小学工程问题归纳及经典练习题

1、解工程问题的方法工程问题是研究工作量、工作效率和工作时间三者之间关系的问题。这三者 之间的关系是：工作效率X工作时间=工作量工作量工作时间=工作效率工作量工作效率=工作时间根据上面的数量关系，只要知道三者中的任意两种量，就可求出第三种量。由于工作量的已知情况不同，工程问题可分为整数工程问题和分数工程问题 两类。在整数工程问题中，工作量是已知的具体数量。解答这类问题时，只要按 照上面介绍的数量关系计算就可解题，计算过程中一般不涉及分率。在分数工程 问题中，工作量是未知数量。解这类题时，也要根据上面介绍的数量关系计算， 但在计算过程中要涉及到分率。一、工作总量是具体数量的工程问题例1建筑工地需要1

2、200吨水泥，用甲车队运需要15天，用乙车队运需要10天。两队合运需要多少天？（适于四年级程度）解：这是一道整数工程问题，题中给出了总工作量是具体的数量1200吨，还给出了甲、乙两队完成总工作量的具体时间。先根据“工作量+工作时间=工作 效率”，分别求出甲、乙两队的工作效率。再根据两队工作效率的和及总工作量, 利用公式“工作量+工作效率=工作时间”，求出两队合运需用多少天。甲车队每天运的吨数：（甲车队工作效率）1200-15=80 （吨）乙车队每天运的吨数：（乙车队工作效率）1200-10=120 （吨）两个车队一天共运的吨数：80+120=200 （吨）两个车队合运需用的天数：1200200

3、=6 （天）综合算式：1200- （1200-15 + 1200-10）=1200- （80+120）=1200-200=6 （天）答略。例2生产350个零件，李师傅14小时可以完成。如果李师傅和他的徒弟 小王合作，则10小时可以完成。如果小王单独做这批零件，需多少小时？（适 于四年级程度）解：题中工作总量是具体的数量，李师傅完成工作总量的时间也是具体的。李师傅1小时可完成：35074=25 （个）出“如果李师傅和他的徒弟小王合作，则10小时可以完成“可知，李师傅和 徒弟小王每小时完成：350X0=35 （个）小王单独工作一小时可完成：35-25 = 10 （个）小王单独做这批零件需要：350

4、X0=35 （小时）综合算式：350 （350-10-350-14）=350+ （35-25= 35070=35 （小时）答略。,例3把生产2191打毛巾的任务，分配给甲、乙两组。甲组每小时生产毛 巾128打，乙组每小时生产毛巾160打。乙组生产2小时后，甲组也开始生产。 两组同时完工时超产1打。乙组生产了多长时间？（适于四年级程度）解：两组共同生产的总任务是：2191-160x2 + 1 = 1872 （打）两组共同生产的时间是:1872- (160+128) =6.5 (小时)乙组生产的时间是：6.5 + 2 = 8.5 （小时）综合算式：（2191-160x2+1） + （160+128

5、） +2=1872+288+2= 6.5 + 2= 8.5 （小时）答略。练习题：1、筑路队疾患修筑一条长2400米的公路，中队单独做需要20天完成，乙 队单独需要30天完成。如果两队同时开工共同修筑，只需几天就可以完成？2、甲、乙两个工程队合修一条长42千米的水泥路，中队每天修0.5千米,比乙队的2倍多0.1千米。（1）乙队每天修多少千米?35、用两台机器生产108个齿轮。第一台4.5小时能生产18个，第二台1.6小时能生产8个。两台机器一同生产一段时间以后，还剩45个。两台机器一同 生产了多少小时？综合算式：/ A Z 13（108 -45）-（18-4-+8-1-）= 63+（4 + 5

6、）= 63-9 = 7 （小时）答略。二、工作总量不是具体数量的工程问题工程问题方法总结：基本数量关系：工效X时间=工作总量二：基本特点：设工作总量为“1”，工效=1/时间三：基本方法：算术方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：类型与方法：-:分做合想：1.合想,2.假设法,3.巧抓变化（比例）,4.假设法。二：等量代换：方程组的解法一代入法，加减法。三：按劳分配思路：每人每天工效一每人工作量一按比例分配四：休息请假：方法：1.分想：划分工作量。2.假设法：假设不休息。五：休息与周期：1 .已知条件的顺序：先工效，再周期，先周期，再天数。2 .天数：近似天数，准确天数

7、。3.列表确定工作天数。六：交替与周期：估算周期，注意顺序！七：注水与周期：1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。八：工效变化。九：比例：1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想（周期）。+ ：牛吃草问题：1 .新生草量，2.原有草量，3.解决问题。工程问题当知道了两者工作效率之比，从比例角度考虑问题，也就是知道了所需的时 间比。因此，在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1” 的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵 活一些.两个人的问题标题上说的“两个人"，也可以是两个组、两个队等等的两个集

8、体.（一）两个人的问题例1. 1 一件工作，由A做20天完成，B做15天完成。（1）两队合做5 天可以完成工程的几分之儿？（2）两队合做6天，还剩下工程的几分之几？（3） 两队合做儿天完成？117解：(1) ( + )x5 = 20 1512113（2） 1-(+ )x6 = 20 1510/ 、i z 11、60 o4/工、（3） 1 + （ + ） = = 8 （人）20 1577答：（1）两队合做5天可以完成工程的2_。（2）两队合做6天，还1234剩下工程的一。（3）两队合做8士天完成。107【解析】此题是工作效率问题。A用20天完成，总工程是“1:所以中队的工作效率是1 + 20 =

9、,乙对的工作效率是1-5-15 = o2015问题（1）要求完成的工程量，用工作效率X工作时间；问题（2）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用总工程量“1”减去已 做工程量；问题（3）要求完成时间，用总工程量“ 1”总工效。例1.2、一工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成，现在甲、乙做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解： l-（- + -）x3 = -9 66=1（天）O O答：乙需要做1天可以完成全部工作。【解析】要解决此题，就要清楚此工程的过程，此工程是中和乙完成一件工作，先是 甲和乙一起做，之后转由乙单独完成，求的是乙单独完成剩下的工作时间。总工程是

10、“1 ”,就可以知道：甲的工作效率是1+9 = ,乙对的工作效率是91+6 = 1。6求乙单独完成剩下的工作时间，还需要知道乙的工作总量，乙的工作总量=1-甲乙一起3天做的工作量。甲和乙3天的工作总量：工作效率X工作时间=工作总量9d + l）x3, 9 6剩下：t Z1 1 o 11 -（ + ）x3 =9 66乙完成剩下的工作时间：利用工作总量+工作效率=工作时间1=1（天）6 6练习一1、 一项工程，甲队单独做24天完成，乙队单独做16天完成。甲、乙两 队合做，多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1。甲队单独做24天完成，做1天完成这项工程的占；乙队单独做16天

11、完成，做1天完成这项工程的5。甲、乙2416两队合做1天，完成这项工程的合 二）二。工作总量1中包含多少个!，24 lo 4X4X甲、乙两队合做完成这项工程就需要多少天。二1 ;483 千=”（天）答略。2、一项工程，由甲工程队修建需要20天，由乙工程队修建需要30天。甲、乙两队合做多少天能完成全工程的9?（适于六年级程度）解：把这项工程的工作总量看作1,由甲工程队修建需要20天，知甲工鄙一天完成这项工程的J ;由乙工程队修建需要30天，知乙工程队一天完 乙V蟋项工程的，甲、乙两个工程队共同修建一天，完成这项工程的 3113：中含有多少个高+为 甲、乙合作完成这项工程的彳就需要多少天。3 11

12、4 、20 3 H _ 3,342 =4 "60"3 1 =-r 一4 12=9（天）3、一项工程，甲、乙合做5天可以完成，中单独做15天可以完成。乙单 独做多少天可以完成？（适于六年级程度）解：把这项工程的工作量看作1。甲、乙合做5天可以完成，甲、乙合做一天完成这项工程的g。甲单独做15天可以完成，甲做一天完成这项工程的白。从甲、乙的工作效率之和;减去甲的工作效率可求出乙的工作效率工作总量1中包含多少个乙的工作效率，乙单独做这项工程就需要多长的时间。= 7.5 （天）答：乙单独做7.5天可以完成。例2.1 ： 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。现在甲先做了3

13、天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？解一：把这件工作看作1,中每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的l/3o乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3） 7/6=4 （天）答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下J：作所需时间是（18- 2 x 3） - 3= 4 （天）.解三：甲与乙的工作效率之比是6 : 9= 2 : 3.中做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4 （天）.练习二1、一项工程，甲独做需15天，乙独做需12天，现在甲乙合作若干天后，乙再接着

14、做3天，就完成了全部工程，问甲乙合作了多少天？2、一项工程，甲队单独做需20天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙队单独做，多少天可以完成?例3.1 ： 一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，山乙继续做了 40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少 天？解：共做了6天后,原来，甲做24天，乙做24天，现在，甲做0天，乙做40= (24+16)天.这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率如果乙独做，所需时间是50天如果甲独做，所需时间是75天答：甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.练习三1、甲乙两人合作生产一批零件，6天可以

15、完成任务，甲先做5天，因有事外出，这时只完成任务的;，如果接下来由乙完成，还需要多少天？2、一批零件，先由20人生产了 10天完成任务的：，余下的工程要提前10天完成，还要增加多少人？3、中乙二人合作一批零件需20天，甲比乙多做了这批零件的1/9,中单独 做需多少天完成？4、一项工程，中乙两队需10天完成，甲乙两队合作了几天，因乙队有事调离，由甲队乂干了 8天，乂知甲队独做需20天完成，问甲、乙两队合干了多少 天？例4.1： 一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始 到完工共用了多少天时间？解一：甲队

16、单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是2 + 8+ 1= 11 （天）.答：从开始到完工共用了 11天.解二：设全部工作量为30份.中每天完成3份，乙每天完成1份.在中队单独做 8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作（30- 3 x 8- lx 2） - （3 + 1） = 1 （天）.解三：甲队做1天相当于乙队做3天.在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8= 2 （天）工作量.相当于乙队 要做2x3 = 6 （天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4 （天）工作量.4=3 + 1,其中3天可由中队1天完成，因此两队只需再合作1天.解四：

17、方法：分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在 一起休息.）甲队每天工作量为1/10,乙为1/30,因为甲休息了2天，而乙休息 了8天，因为8>2,所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。那么甲开始工作 时，乙还要休息：8-2 = 6（天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的 1/10x6=6/10,剩下的工作量为1-6/10=4/10,而这剩下的4/10为甲乙两人一起 合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作： （4/10）X1/10+1/30）=3天。所以从开始到完工共需：8 + 3 = 11（天）例4.2： 一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完

18、成.现在他们 两队一起做，其间中队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了 16天. 问乙队休息了多少天？解一：如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是 （1-20） xl6+ （1+30） x6=4/3由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1 = 1/3乙队休息期间未做的工作量是1/3-1/20x3=11/60乙队休息的天数是11/60-（1/30）=11/2答：乙队休息了5天半.解二：设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.两队休息期间未做的工作量是（3 + 2） xl6- 60= 20 （份）.因此乙休息天数是（20- 3 x 3） 2= 5.5 （天）.解三：甲

19、队做2天，相当于乙队做3天.甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.如果中队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙 休息天数是16-6-4.5 = 5.5 （天）.练习四1、一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作,其间甲队休息了 2天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完 工共用了多少天时间？2、加工一批零件，甲单独做20天完成，乙单独做30天完成，现在两人合 作完成，中间甲休息了 2.5天，乙休息了若干天（两人没有同事休息一天），这 样共用14天完工，问乙休息了多少天？3、一件工作，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要10天完

20、成，现在中乙合作8天完成任务，已知这段时间甲休息了 2天看，那么乙休息了多少天？4、一项工程，甲单独做需要12天完成，乙单独做需要8天完成，现在两人合作，中途休息了 2天，乙没有休息，完成这件工程共用了多少天？例题5 一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的白，乙队单独完成全部工程需要几天？【思路导航】此题已知中、乙两队的工作效率和是，只要求出中队货乙 队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将中队独做255天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了 3天后，甲队独做2天来考虑,就可以求出中队2天的工作量/X3=，从而求出中队的工作效率。所

21、以71元一隹 义3）+（5 3）】=20 （天）答：乙队单独完成全部工程需要20天。练习五1、 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了 3天,3因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的n。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？52、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的R o如果这项工程13由中队独做2天,再由乙队独做3天，能完成全部工程的有。甲、乙两 队单独完成这项工程各需多少天？3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天,8再由乙队独做12天，还剩这项工程的西o甲、乙两队独做各需儿天完成?例题6一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了 3天，再由乙队

22、做2天， 则能完成这项工程的;o现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做 完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（；一看X3） ；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意,O可组合成由两个乙队和一个中队合做需若干天完成，即可求出相等 的时间。（1） 乙队每天完成这项工程的111（2 一万 乂3） +2下（2） 两段时间一共是1114- （- X 2+7Z ） X2 = 6 （天） OI C答：两段时间一共是6天。练习六1、一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能8完成这项工程的正o现由甲、乙两队合做若干天后，再由

23、乙队单独做。做 完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？2、一项工程，中、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了 3天。乙独做这项工程要几天完成？3、某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙 接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？（二人多人的工程问题例1. 一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成, 甲、丙两人合作要60天完成，问中一人独做需要多少天完成?缶7, 111、01解：(十 + )+ 2 =36 45 603

24、01-2-(-) = 90 (天)30 45JX 天 /< 60=XI/ ±60 1一30 zf天 zfv 80 1=x)z1361犷(X答：独做完成，甲需90天，乙需60天，丙需180天。【解析】此题有别与以上3题，是要对工作效率更深刻的理解，寻找数学量之间的关 系。1、有一项工程，甲队独做需8天，乙队独做需10天，丙队独做需20天，现在由丙队先独做9天后，再由甲乙合作，问再需多少天可以完成？2、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作9天完成，中丙两人合作18天完成，如果丙一人来做，完成这项工程需要多少天？3、一项工程，甲乙两人合作8天完成，乙丙两人合作6天完成，丙丁两

25、人合作12天完成，那么中丁两人合作多少天可以完成？4、一项工程，甲乙两人合作6天完成，乙丙两人合作9天完成，甲丙两人合作15天完成，现在甲乙丙三人合作需多少天？5、生产一批零件，甲乙两人合作12小时完成，乙丙两人合作15小时完成,甲丙两人合作20小时完成，现在中乙丙三人合作需多少小时？6、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁队合作15天完成，由甲 乙丁队合作12天完成，有甲丙丁队合作20天完成，由中队单独做需要多少天 完成？例题2。一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时 后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的| ；如果甲、乙合做3小时后， 丙做6小时，也可以完成这

26、项工作的|。如果由中、丙合做，需儿小时完成？【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时, 可以完成这项工作的("组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合2做2小时可以完成这项工作的可”，则求出中的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。甲每小时完成这项工程的几分之儿2 11(T 7 X 2 ) 4- ( 6 - 2 ) =7Z3 6Id内每小时完成这项工程的几分之几211(£ -7 X 3 ) 4- (6 - 3 )=而 oIO甲、丙合做需完成的时间为：1+ (77 +77)=71(小时)IC I O答：甲、丙合做完成需要/小时。练习二1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的3 ；如果甲、乙合做2 I O小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的o这项工作如果由甲、丙 I O合做需儿小时完成？2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙 独做这项工程要几天就可以完成？3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完 成。现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5；天完成。 乙队单独做这项工程需多少天可以完成？4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现