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文档简介

1、难点31 数学归纳法解题数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想,抽象与概括,从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.难点磁场()是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+n(n+1)2=(an2+bn+c).案例探究例1试证明:不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列,当n1,nN*且a、b、c互不相等时,均有:an+cn2bn.命题意图:本题主要考查数学归纳法证明不等式,属级题目.知识依托:等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.错解分析:应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立,不应只证明一种情况.技巧

2、与方法:本题中使用到结论:(akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数),从而ak+1+ck+1ak·c+ck·a.证明:(1)设a、b、c为等比数列,a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列,则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明:当n=2时,由2(a2+c2)(a+c)2,设n=k时成立,即则当n=k+1时, (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=(ak+ck)(a+c)()k·()=()k+1例2在数列an中

3、,a1=1,当n2时,an,Sn,Sn成等比数列.(1)求a2,a3,a4,并推出an的表达式;(2)用数学归纳法证明所得的结论;(3)求数列an所有项的和.命题意图:本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.知识依托:等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.错解分析:(2)中,Sk=应舍去,这一点往往容易被忽视.技巧与方法:求通项可证明是以为首项,为公差的等差数列,进而求得通项公式.解:an,Sn,Sn成等比数列,Sn2=an·(Sn)(n2) (*)(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=由a1=1,a2=,S3=+a

4、3代入(*)式得:a3=同理可得:a4=,由此可推出:an=(2)当n=1,2,3,4时,由(*)知猜想成立.假设n=k(k2)时,ak=成立故Sk2=·(Sk)(2k3)(2k1)Sk2+2Sk1=0Sk= (舍)由Sk+12=ak+1·(Sk+1),得(Sk+ak+1)2=ak+1(ak+1+Sk)由知,an=对一切nN成立.(3)由(2)得数列前n项和Sn=,S=Sn=0.锦囊妙记(1)数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题,若1°P(n0)成立(奠基)2°假设P(k)成立(kn0),可以推出P(k+1)成立(归纳),则P(n)对一切大

5、于等于n0的自然数n都成立.(2)数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明:恒等式,不等式,数的整除性,几何中计算问题,数列的通项与和等.歼灭难点训练一、选择题1.()已知f(n)=(2n+7)·3n+9,存在自然数m,使得对任意nN,都能使m整除f(n),则最大的m的值为( )A.30B.26C.36D.62.()用数学归纳法证明3kn3(n3,nN)第一步应验证( )A.n=1B.n=2C.n=3D.n=4二、填空题3.()观察下列式子:则可归纳出_.4.()已知a1=,an+1=,则a2,a3,a4,a5的值分别为_,由此猜想an=_.三、解答题5.()用数学归纳法证明4+3n+

6、2能被13整除,其中nN*.6.()若n为大于1的自然数,求证:.7.()已知数列bn是等差数列,b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求数列bn的通项公式bn;(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且a1)记Sn是数列an的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.8.()设实数q满足|q|1,数列an满足:a1=2,a20,an·an+1=qn,求an表达式,又如果S2n3,求q的取值范围.参考答案难点磁场解:假设存在a、b、c使题设的等式成立,这时令n=1,2,3,有于是,对n=1,2,3下面等式成立1·22+2·3

7、2+n(n+1)2=记Sn=1·22+2·32+n(n+1)2设n=k时上式成立,即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说,等式对n=k+1也成立.综上所述,当a=3,b=11,c=10时,题设对一切自然数n均成立.歼灭难点训练一、1.解析:f(1)=36,f(2)=108=3×36,f(3)=360=10×36f(1),f(2),f(3)能被36整除,猜想f(n)能被36整除.证明:n=1,

8、2时,由上得证,设n=k(k2)时,f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,则n=k+1时,f(k+1)f(k)=(2k+9)·3k+1(2k+7)·3k=(6k+27)·3k(2k+7)·3k=(4k+20)·3k=36(k+5)·3k2(k2)f(k+1)能被36整除f(1)不能被大于36的数整除,所求最大的m值等于36.答案:C2.解析:由题意知n3,应验证n=3.答案:C二、3.解析:(nN*)(nN*)、 三、5.证明:(1)当n=1时,42×1+1+31+2=91能被13整除(2)假设当n=k时,

9、42k+1+3k+2能被13整除,则当n=k+1时,42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·342k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2)42k+1·13能被13整除,42k+1+3k+2能被13整除当n=k+1时也成立.由知,当nN*时,42n+1+3n+2能被13整除.6.证明:(1)当n=2时,(2)假设当n=k时成立,即7.(1)解:设数列bn的公差为d,由题意得,bn=3n2(2)证明:由bn=3n2知Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+)=

10、loga(1+1)(1+)(1+ )而logabn+1=loga,于是,比较Sn与logabn+1的大小比较(1+1)(1+)(1+)与的大小.取n=1,有(1+1)=取n=2,有(1+1)(1+推测:(1+1)(1+)(1+) (*)当n=1时,已验证(*)式成立.假设n=k(k1)时(*)式成立,即(1+1)(1+)(1+)则当n=k+1时,,即当n=k+1时,(*)式成立由知,(*)式对任意正整数n都成立.于是,当a1时,Snlogabn+1,当 0a1时,Snlogabn+18.解:a1·a2=q,a1=2,a20,q0,a2=,an·an+1=qn,an+1·an+2=qn+1两式相除,得,即an+2=q·an于是,a1=2,a3=2·q,a5=2·qn猜想:a2n+1=qn(n=1,2,3,)综合,猜想通项公式为an=下证:(1)当n=1,2时猜想成立(2)设n=2k1时,a2k1=2·qk1则n=2k+1时,由于a2k+1=q·a2k1a2k+1=2·qk即n=2k1成立.可推知n=2k+1也成立.设n=2k时,a2k=qk,则n=2k+2时,由于

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