_3_ 4_3Wp = ：D (1-1)= 3.14159 100 (1-0.5 ) =184078(mm )式中，a=d/D。一口GIp丁 GI p 1.8 3.14159/180 80000N / mm2 9203877mm4T =l2700mm= 856301445N mm maxWp85

5、63014.45N mm一 一 3184078mm= 46.518MPa(2)当轴以n =80r/min的速度旋转时，轴所传递的功率_N kN kT =Me =9.549 - =9.549- = 8.563(kN m)n80Nk =8.563 80/9.549 =71.74(kW)习题3-5实心圆轴的直径 d = 100mm,长l = 1m ,其两端所受外力偶矩 Me=14kN .m ,材料的切变模量 G=80GPa。试求：(1)最大切应力及两端面间的相对转角；(2)图示截面上 A、B、C三点处切应力的数值及方向;(3) C点处的切应变。解：(1)计算最大切应力及两端面间的相对转角, maxT

6、WpMeWp式中1313W d33.11 3 =1p 16163、4mm )。0故:5- maxMeWp14 106 N mm196349mm3= 71.302MPa.=.!1GI p式中,Ip11= 'nd4 = X3.14159X1004 = 9817469(mm4)。故: 3232GI14000N m 1m_ 92_2480 10 N/m 9817469 10 m= 0.0178254(rad ) =1.02°(2)求图示截面上 A B C三点处切应力的数值及方向A = B = max =71.302MPa由横截面上切应力分布规律可知：1C = - B =0.5 71.

7、302 =35.66MPa 2A、B、C三点的切应力方向如图所示。(3)计算C点处的切应变C 35.66MPac = = Z 3 Z-G 80 10 MPa= 4.4575 10“ ： 0.446 10”习题3-6图示一等直圆杆，已知d =40mm,a = 400mm, G=80GPa,邛 DB=1o。试求：(1)最大切应力；(2)截面A相对于截面 C的扭转角。解：(1)计算最大切应力从AD轴的外力偶分布情况可知：习题3 6图T AB TCD = Me, T BC = 0。.7 TLDB GIpTDC l DCGIpTCB lCBGIpMe a 0 aGIp Gl7MeaGhMeGI p :式

8、中，I p p=：632M323.14159 404= 251327(mm4)。故:Me80000N/mm2 251327mm4400mm314159 =877296 N mm180- maxMeWp式中,13Wp ='二d3p 16x3.14159x403 =12566(mm3)。故: 16Me 877296N mmmaxWp_ _ _312566mm= 69.815MPa(2)计算截面A相对于截面C的扭转角：ACTi liTab I ABGIp GIpTbc Ibc _Me 2a 0 a _2Mea_ Oo2 DB 2GIp GIp GI p GIp习题3-7某小型水电站的水轮机容

9、量为50kW,转速为300r/min ,钢轴直径为75mm若在正常运转下且只考虑扭矩作用，其许用切应力T=20MPa 。试校核轴的强度。解：(1)计算最大工作切应力Me TmaxWpWp式中，M eN k50= 9.549= 9.549 父=1.592(kN m)；n300Wp，叼3M3.14159M 753 =12566(mm3)。 1616故:- maxMeWp1592000N mm 382835mm3= 19.219MPa(2)强度校核因为三max =19.219MPa，n=20MPa ,即Fx t,所以轴的强度足够，不会发生破坏。习题3-8已知钻探机钻杆(参看题 3-2图)的外径D =

10、60mm,内径d =50mm,功率 P =7.355kW,转速 n =180r/min ,钻杆入土深度 l =40m,钻杆材料的 G =80GMPa , 许用切应力t =40MPa 。假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的，试求：(1)单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度m ；(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核；(3)两端截面的相对扭转角。解：(1)求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度mNk7.355Me =9.549 k =9.549 = 0.390(kN m)n180设钻杆轴为x轴，则：£ Mx = 0ml = M aM e 0.390m e = = 0.00975(kN / m)l

11、 40(2)作钻杆的扭矩图，并进行强度校核 作钻杆扭矩图0.39T(x) =-mx =-x =-0.00975x。x=0,40T (0) = 0 ；T(40) = M e = 0.390(kN m)扭矩图如图所示。强度校核maxMeWp式中,Wp = -：D3(1 - ： 4) = 3.14159 603 1 -(-50)4 = 21958(mm3) p 161660maxMeWp390000N mm321958mm3-17.761MPa因为Tmax =17.761MPa , 7 = 40MPa ,即Tmax MH ,所以轴的强度足够，不会发生破坏。(3)计算两端截面的相对扭转角-40T(x)

12、dx一 0 GI p40 1T(x)|dx_ 1 0GI p 一 百p式中，I p 二D4(1 - 1 4) = 1 3.14159 604 1-(50)4 =658752(mm4) p 3232602400.00975x 400.00975xdx =6240)80 106kN/m2 658752 10 m4 2= 0.148(rad ) ： 8.5°习题3-9图示绞车由两人同时操作，若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力F均为0.2kN ,口尸汨题3 9图已知轴材料的许用切应力可=40MPa，试求：(1) AB轴的直径；(2)绞车所能吊起的最大重量。解：(1)计算AB轴的直径AB轴上带

13、一个主动轮。两个手柄所施加的外力偶矩相等：Me左=Me右=0.2x0.4 = 0.08(kN m)Me主动轮=2Me右=0.16(kN m)扭矩图如图所示。由AB轴的强度条件得:maxM 防 16M e =3-Wp二 dd -316Me右二3 16 80000N mm一 .3.14159 40N/mm2=21.7mm(2)计算绞车所能吊起的最大重量主动轮与从动轮之间的啮合力相等:M e主动轮M e从动轮0.20.350 35Me从动轮=- 0.16 =0.28(kN m) 0.20由卷扬机转筒的平衡条件得：P 0.25二Me从动轮P 0.25=0.28P =0.28/0.25 =1.12(kN

14、)习题3-10直径d = 50mm的等直圆杆，在自由端截面上承受外力偶Me =6kN .m,而在圆杆表面上的 A点将移动到 Ai点，如图所示。已知 As = AA1 = 3mm ,圆杆材料的弹性模量E =210GPa ,试求泊松比v （提示：各向同性材料的三个弹性常数E、G v间存在如下关系：G =。2（1 、）解：整根轴的扭矩均等于外力偶矩T = Me =6kN，m。设O,O1两截面之间的相对对转角为中，则As = P d,中=js2 d习班3 1 0博T l _ 2. s GI P - d11T Id 21pM6 106 N mm 1000mm 50mmZ _ 4 Z2 613592mm

15、3mm= 81487.372MPa =81.4874GPa式中，Ip ='二d4 = 3.14159 504 =613592(mm4) p 3232, E/口E210由6=得：v=1 =1=0.2892（1 一）2G 2 81.4874习题3-11直径d=25mm的钢圆杆，受轴向拉 60kN作用时，在标距为 200mm勺长度内伸长了 0.113mm=当其承受一对扭转外力偶矩Me=0.2kN m时，在标距为200mm的长度内相对扭转了 0.732 0的角度。试求钢材的弹性常数G G和V。解：（1）求弹性模量 Nl IEAE='A 60000N 200mm220.25 3.14 2

16、5 mm 0.113mm= 216447.8MPa = 216.448GPa(2)求剪切弹性模量 G1,1I p = . d4 = 3.14159 254 =38349(mm4)由* 口得:GI P0.2 106 N mm 200mm(0.732 3.14/180) 38349mm4二 81684.136MPa =81.7GPa(3)泊松比由G 二得：v2(1 、)E .216.4481 = -1 =0.3252G2 81.684习题3-12长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者的材料相同,d受力情况也一样。实心轴直径为d;空心轴的外径为 D,内彳仝为d0,且=0.8。试求当

17、空D心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力(和刚度比。解：(1)求空心圆轴的最大切应力，并求D。Ttmax=E),扭矩T相等时的重量比max,空134.Wp =tD3(1 -a4),故：p 1616T27.1T r、= _34 = _ 3 - 二D (1 -0.8 ) 二D月题3 12图(1)求实心圆轴的最大切应力- maxWp1 Q式中，W =一叼3 ,故:p 1616r16T 一7ax,实=TT =一百=月. d . dd316T-(d)327 1T htiL =1.69375二16TD一=1.192 dW空 _ 0.25二(D2 d(2) lW实0.25 二d2 l(3)求空心圆

18、轴与实心圆轴的重量比2(1 -0.82) -0.36()2 =0.36 1.1922 =0.512 d(4)求空心圆轴与实心圆轴的刚度比1I p空= nD4(1 0.84) =0.01845D4 32144I 犊='nd4 =0.03125nd4点32GIp空GI p实习题3-134: 0.01845? =0.5904(_D)4 =0.5904 1.1924 =1.1920.03125二 dd全长为l ,两端面直径分别为d1,d2的圆台形杆，在两端各承受一外力偶矩 Me,如图所示。试求杆两端面间的相对扭转角。解：如图所示，取微元体 dx,则其两端面之间的扭转角为：d壁GI P.14式中

19、,1P - - dP 32r - r _ x2 - rl习题3-13国rd2 一d1d1x r1 =x2l2d2 一d1=2r1x d1d4二(d2 d1x d1)4 = udud2 -d1dxdxd2 一d1dulMedx Me ldxv I I0 GIp G 0 I p强 132dx = 32MA 上du - 32Mel l包G 0 二d4 二G 0u4 d2 -d1 二G(d2-d1)0u432M ell du-"c -4：G(d2 - d1) 0 u32Mel二G(d2 -d1)-3ul32Mel3 0 二3二G(d2 -d1)1d2 d1,.!x + d1 iI lJ32M

20、lel371Gdi)(d3,32d132Mel3 二G(d1 -d2)-d23、_32Mel +d«2 +d3d3- ! = -.3.3di3d习题3-14已知实心圆轴的转速 n = 300r/min ,传递的功率 p = 330kW ,轴材料的许用切应力t =60MPa ,切变模量G=80GPa。若要求在2m长度的相对扭车t角不超过 1°,试求该轴的直径。T l解：=GIpMelG7ji工1 180式中，M人 人N k 人 人3301, 4 一e = 9.549 = 9.549 父=10.504(kN m) ； I p = nd。故:n300p 32180M el1冗32

21、,，32 180M el32 180 10.504 106 N mm 2000mm “ d _4 2 e 4 22111.292mm二 2G,3.142 80000N/mm2取 d =111.3mm。习题3-15图示等直圆杆，已知外力偶M A = 2.99kN m , M B = 7.20kN m ,Me =4.21kN m,许用切应力T=70MPa ,许可单位长度扭转角H =10/m,切变模量G = 80GPa。试确定该轴的直径 d。解：（1）判断危险截面与危险点作AC轴的扭矩图如图所示。因最大扭矩出出在BC段，所以危险截面出现在 BC段,危险点出现在圆周上。（2）计算危险点的应力（最大工作

22、切应力），并代入剪切强度条件求d oTbc16TBeWp 一 二d；max16TBe 二3 1 6 4.21 106 N mm ；3.14 70N / mm2=67.42mm=0,0744 m = 74.4 mm许用切应力t =80MPa ,许可单位长度扭转角F'=1.2o/m,切变模 G=80GPa。试(3)计算最大单位长度扭转角 (出现在BC段)，并代入扭转刚度条件求 d。713 7 18。一/ GIp 71T 180<1C TT d 飞 JLCj 4 3232x1807 _ 32x180x421 xlOn2G = V 7iax80xWs-(4)确定d值d _max(d1,d

23、2) =74.4(mm)习题3-16阶梯形圆杆，AE段为空心，外径 D=140mm,内径d=100mm； BC段为实 心，直径 d =100mm。外力偶矩 MA=18kN ,m, MB=32kN m , MC=14kN m ,月嗡3 16图校核该轴的强度和刚度。解：(1) AB段的强度与刚度校核 max,ABTaWpTab - -M A - -18kN m13413100、43、式中，Wp = 二D (1-： )= 一 3.14159 1401 -() = 398533(mm )p 1616140 t I 18 106 N mmmax AB =mm = 45.166MPa <F = 80

24、MPa 符合度条件。Wp398533mm3_ |Tab | 180 AB - l GIp 二14414100.44、式中，I p = l D (1 - - )3.14159 1401 - () = 27897319(mm )32321402'A AB:|TAB | 180=J、l GI p 二p18000N m 180。.，。92 = 0.462(。/m)：二:=1.2。/m80 10 N /m 27897319 10- m 3.14符合刚度条件。（2） BC段的强度与刚度校核TRC =M=14kNBCC max,BC =、 “ ,13式中，W = 一 dp 16Wp二- 3.1415

25、9 1003 =196349(mm3)16Tbc14 106 N mm- max, AB =3Wp196349mm3= 71.302MPa <p = 80MPa 符合度条件。： BCTBC 180-.l GIp 二式中，Ip二d4321= 3.14159 1004 =9817469(mm4)32TBC 180 l GI。二p14000N m 180,。i、r '., 一。，92 =1.02( /m)：二:=1.2 /m 80 109N/m2 9817469 10 m4 3.14符合刚度条件。综合（1）、（2）可知，该轴符合强度与刚度条件。习题3-17习题3-1中所示的轴，材料为钢

26、，其许用切应力T = 20MPa ,切变模G =80GPa ,许可单位长度扭转角5 = 2.5o / m。试按强度条件及刚度条件选择圆轴的直径。解：（1）由强度条件选择直径轴的扭矩图如图所示。因为最大扭矩出现在 II、III轮之间，所以危险截面出现在 此段内，危险点在此段的圆周上。TII -IIIT =maxWp*3一d -316TII 4II二3 16 2.006 106 N mm-23.14 20N/mm二80mm（2）由刚度条件选择直径T1800 T 32 1800 r '=4 _G1P 二G 二d 二p2.006 103 32 1800 r , ,9432 三：80 10 二d

27、 二 10=0,27 /m2.006x1x32x180-8xl010Kdf4-JTX10-12=87.5mmj2.0Q6x32xl80xl05 V 8xl0lffX7tJx0.25习题3-18 一直径为d的实心圆杆如图所示，在承受扭转力偶Me后，测得圆杆表面与纵向线成450的方向上的线应变为 名。试导出以Me , d和8表示的切变模量 G的表达式。解：圆杆表面贴应变片处的切应力为圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a) o切应变1)对角线方向线应变:= cgf = cc将% cos45n cos45t，16叫式（2）代入（1）:习题3-19有一薄壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度

28、为 1m,作用在轴两端面内的外力偶矩为 180kN，m。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已 知材料的切变模量 G = 80GPa 。解：（1）求管中的最大切应力180x10?x150x1032x180x150x10% =M300J 250% I。山12=65.5MPa32T2l180xl80xl0flxl2% 2乂8乂1。心吧"qMl产32= 0.491 kN m习题3-20 一端固定的圆截面杆 AB承受集度为 m的均布外力偶作用，如图所示。试求杆内积蓄的应变能。已矩材料的切变模量为G。解：dVT2(x)dx2GIp二 2m x dxc 1 _.,4G d322 2 ,16

29、m x dx.d 4 G16m2 l二d4G 02 .x dx =16m2l3T 4 一3二 d G2. 3m l-1 _ A6 d G326GI可陋3-加图受拉力F =0.5kN作用，弹簧的 试求：m2l习题3-21簧杆直径d = 18mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，平均直径为D = 125mm,材料的切变模量 G=80GPa。(1)簧杆内的最大切应力;(2)为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。解:c旦旦695d 184- 3 4x6.95-3 24 74x6.95 + 2 27.7 1n=1.2因为16x0.5x103x62.5x10-3ttx(18)3x10= 32.8 MPa64x0,

30、5x103 x(62,5)5x101000-8xlOl0x(18/xlO-li-6x8x10.55x10 入n r = o.j64x0.5x2.44x10 圈习题3-22 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力F如图，簧丝直径d=10mm,材料的许用切应力封=500MPa ,切变模量为 G弹簧的有效圈数为 n。试求：（1）弹簧的许可切应力;(2)证明弹簧的伸长器(Ri+R2)(R2+R22)。解：（1）求弹簧的许可应力体。用截面法，以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 由平衡条件可知，在簧杆横截面上：剪力Q - F扭矩T = FR习题3-22图最大扭矩：Tmax = FR2max2max二.&quo

31、t;二Q . TmaxWp4F 16FR2二d2二d34R2）寸，F=;d316R2(14R23.14 103mm3 500N/mm2957.3N 10mm 、)16 100mm(1)4 100mmF=3V 16R2(1 ) 4R2因为D/d =200/10 = 20 a 10,所以上式中小括号里的第二项，即由Q 所产生的剪应力可以忽略不计。此时3.14 103mm3 500N / mm2981.25N16 100mm(2)证明弹簧的伸长=16FnGd4(R1 +R2)(R2+R；)_ 2 -dU 二TJR山2GIp 1L外力功：W = FA ,22f(FR)2(R d：)2GIp- 22 一

32、F 2f 3 F2nR3d： = R12GI p 02GIp 0p p4GIpR： -R4R2 - RiW =U21 F 二 n一 Fl =2 4GIpR24 -R4R2-R-R142GIp R2-R16F二n 221"2)("1"2)习题3-23图示矩形截面钢杆承受一对外力偶G =80GPa,试求：Me(1)(2)(3)杆内最大切应力的大小、位置和方向;横截面短边中点处的切应力；杆的单位长度扭转角。解:(1)求杆内最大切应力的大小、位置和方向3kN m 。已知材料的切变模量b 60 由表得0?=0,294,=0,346=0,858/t = 0.294 x604

33、xl0-12 = 331xl01n4= 0,346 x 603 xW3 = 74.7 x 10 m33000=40,2MPa长边中点处的切应力，在上面，由外指向里(2)计算横截面短边中点处的切应力"一飞:;Mpa短边中点处的切应力，在前面由上往上(3)求单位长度的转角300080x109x381x10-s =0习题3-24图示T形薄壁截面杆的长度 量G = 80GPa ,杆的横截面上和扭矩为单位长度的转角l = 2m ,在两端受扭转力矩作用，材料的切变模T =0.2kN mo试求杆在纯扭转时的最大切应力及单位长度扭转角。解：(1)求最大切应力T、maxT =max21-3二hi i3 i