专题01三角形(专题详解)(解析版)

1、专题 01 三角形专题详解专题 01 三角形专题详解111.1 与三角形有关的线段2知识框架 2一、基础知识点 2知识点1认识三角形 2知识点2三角形三边关系 4知识点3三角形的高、中线与角平分线 5知识点4三角形的稳定性 6二、典型题型 8题型1三角形三边关系（限定条件） 8题型2中线与三角形面积 8题型3高线与三角形面积 9三、难点题型 10题型1与三角形有关的线段 10题型 2 面积问题 等积变换1011.2 与三角形有关的角 12知识框架 12一、基础知识点 12知识点1 三角形内角和定理12知识点2 三角形的外角12二、典型题型 14题型1方程思想求角度 14题型2转化思想求角度 1

2、4题型3整体思想求角度 15题型4 数学模型 角平分线模型16题型5 数学模型 对顶三角形模型16题型6分类讨论思想求角度 1711.3 多边形及其内角和 18知识框架 18一、基础知识点 18知识点1多边形的有关概念 18知识点2多边形的内角和 18知识点3多边形的外角和 19二、典型题型 20题型1已知多边形内角和，求边 20题型2已知多边形的边，求内角 20题型3已知内、外角的关系，求边数 20三、难点题型 22题型1多边形的边和角 221311.1与三角形有关的线段知识框架14.三角形稳定性仅,三角形三边关系d等腰等限定条为一往往有多解 典型题叫&高线与三角形面积(7中线与三角

3、形面枳就.-g三角形存关线段(证明题难点题型_ .419.同积问题一等积变换、基础知识点知识点1认识三角形ABC,(1)三角形定义： 由不在同一条直线上的三段线段首位顺次相接所组成的图形叫作三角形。记作 读作三角形ABCo(2)三角形的有关概念：顶点：三角形两边的公共点。如：点 A、点B、点C 边：组成三角形的三条线段称为三角形的三边。如： AB (c)、BC (a)、AC (b)内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫作三角形的内角。如/CAB(/A)、/ABC(/ B)、/ ACB (/ C)对应边：/ A对应边为BC; / B对应边为AC; / C对应边为AB注：当/A不能唯一表示一个角是

4、，必须用/CAB表示。(3)三角形的分类:'锐角三角形，三个角都已学习，按照角分类直角三角形，有一个角 钝角三角形，有一个角小于90度为90度大于90度1一做三角形（三边都不等）等踵三角脍庭边和膊不等的第膊三角的 等道三角眼等腰不等边，两腰角相等，且两腰均为锐角；等边三角形，三个角都为60度；特殊三角形:等腰直角三角形，90度、45度、45度。例1.如图，在 ABC中，/ A对边是;在 ABD中，/ A的对边是 还可按照边进行分类，根据边是否相等例2.如图，图中以AD为边的三角形有 个，以/ C为一个内角的三角形有 个；若4ABC与4AED都是锐角三角形，则图中共有 个钝角三角形。4）

5、三角形的计数在复杂图形中寻找三角形的方法是：先以一个顶点为基础，改变另外两个顶点依次组成三角形，将 含有这个顶点的所有三角形确定完全后，再以其他顶点为基准，依次寻找。要注意去掉重复计数的三角形 （计数过的顶点不再计算）。例1.在图中有几个三角形A例2.在图中有几个三角形.4例3.在图中有几个三角形知识点2三角形三边关系两边之和大于第三边，两边之差小于第三边ACBAB AC BC，AC + AB a AC = 三角形两边之和大于第 三边BC +AB> ACAB BC - ACACaAB-BC= 两边之差小于第三边BC AC -AB只需满足： 两边之差I 第三边两边之和（两边为相同两条边）注

6、：是“ >”和“ <”，不包含“=”例1.三角形两边长分别为3和8,则该三角形第三边长取值范围是（例2.下列线段能构成三角形的有哪些?(1) 6cm, 8cm, 10cm(2) 5cm, 8cm, 2cm(3)三条线段之比为 4:5:6(4) a+1, a+2, a+3 (a>0)知识点3三角形的高、中线与角平分线(1)三角形的高从 ABC的顶点A向它所对应的边BC所在直线作垂线，垂足为点D。所得线段AD叫作4ABC 的边BC上的高。三条高的交点叫作垂心。注：三角形有三个高，每条边各对应一个高锐角所对应边的高在三角形内，钝角对应边的高在三角形外二条局一IXE父于某一'

7、点(2)中线：连接 ABC的顶点A和它所对应边BC的中点D,所得线段AD叫作 ABC的边BC上 的中线。三条中线的交点叫作重心。A小CDD a(3)画/A的平分线AD,交/ A所对应的边BC于点D,线段AD叫作 ABC的角平分线。三条角 平分线的交点叫作内心。A4C D B(4)几何关系：垂线：ADXBC 中线：CD=DB 角平分线：/ CAD之DAB例1.作下列三角形的高线例2.如图，在 ABC中，BD是/ ABC的角平分线，已知/ ABC=80° ,求/ DBG例3.如图，D、E分别是 ABC的边AG BC的中点，则下列说法不正确的是(八心£是4 BCD的中线B.BD是

8、 ABC的中线C.AD=CD BE=EC D./C 的对边是 DE知识点4三角形的稳定性(1)三角形具有稳定性(三边长度确定，形状不会改变)(2)多边形不稳定。要想稳定，中间加入边，构造成多个三角形例1.下列图形具有稳定性的有（ 0A. 2个 B.3个 C.4个co区30D.5个二、典型题型题型1三角形三边关系（限定条件）性质：IW .二 第三边两边之和注：两边为相同两条边解题技巧：（1）已知两条边，根据限定条件求第三条边，求解完成后，切勿忘记要验证三边 是否能构成三角形。（2）题干告知为等腰三角形，但未告知哪条边是腰时，往往有多解。最后，也需 验证三边是否能构成三角形。例1.已知等腰三角形的

9、两边长分别是 5和6,求这个等腰三角形的周长。例2.用一条长为36cm的细绳围成一个等腰三角形，能围成一个边长为8cm的等腰三角形吗？例3.已知三角形三边长分别为2,8, a,且a是不等式2a-1<15的正整数解，求a的值。题型2中线与三角形面积性质：三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解题技巧：明确中线是哪个三角形的中线，这条中线将对应三角形的面积平分。 题目中往往会 出现多个三角形和多条中线，利用中线性质依次类推三角形的面积， 直至求解出题干要求的面 积。例1.AD是4ABC的中线，AH是4ABC的高，证明中线AD将 ABC分成相等的两部分。例2.如图所示，在 ABC中，D, E

10、, F, G分别是BC, AC, DC, EC的中点，已知 ABC的面积为1,求4FGC的面积。AC题型3高线与三角形面积性质：三角形面积等于对应底边和高乘积的一半，同一个三角形面积不变注：求面积时，底边和高必须对应解题技巧：同一个三角形面积不变，利用这条性质，可得出等式：BCX AD=ABX CE=ACX BF。利用个等式，可求出三角形中某些不太方便求解的边。例1.如图，已知 ABC中，AM, CN分别是 ABC对应边的高，若 CN=3, AM=6, AB=10,求BC的长。37例2.如图，AD CE BF分别是 ABC对应边上的高，若 AB=2AC求一的值。CE三、难点题型题型1与三角形有

11、关的线段性质：（1）在同一个三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2）在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边，等角对等边。注：前提条件：必须在同一个三角形中解题技巧：遇到证明边之间大小关系的题型，想办法构造三角形，将需要证明的边转化到同一个三角形中, 利用性质（1）来推导证明；利用性质（2）,可将同一个三角形中的角和边的关系互换。例1.如图， ABC中，D、E、F分别是边BC CA、AB上的点，证明： DEF的周长小于 ABC的周长。例2.如图所示，P是 ABC内一点，连接 PB PC证明：AB+AC> PB+PC例3.如图，在 ABC中有D、E两点，求证：BD+DE+E

12、G： AB+AC题型2面积问题一等积变换性质：（1）两个三角形的面积之比等于它们的底、高乘积之比；（2）等底（高）的两个三角形面积之比等于它们的高（底）之比;（3）等底等高的两个三角形面积相等。解题技巧：（1）寻找两个面积相等三角形技巧：选取底边相同的两个点的三角形，三角形的另一个顶点为与底边平行的线段上的点(等高)；(2)两图形面积之比，就是底边与高乘积之比。注：三角形面积公式中有乘而平行四边形中无例1.如图，平行四边形 ABCD中，EF/ AC分另1J交CD AD于E F。连接AE、BE、BF、CF,问与 BCE面积相等的三角形还有哪些?B例2.如图，D, E分别是 ABC的边AB, BC

13、上的点，AD=2BD, BE=CE设 ADF的面积为 S1, 4CEF的面积为S2,若 ABC的面积为6,求S1S2的值。例3.在 ABC中，E为AC中点，D在BC上，DC=2BD, AD交BE于F,求证：Sbdf： s 四边形 fdcE=1：5.例4.如图，已知P为 ABC内一点，AP、BP、CP分别与对边相交于点D、E、F。把ABC分成六个小三角形，其中四个小三角形的面积已经给出。求ABC的面积。A11.2与三角形有关的角25知识框架基础知於三角形内附和定理2、三角形外用3方程思想4.转化思患典型题型5整体思想”6.数学模弁角平分线模型对顶三角形模型J整体思想一、基础知识点知识点1三角形内

14、角和定理(1)定理：三角形三个内角和等于180度(2)直角三角形的两个锐角互余例 1.4ABC中，若/ A=60° , / B=65° ,求/ C。例 2.在 ABC中，若/ A: / B: / C=2:3:4,求/ C。知识点2三角形的外角(1)外角：三角形的一边和另一边的延长线组成的角(一个角的外角有2个)(2)外交性质：性质一：三角形的外角等于它不相邻两内角和性质二：三角形外角和相邻内角和为180度性质三：三角形外角和为360度1-20i+60例2.如图，已知 AB/ CD,若/ 0=70° , / F=30° ,求/ A的度数。I)二、典型题型题

15、型1方程思想求角度性质：（1）三角形内角和二180° ;（2）对顶角相等，邻补角互补；（3）三角形外角二不相邻两个内角和。解题技巧：若图形中角比较多，用设未知数方法，利用上述3条性质，将图形角度之间的关系转化为方程的形式求解。例 1.在 ABC中，/ A / B=30° , / C=4/B,求/ C 的度数。例 2.如图， ABC中，D是 BC上一点，/ 1 = Z2, /3=/4, / BAC=63° ,求/ DAC的度数。例3.如图，在 ABC中，BD平分/ ABC, / 1=/A, / 2=/C,求/ A的度数。题型2转化思想求角度解题技巧：求解多个角度和问

16、题时，先利用三角形角度间的基本性质，将不规则图形中的角度转化到同一个三角形（多边形）中；再利用三角形（多边形）内角和性质求解角度。例1.如图，求/ A+/B + /C+/D+/E的度数。例 2.如图，六边形 ABCDE叶，/ A=/D, / B=Z E, Z C=Z F,证明 AF/ CD。BD例3.如图， ABC的外角平分线 BP、CP交于点P, PE± AC于E, PF±AB于F, Z A=70° ,求/ FPB+/ EPC的度数。题型3整体思想求角度解题技巧：根据题干特点，有时单一的看待某个角度，难以解出题目要求的角度。这时，需要将2个角或多个角看成一个整体

17、，在利用三角形内角和等性质进行转化求解。例 1.如图，点 D 在 ABC内，且/ BDC=120° , / 1 + /2=55° ,求/ A。例2.如图，将 ABC沿EF折叠，使点C落在点D处，求/ 1, / 2与/ C的数量关系。题型4数学模型一角平分线模型性质：角平分线将一个角平分为相等的两部分 解题技巧：此类题型，往往会告知多个角平分线，要求求解某一特定角。建议设平分后的角为未知数，利 用方程的思想，转化为求解方程的形式来求解特定的角。P=例1.已知 ABC中，点P为/ABC和外角/ ACD的角平分线的交点，证明/例2.如图，在四边形 ABCD中，AE平分/ BAD,

18、 DE平分/ ADQ求/ B+Z C与/ AED=题型5数学模型一对顶三角形模型性质：若两个三角形有一个对顶角，则这两个对顶角相等，那么这两个三角形剩下的两个角的和相等。解题技巧：利用对顶三角形另两个角的和相等的性质，列写对顶三角形另两个角之和相等的等式，通过转化，求解出题干要求的角度。例1.如图，AC, BD相交于点 O, BP, CP分别平分/ ABD, / ACD,且交于点 P。若BP、CP分别为/ ABD> /ACD的外角平分线，求/ P与/A、/D的关系。c题型6分类讨论思想求角度解题技巧：当题目中未出现图形时，往往有多解情况，需要分类讨论。(1)等腰三角形中，腰和底的讨论(2

19、)锐角、直角、钝角三角形高的讨论例1.在等月ABC中，/ A=80° ,求/ B。例2.在等月ABC中，/ A=60°，求/ B。例 3.已知 AD 为4ABC 的高，/ BAD=70° , / CAD=20° ,求/ BAC 的度数。11.3多边形及其内角和知识框架 1,多边形有关的概念基就知识点卜乡愁底为血小(&多边形外角和°、已知内角和,求边 )典型题、己知边，求内角和(3 .已知内,外角关系,求边摊点题型- -多边形的边和用一、基础知识点知识点1多边形的有关概念(1)多边形：在平面内，由一些线段首位顺次连接线段组成的图形。有n条

20、边组成，我们就称为 n边形。(2)内角：多边形相邻两边组成的角。n边形就有n个内角(3)外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角(4)对角线：连接多边形不相邻的两个顶点组成的线段。一2解释：n个顶点，每个顶点不相邻顶点有( n-3)个，重复计数一次，乘- S(5)凸多边形：画出多边形的任何一条边的直线，整个多边形都在直线同一侧。反之，则叫凹多边形。(6)正多边形：各个角都相等，且各条边相等的多边形。例1.下列图形中，是正多边形是的()A.直角三角形B等腰三角形C.长方形D.正方形知识点2多边形的内角和n边形内角和为(n-2) *180解释：n边形可分解为(n-2)个三角形，三角形内角和为18

21、0度例1.四边形的内角和为：例2. 一个多边形的内角和是720。，则这个多边形的边数为:例3.凸n边形的内角和为1260。，则从一个顶点出发引的对角线条数是知识点3多边形的外角和1）定理：多边形外角和为注：多边形内角和与边多边形外角和与边例1.多边形的外角和为：例2.正十边形的每个外角为：360°n有关，等于（n-2）父180度n无关，都等于360度二、典型题型题型1已知多边形内角和，求边性质：多边形内角和二180 (n 2)解题技巧：利用多边形内角和公式，设边为 n,列写内角和公式方程求解边 n。注意理解性记忆公式，切勿 强记。例1.如果一个多边形内角和为 7200 ,求这个多边形的边