钱海均匀热荷载作用下层合简支梁的弹性力学解

1、均匀热荷载作用下层合简支梁的弹性力学解钱 海，周 叮，刘伟庆（南京工业大学土木工程学院 南京 210009）摘 要：基于二维热弹性力学理论，研究均匀热荷载作用下层合简支梁的弹性力学解。首先导出均匀温度场中单层简支梁的弹性力学解，然后利用层间界面位移和应力必须连续的条件，递推得到底层梁与顶层梁间的位移和应力关系。最后根据层合梁上下表面的边界条件确定待定系数，带回递推公式得到整个层合梁的应力和位移分布。关键词：层合梁；应力；位移；热弹性力学解Elasticity Solution of Simply Supported Laminated Beams Subjected to Uniform Th

2、ermo-loadHai Qian, Ding Zhou, Weiqing Liu(College of Civil Engineering, Nanjing University of Technology, Nanjing 210009, P. R. China)Abstract: According to the two-dimensional thermoelastic theory, the elastic solution of the simply supported laminated beams subjected to thermo loads is studied. Fi

3、rstly, the elasticity solution of a single-layer simply supported beam is derived. Then, based on the continuity of displacements and stresses between the connected layers, the displacement and stress relationships between the lowest layer and the top layer of the beam are recurrently obtained. Fina

4、lly, the unknown coefficients are determined by using the upper surface and lower surface conditions of the laminated beam. Finally, the displacements and stresses in the beam are given by substituting the unknown coefficients back to the recurrent formulae.Keywords: laminated beam; stress; displace

5、ment; thermo-elasticity solution引 言温度对结构力学性能的影响受到人们广泛关注。对于层合的梁、板结构，由于结构各层材料的热膨胀系数不同，即使在等温场中，叠层内仍会产生热应力和非均匀变形。因此，了解温度产生的应力和位移对于叠层材料的使用安全尤为重要。国内外对梁和板结构的热应力分析已有不少报导，Nowacki1 总结了温度对结构的影响，Hess2应用弹性理论和特征展开方法给出了简支梁平面热应力和平面热应变解；Timoshenko3给出了两层梁的材料力学解，Suhir4推广了温度场中Timoshenko的材料力学解；吕朝锋等5运用状态空间和微分求积混合法研究功能梯度简

6、支厚梁的二维热弹性力学解；陈伟球等6-8 用辛解法分析了热弹性力学的平面问题；徐业鹏和周叮9-10给出了变厚度简支梁和板的热弹性力学解。本文从二维热弹性理论的基本方程出发，导出均匀温度场中满足控制微分方程和两端简支边界条件的单层梁的位移函数一般解，根据层间应力和位移的连续性以及上下表面边界的条件确定待定系数。数值结果与软件ANSYS相比较，显示出很高的精度。1 基本方程及单层解考虑如图1所示的p层复合材料简支梁，梁长为L,各层高为hi(i=1,2p),弹性模量为Ei,泊松比为i,均匀温度场的升温为T（以升温前的温度为基准）。图1 叠层梁的几何图示和直角坐标Fig.1 Geometric sha

7、pe and Cartesian coordinates of the laminated beam建立固结于各层的局部直角坐标系，取层合梁的第i层进行分析，考虑温度效应的各向同性弹性体的平面应力本构方程11为： (1)梁的平衡微分方程： (2) 简支梁的边界条件： (3) 假设位移解为： (4)将上述的ui(x,yi)和vi(x,yi)代入方程(1),(2),(3)解得： (5)其中： Ami,Bmi,Cmi,Dmi是未知系数，由第i层梁上下表面的边界条件决定。以上分析的解已经自动满足两端简支的边界条件(3)。2 位移及应力的递推我们定义： (6)为叙述方便，将Umi(yi),Vmi(yi)

8、,Ymi(yi),Zmi(yi)称为位移系数和应力系数。根据位移和应力的公式(5)，得到： (7)其中：考虑层合梁层间位移和应力的连续性，第i层梁上表面的位移和应力（y方向正应力和剪应力）必须与第i+1层梁下表面的位移应力相等，即。再根据第i层梁上、下表面位移和应力的关系：，可以从下表面i=1递推到i=p，得到层合梁下表面和上表面的位移和应力关系式： (8)3系数求解将层合梁上下表面的边界条件 (9) 施加到第1层至第p层的递推关系中： (10) 上述的四阶矩阵方程可以分解成下面两个二阶的矩阵方程 (11)求解这两个矩阵方程得出。再将代入递推关系（第1层到第q层），求出第层梁上表面hq处的位移

9、和应力系数： (12)由公式(7)，反求出待定系数Ami,Bmi,Cmi,Dmi。最后将系数代回相应的位移和应力表达式中，截断m取N项求和，即可得到层合梁内任意一点的位移和应力。4 收敛性和比较首先研究本文解的收敛性，以三层层合梁为例。层合梁的材料参数为：L=1m，h1=h2=h3=0.1 m；温度由基准温度20 oC升高到120 oC（T=100 oC）；弹性模量E1=2.2×1011 Pa, E2=2.1×1011 Pa, E3=2.0×1011 Pa；热膨胀系数：1=1.1×10-6 /oC，2=1.0×10-6 /oC，3=0.9

10、15;10-6 /oC；泊松比：1=0.1，2=0.2，3=0.3。观察两个不同点x=0.3；y=0.1和x=0.6；y=0.2，取四个不同的级数项N=5,10,15,20进行计算，表1给出了其收敛性。从表中看到，当N=20时各项解的前三位数字和N=15的解已完全一致，所以在本文以后的计算中，均取N=15。为检验本文方法的正确性，在y=0.1处，沿x方向依次取5个点，给出横向位移和x方向应力如表2所示，并与ANSYS解进行比较（ANSYS有限元分析采用plane-42单元）。从表中可以看出，本文的弹性力学解和有限元解非常接近，最大误差不超过2%。表1 收敛性研究Table 1 Converge

11、nce studies位置级数项Nx=0.3m;y=0.1m53.76-18.3-28.20.5660.339103.92-18.6-28.90.4530.348153.92-18.5-28.70.3510.349203.92-18.5-28.70.3510.349x=0.6m;y=0.2m5-3.3-7.81-27.30.1500.17210-3.07-7.63-27.40.1320.17015-3.11-7.60-27.50.1660.16720-3.11-7.60-27.50.1660.167表2 y=0.1 m处热弹性力学解和有限元解的比较Table 2 The comparison

12、of present thermoelasticity solutions with FE solutions at y=0.1 m位移和应力方法x=0.1 mx=0.2 mx=0.3 mx=0.4 mx=0.5 m本文解9.256.23.921.930ANSYS解9.336.283.871.950本文解-32.0-29.8-28.7-28.5-28.4ANSYS解-32.4-29.7-29.3-29.1-28.55 算例仍以上述层合梁为例，计算不同温度下（T=100 oC、200 oC、300 oC），x=0.3截面处的位移和应力，如图2所示。从图2(a)中可以看出，随着温度的升高，最大位移

13、相应地增大。温度越高，位移沿厚度变化的速率越大。由图2(b)可知，每个层间界面在x方向的应力是不连续，有一个突然的跳跃。这是由于层间应力的连续性只保证y方向的正应力以及剪应力相等，而层间界面在x方向的正应力是不相等的。(a)(b)图 2 不同温度下x=0.3处的断面位移和应力分布Fig.2 Displacement and stress distributions under different temperatures at x=0.36 结 论本文研究了在均匀温度场作用下层合简支梁的位移和应力问题。利用商业有限元软件ANSYS分析结果进行对照，显示出很高的精度。本文重点在于利用层间界面位移

14、和应力必须连续的条件，递推得到底层梁和顶层梁之间的位移和应力关系。通过算例，分析得到了温度场对层合梁应力和位移的影响。结果表明,每个层间界面在x方向的应力是不连续，有一个突然的跳跃。随着温度的升高，梁的最大位移相应地增大。温度越高，位移沿厚度变化的速率越大。参考文献：1Nowacki, W., Thermoelasticity M. New York: Pergamon Press, 1952.2Hess, M.S., The end problem for a laminated elastic strip-I. the general solution. Journal of Compos

15、ite Materials.1969, 3: 262-280.3Timoshenko, S., Analysis of bi-metal thermostats. Journal of the Optical Society of America. 1925, 11: 233-255.4Suhir, E., Stresses in bi-metal thermostats. ASME Journal of Applied Mechanics, 1986,53: 657-660.5 吕朝锋，陈伟球，仲政. 功能梯度厚梁的二维热弹性力学解J. 中国科学G辑，2006, 36 (4): 384-39

16、2.6 陈伟球，丁皓江. 横观各向同性三维热弹性力学通解及其势理论法J. 力学学报，2003, 35 (5): 578-583.7 陈伟球，边祖光，丁皓江. 功能梯度矩形厚板的三位热弹性分析J. 力学季刊，2002, 23 (4): 443-449.8 陈伟球，赵莉. 功能梯度材料平面问题的辛弹性力学解法J. 力学学报, 2009, 41 (4): 588-594.9 Xu, Y. and Zhou, D., Two-dimensional thermoelastic analysis of beams with variable thickness subjected to thermo-mechanical loads. Applied Mathematical Modelling, 2011, acce