第三章第2节第2课时(新高考数学一轮复习资料)

1、第2课时利用导数研究函数的极值、最值考点聚焦突破考点一 利用导数解决函数的极值问题多维探究 角度1根据函数图象判断函数极值【例1 1】已知函数f(x)在R上可导，其导函数为f'x),且函数y=(1x)f'x) 的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是 (A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f( 2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f( 2)D.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)解析 由题图可知，当x< 2时，f'x)>0;当一2<x<1时，f'x)<0;当1<

2、;x<2时, f'x)<0;当x>2时，f'x)>0.由此可以得到函数f(x)在x= 2处取得极大值，在x=2处取得极小值.答案 D规律方法由图象判断函数y=f(x)的极值，要抓住两点：(1)由v= f'x)的图象与x轴的交点，可得函数y=f(x)的可能极值点；(2)由导函数v= f'x)的图象可以看出y= f'x)的值的正负，从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.角度2已知函数求极值【例12 (2019天津和平区模拟)已知函数f(x) = ln x- ax(aCR).当a = 1时，求f(x)的极值；讨论函数f(

3、x)在定义域内极值点的个数.解 当a=2时，f(x) = ln x-2x,函数的定义域为(0, +00)且f&)=9 2=与广, xxx /xj令 f'x)=0,得 x= 2,于是当x变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表.x(0, 2)2(2, +00)fx)十0一f(x)In 2-1故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2) = ln 2-1,无极小值.(2)由(1)知，函数的定义域为(0, +8),f x) = -a=设切点坐标为(x0, ln x。)，则切线方程为y=x0x+ ln x。一 1.-xax(x>0). x x当a0 0时，f

4、'x)>0在(0, +8)上包成立，即函数在(0, +8)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；，1.，当 a>0 时，当 xC 0,-时，f'x)>0, a当 xe ! +8 时，f，x)<0, a 1 . 一故函数在x=a处有极大值.综上可知，当a00时，函数f(x)无极值点，当a>0时，函数v= f(x)有一个极大值点，且为x= 1. a规律方法 运用导数求可导函数 y = f(x)的极值的一般步骤：(1)先求函数y=f(x)的定义域，再求其导数f'x); (2)求方程f'x) = 0的根；(3)检查导数f'x)在方

5、程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点角度3已知函数的极(最)值求参数的取值【例13 (2019泰安检测)已知函数f(x)=ln x求f(x)图象的过点P(0, 1)的切线方程；(2)若函数g(x) = f(x) mx+ m存在两个极值点x1, x2,求m的取值范围.x1解(1)f(x)的定义域为(0, +8),且f'x)=,.x把点P(0, 1)代入切线方程,得ln xo = 0, . .x0=1.过点P(0, 1)的切线方程为y=x1.mW x+ m(2)因为 g(x

6、) = f(x) mx+ m= In x- mx+ ?(x>0),旧、1 ，丫 1_ m x-mx2-m所以 g x= m-2=2x x x令 h(x) = mx2x+m,要使g(x)存在两个极值点x1, x2,则方程mx2x+ m= 0有两个不相等的正数根x1, x2.h(0)>0,11故只需满足 2m>0，即可，解得0<m<2.1h2m<0规律方法 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：(1)根据极值点 的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验.【训

7、练11 (1)(2017全国II卷)若x= 2是函数f(x) = (x2+ax 1) ex1的极值点, 则f(x)的极小值为()A.1B.-2e 3C.5e 3D.1解析 f' x)=x2+(a+2)x+ a 1 ex- 1,则 f' Y2) = 4 2(a+2) + a1 e 3 = 0? a= 1,则 f(x)=(x2x 1) ex，f'x)=(x2+x 2) ex，令 f'x)=0,得 x= 2或乂= 1,当 x< 2 或 x>1 时，f' x)>0,当一2<x<1 时，f' x)<0,所以x=1是函数f

8、(x)的极小值点， 则f(x)极小值为f(1) = 1.答案 A (2018 北京卷)设函数 f(x)=ax2 (4a+1)x + 4a+3ex.若曲线v= f(x)在点(1, f(1)处的切线与x轴平行，求a；若f(x)在x=2处取得极小值，求a的取值范围.解 因为 f(x) = ax2(4a+ 1)x+ 4a+3ex,所以 f'x)=ax2(2a+1)x+2ex.f'(号(1a)e.由题设知f'(号0,即(1 a)e= 0,解得a=1.此时 f(1) = 3ew 0.所以a的值为1.f' x) = ax2 -(2a+1)x+ 2ex= (ax- 1)(x 2

9、)ex.若 a>1,则当 x 1, 2 时，f'x)<0; 2a当 xC (2, +oo)时，f x)>0.所以f(x)在x= 2处取得极小值.-11若 a02,则当 x (0, 2)时，x-2<0, ax- 1<2x-1<0,所以f'x)>0.所以2不是f(x)的极小值点.1综上可知，a的取值范围是2, +8 .考点二利用导数求函数的最值【例2】(2019广东五校联考)已知函数f(x) = ax+ ln x,其中a为常数.(1)当a= 1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0, e上的最大值为一3,求a的值.解(1)易知f

10、(x)的定义域为(0, +8),当 a=1 时，f(x)= x+ln x, f'xl= 1 + x= 1x，令 f'x)=0,得 x= 1.当 0<x<1 时，f'x)>0;当 x>1 时，f x)<0.；f(x)在(0, 1)上是增函数，在(1, +8)上是减函数. f(x)max=f(1)= 1.二当a= 1时，函数f(x)在(0, +00)上的最大值为1.-1K 1(2)f x) = a + x，x (0, e, x 4, +00 .1右a>-则f x)>0,从而f(x)在(0, e上是增函数，e . f(x)max= f

11、(e)= ae+ 1 > 0,不合题意.若 a< 一令 f'x)>0 得 a+J>0,结合 xC(0, e,解得 0<x<一3； exa令 f'x)<0 得 a+1<0,结合 xC(0, e,解得1<x&e.xa从而f(x)在0, 1上为增函数，在 一1, e上为减函数， aa- f(x)max= f 二= 1 + ln 二.aa令1+ln -1 = 3,得 In -1 = 2,aa即 a= e2.,一 e2<1, ；a= e2 为所求. e故实数a的值为一e2.规律方法1.利用导数求函数f(x)在a, b上的

12、最值的一般步骤：(1)求函数在(a, b)内的极值；(2)求函数在区间端点处的函数值f(a), f(b); (3)将函 数f(x)的各极值与f(a), f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单 调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到 函数的最值.【训练2】(2019合肥质检)已知函数f(x)= excos x- x.(1)求曲线y= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；.冗一一 一 一一 一求函数f(x)在区间0, 2上的最大值和最小值.解 (1)f(x)=ex

13、cos x-x, .f(0)=1,f'x) = ex(cos x sinx) 1,(0)0, .y=f(x)在(0, f(0)处的切线方程为 y1=0 (x0), 即 y= 1.（2）f'x） = ex（cos xsin x） 1,令 g（x） = f'x）,则g x）= 2e sin xw 0在0, 2上包成立,且仅在x=0处等号成立， 九.一、一一.；g（x）在0, 2上单调递减，.g（x）&g（0） = 0,.f' x）00且仅在 x=0 处等号成立, 九.一、一一.；f（x）在0, 2上单调递减，冗Tt f（x）max= f（0）=1, f（x）

14、min=f 2 = 2考点三 利用导数求解最优化问题【例3】（2018衡水中学质检）在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为v（米/单位时3间），每单位时间的用氧量为10 +i（升），在水底作业io个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为2（米/单位时间），每单位时间用氧量 为1.5（升），记该潜水员在此次考察活动中的总用氧量为y（升）.（1）求y关于v的函数关系式；若cwv015（c>0）,求当下潜速度v取什么值时，总用氧量最少.60360 3v2 60解（1）由题意，下潜用时60（单位时间），用氧

15、量为io +1 x6°=3o+60（升）,60 120 一水底作业时的用氧量为10X0.9= 9（升），返回水面用时二常（单包时|可），用氧2目4120180.量为了 X1.5=7(升)，因此总用氧量y=3v；-+240+ 9(v>0).50 v(2)y'=6v 240 3 (v3 2 000)50 v2 =25v2,令 y '= 0 得 v = 1032,当0<v<10y2时，y' <50函数单调递减； 3当v>10或时，y' >0函数单调递增.若c<10皿,函数在（c, 10V2）上单调递减，在（102，1

16、5）上单调递增，当v=13时，总用氧量最少.3若O 10/2,则y在c, 15上单调递增，当v = c时，这时总用氧量最少.规律方法 1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤：设自变量、因变量，建立函数关系式 v= f（x）,并确定其定义域；（2）求函数的导数f'x）,解方程f'x） = 0；（3）比较函数在区间端点和f'x）=0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值;回归实际问题作答.2.如果目标函数在定义域内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点.【训练3】（2017全国I卷）如图，圆形纸片的圆心为 O,半径为5 cm,该纸片上 的等边三角形 A

17、BC的中心为O.D, E, F为圆。上的点， DBC, AECA, AFAB 分别是以BC, CA, AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC, CA, AB 为折痕折起 DBC, AECA, AFAB,使得D, E, F重合，得到三棱锥.当4ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为.解析 由题意，连接OD,交BC与点G,由题意，ODLBC,设 OG = x,则 BC = 2>/3x, DG = 5 x,三棱锥的高h = DG2-OG2= 425 10x+ x2 x2=25- 10x,1 . o.。Sz ABC = 2 (273x)2 sin 60 = 3V

18、3x2, 则三棱锥的体积 V= 3saABC h= 3x2 25- 10x =V3 .25x4-10x5,5令 f(x) =25x410x5, x 0, 2 ,贝U f 'x)= 100x350x4,令 £4)=0得乂= 2,当 xC(0, 2)时，f'x)>0, f(x)单调递增;时5- 22X当f'x)<0, f(x)单调递减,故当x = 2时，f(x)取得最大值80,则 V< '3X ,80= 4.15.二体积最大值为4币5 cm3.答案 4,15量反思与感悟思维升华1 .求函数的极值、最值，通常转化为对函数的单调性的分析讨论，

19、所以，研究函 数的单调性、极值、最值归根结底都是对函数单调性的研究2 .研究函数的性质借助数形结合的方法有助于问题的解决.函数的单调性常借助导 函数的图象分析导数的正负；函数的极值常借助导函数的图象分析导函数的变号 零点；函数的最值常借助原函数图象来分析最值点 .3 .解函数的优化问题关键是从实际问题中抽象出函数关系，并求出函数的最值.易错防范1 .求函数的极值、函数的优化问题易忽视函数的定义域.2 .已知极值点求参数时，由极值点处导数为 0求出参数后，易忽视对极值点两侧 导数异号的检验.3 .由极值、最值求参数时，易忽视参数应满足的前提范围(如定义域)，导致出现了 增解.|分层限时训炼分,世

20、升能力基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1 .函数y=f(x)导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是 ()A.(-1, 3)为函数y=f(x)的递增区问B.(3, 5)为函数y=f(x)的递减区间C.函数y=f(x)在x= 0处取得极大值D.函数y=f(x)在x= 5处取得极小值解析 由函数y=f(x)导函数的图象可知，f(x)的单调递减区间是(8, 1), (3, 5),单调递增区间为(一1, 3), (5, +8),所以f(x)在x= 1, 5取得极小值，在 x=3取得极大值，故选项C错误.答案 C2 .设aC R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点，则()A.a<1B

21、.a>1C.a> -D.a< -ee解析 因为y= ex + ax,所以y = ex + a.又函数y=ex+ax有大于零的极值点，则方程y'=ex+a= 0有大于零的解，当 x>0 时，一ex< 1,所以 a= ex< 1.答案 A3 .已知函数f(x) = x3 + ax2+bx+ 22在乂= 1处有极值10,则f(2)等于()A.11 或 18B.11C.18D.17 或 18解析 :函数 f(x) = x3+ax2+bx+ a2在 x=1 处有极值 10, ；f(1) = 10,且 f' (1)0,又 f x)=3x2 + 2ax+

22、b,1 + a+b+a2=10,a= 3, a=4,解得或3 + 2a+ b=0,b = 3 b=11.a 3,而当时，函数在x=1处无极值，故舍去.b = 3f(x) = x3+ 4x2- 1仅+ 16, . f(2) = 18.答案 C4 .函数f(x) = 3x2+ln x-2x的极值点的个数是()A.0 B.1 C.2 D.无数解析 函数定义域为(0, +00),且 f'x)= 6x+ x- 2=6x xx+1, xx由于 x>0, g(x)=6x22x+1 的 A= -20<0,所以g(x)>0包成立，故f'x)>0包成立, 即f(x)在定义域

23、上单调递增，无极值点.答案 Ax5 .(2019青岛二模)已知函数f(x) = 2ef (e)lix ne是自然对数的底数),则f(x)的极 e大值为()A.2e-1B.-1C.1D.21n 2e解析由题意知，f' x)=91, x e f' (e)2f'(e>1,则 f' (e)1. ee因此 f'x)=2' 令 f'x) = 0,得 x=2e.x ef(x)在(0, 2e)上单调递增，在(2e, + oo)上单调递减. f(x)在 x= 2e 处取极大值 f(2e)= 21n(2e) 2 = 21n 2.答案 D二、填空题6 .

24、函数f(x) = xe-x, x 0, 4的最大值是.解析 f x) = ex x e-x=e x(1 -x),令 f'x)=0,得 x= 1.又 f(0) = 0, f(4) = ei, f(1)=e1=e, eef(1)=1为最大值. e1答案1e7 .已知函数f(x)= x3+ax24在x=2处取得极值，若mC1, 1,则f(m)的最 小值是.解析 f' x)= 3x2+2ax,由£仅)在乂= 2处取得极值知f (40,即一3X4+2aX2 =0,故 a = 3.由此可得 f(x)= x3+3x .解析 函数f(x)在区间2，3上有极值点等价于f x)=0有2个

25、不相等的实根且在 112，3内有根，由f'x)=0有2个不相等的实根，得a< 2或a>2.由f'x)=0在2, 3内有根，得a = x+ 1 在1, 3内有解，又x+1C 2, -30 ,所以2< a<130. x 2x 33综上，a的取值范围是2, 10. 10答案2, 130三、解答题9.设函数f(x) = aln x bx2(x>0),若函数£仅)在x= 1处与直线y=：相切.(1)求实数a, b的值；1求函数f(x)在",e上的最大值. e解 (1)由 f(x) = aln x-bx2(x>0),得 f'x

26、l= a 2bx, x1 一函数f(x)在x= 1处与直线y = 2相切,f'(1)=a 2b = 0,a=1,1解得 1f(1) = b= 2,b=2.(2)由(1)知，f(x) = ln x-1x2,则 f'x)=1 x=1, 人xx,11当二&x&e时，令 f x)>0,得cx<1, ee令 f'x)<0,得 1<x0 e, 4.f'x)= 3x2+6x,由此可得f(x)在(1, 0)上单调递减，在(0, 1)上单调递增，当 mC 1, 1时，f(m)min = f(0)= 4.答案 48.若函数f(x)=x3ax2

27、 + x+1在区间2, 3上有极值点，则实数a的取值范围是 3 2L1，f(x)在e, 1上单调递增；在(1, e上单调递减，1f(x) max=f(1)= 2.10.(2018 天津卷选编)设函数 f(x)=(x t1)(x t2)(x 13),其中 t1, t2, t3，R,且 t1,t2, t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0, d=1,求曲线y = f(x)在点(0, f(0)处的切线方程；(2)若d = 3,求f(x)的极值.解(1)由已知，得 f(x) = x(x1)(x+ 1) = x3 x,故 f'x)=3x21.因此 f(0) = 0, f' (0)-1

28、,又因为曲线V= f(x)在点(0, f(0)处的切线方程为y f(0) = f' (0x6。)，故所求切线方程为x+ y= 0.(2)由已知得 f(x) = (x 12 + 3)(x t2)(x 12 3) = (x 12)3 9(x 12) = x3 3t2x2 + (3t2 -9)x-t3+9t2.故 f' x)= 3x2 6t2x+ 3t2 9.令 f'x)=0,解得 x=t2 43,或 x= t2+/3.当x变化时，f'x), f(x)的变化情况如下表：x(OO, t2 -/3)t2-V3(t2-V3, t2 + V3)t2 + V3(t2+V3, +

29、0°)f' x)十0一0十f(x)尸极大值极小值/所以函数f(x)的极大值为f(t2V3) = (43)39 X (我)=6/3;函数f(x)的极小值为M2 +也)=(弧)39*m=673.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2019郑州质检)右函数y=f(x)存在n1(nCN )个极值点,则称y=f(x)为n折 函数，例如f(x) = x2为2折函数.已知函数f(x)=(x+1)ex x(x+2)2,则 修)为()A.2折函数B.3折函数C.4折函数D.5折函数解析 f x)= (x+ 2)ex (x+ 2)(3x+ 2)= (x+ 2)(ex 3x-2),令 f&#

30、39;x)=0,得 x= 2或 ex= 3x+2.易知x= 2是f(x)的一个极值点，又ex = 3x+ 2,结合函数图象，y= ex与y= 3x+2有两个交点.又e-2*3( 2) + 2=4.函数y=f(x)有3个极值点，则f(x)为4折函数.答案 C12.若函数f(x) = 2x2 ln x在其定义域的一个子区间(k1,k+ 1)内存在最小值，则 实数k的取值范围是.1 一 . 一 解析 因为f(x)的定义域为(0, +8),又因为Fx) = 4x，所以由f'x) = 0解得xx11k 1<q< k+ 1,3=1,由题意得 2 解得1&k<3.k-1&g

31、t;0,3答案1,213.(2019杭州质检)传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的. 这定海神针在变形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为12 cm且以每秒1 cm等 速率缩短，而长度以每秒20 cm等速率增长.已知神针的底面半径只能从12 cm缩 到4 cm,且知在这段变形过程中,当底面半径为10 cm时其体积最大.假设孙悟空 将神针体积最小时定形成金箍棒，则此时金箍棒的底面半径为 cm.解析 设神针原来的长度为a cm, t秒时神针的体积为V(t) cm3,则 V=兀(12t)2(a+ 20t),其中 0<t<8,所以 V't)U -2(12-t)(a+

32、20t)+(12-t)2 - 20冗.因为当底面半径为10 cm时其体积最大，所以10= 12 t,解得t=2,此时V' (2)=0,解得 a = 60,所以 V(t)=兀(121)2 (60+20t),其中 00t&8.V't)= 60 兀(12t)(2 t),当 tC(0, 2)时,V't)>0,当 tC(2, 8)时,V't)<0,从而V(t)在(0, 2)上单调递增,在(2, 8)上单调递减,V(0) = 8 640,V(8)=3 520式所以当t= 8时，V有最小值3 520 ,祉匕时金箍棒的底面半径为 4 cm.答案414 .设 f(x) = xln x-ax2+ (2a- 1)x(常数 a>0).(1)令g(x) = f'x),求g(x)的单调区问；(2)已知f