第3课简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(提分宝典)

1、第3课 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1.简单的逻辑联结词a.含逻辑联结词的命题的真假判断(1)(2017 山东，5 分)已知命题 p： ?x>0, ln(x+1)>0;命题 q：若 a>b,则 a所以q为真命题时，a>4. 因为“ pA q”为假命题，所以p真q假或p假q真或p假q假.当p真q假,时，aC?；>b2,下 列命题为真命题的是()答案：BA. p A q B. pA ?q C. ?p A q D. ?p A ?q解析：当x>0时，x+1>1, ln(x+1)>0,命题p是真命题，命题？p是假命题；当a =1, b=2时，满足a

2、>b,但a2vb2,命题q是假命题，命题？q是真命题，pA ?q 是真命题.故选B.(2)(2021改编，5分)已知命题 p： ?xCR,使sinxcosx= 四 命题q：集合x|x22x + 1 = 0, xCR有2个子集.下列结论：命题“ pVq ”是真命题；命题“ pA?q”是假命 题；命题“ ？pV?q”是真命题，正确的个数是 ()A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D解析：sinxcosx=W2 sinxcos： cosxsinj =sin(x-4) -72, 也,.命题 p 为 假命题，命题？p为真命题；.集合x|x22x+ 1 = 0, xC R=1 , .其子集的个数为

3、 2, 命题q为真命题，命题?q为假命题，据此有命题“ pV q”是真命题；命题“ pA ?q”是 假命题；命题“ ？pV?q”是真命题.故选 D.b.根据复合命题的真假求参数或其范围a(3)(2018江西东湖校级期末改编，5分)设命题p：函数f(x)=lg ax2-x+ 的te乂域为R;命题q： 3x-9x<a对xC 1,十)恒成立.若命题“ pA q”为假命题，则实数 a的取值 范围为.答案：(一巴2a斛析：要使函数f(x) = lg ax2-x+ 的te义域为R ,a则不等式ax2 x+ >0对于一切x C R恒成立.当a=0时，不等式变为x>0,解得x<0,不符

4、合题意.a>0a>。，当aw 0时，由不等式ax2- x+ -a>0对于一切xCR恒成立，得 '即 a 解16A<0,1 -4a 16<0,得 a>2,所以p为真命题时，a>2.设 g(x) = 3x-9x,令 3x= t,则 y=t-t2, t>1.3c1 c 11因为 y=t12= t-2 2+4，t>,所以当t=1时函数取得最大值1,所以g(x)wj2441因为a>3x- 9x对xC1, +8)恒成立，所以a>4.，一r q ,1 _当p假q真时，ae 4, 2 ； 1当p假q假时，a C 8,彳.综上，a的取值范

5、围为( 8, 2.(4)(2018四川遂宁期末，5分)设命题p：函数f(x)=x2ax在0,)上单调递增； 命题q：方程x2 + ay2=2表示焦点在y轴上的椭圆.命题“ pVq”为真命题，“ pAq”为假命 题，则实数a的取值范围为 .答案：a|a<1解析：因为二次函数f(x) = x2ax的图像开口向上，且对称轴为x=会 所以要使命题 p为真，则x= a< 0,解得aw 0.故命题p为真命题时，a< 0.方程x2+ay2=2化为椭圆方程的标准形式为 x2+y2=1.a因为该方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以2>2,a解得0<a<1.故命题q为真命题时，0&

6、lt;a<1.因为命题“ pVq ”为真命题，“ p A q”为假命题，所以命题p, q为一真一假.a w 0当p真q假时，可得解得aw。；a< 0或a> 1,a>0,当p假q真时，可得解得0<a<1.0<a<1,综上，a的取值范围为a|a<1.2,全称量词与存在量词a.全(特)称命题的否定(5)(2021改编，5分)已知命题p： ?c>0,使方程x2+2x+c= 0有解，则？p为()A. ?c>0,使方程 x2+2x+ c= 0 无解B. ?c< 0,方程 x2+2x+c=0 无解C. ?c>0,方程 x2+2x+

7、c= 0 无解D. ?c< 0,使方程 x2+2x+ c=0 有解答案：C解析：因为特称命题的否定是全称命题，且命题的否定只否定结论， 所以命题p "？c>0,使方程x2+2x+ c= 0有解”的否定是将存在量词改为全称量词，并对结论进行否定，即“？c>0,方程x2+2x+c= 0无解”.故本题正确答案为C.(6)(2019重庆渝中区校级期末，5分)已知命题p： ?xC (1, +8), xex<0,则？p为()A . ?xC( 8, 1, xex> 0B . ?x0 (1, +0°), x0 ex0 > 0C. ?xC (1 , +oo

8、 ), x- ex>0D . ?x0 ( oo, 1), x0 ex0> 0答案：B解析：因为全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题的否定只否定结论，故 ？p： ?x0 C(1, +8), x0ex0>0.故选 B.(2021改编，5分)命题“？nCN, f(n)?N或f(n)w n”的否定形式是() 提分宝典全考点岩查一轮教享被陆用书 > 内部资料请勿外传A . ?nC N, f(n) C N 且 f(n)>nB . ?no C N, f(no) C N 或 f(no)>noC. ?nC N, f(n)C N 或 f(n)>nD. ?noC N,

9、f(no)C N 且 f(no)>no答案：D解析：命题“？n e N, f(n)?N或f(n) Wn”为全称命题，其否定为特称命题：？noC N, f(no)CN 且 f(no)>no.故选 D.(8)(2016浙江，5分)命题“ ？xC R, ?nCN*,使得n> x2”的否定形式是()A . ?xC R, ?nC N*,使得 n<x2B. ?xC R, ?nC N*,使得 n<x2C. ?xC R, ?nC N*,使得 n<x2D. ?xC R, ?nC N*,使得 n<x2答案：D解析：命题“ ？xC R , ?nC N*,使得 n> x

10、2”的否定形式是“？xC R, ?nCN*,使得n<x2".故选 D.b.全(特)称命题的真假判断(9)(经典题，5分)已知定义域为 R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A . ?xC R, f( x)wf(x)B. ?xC R, f( x)w f(x)C. ?xoC R, f(x0)wf(x。)D. ?xoC R, f(x0)wf(x。)答案：C2x, x>0,解析：选项A错误：若f(x)=则有f(1)=f(1),2, x<0,全称命题“ ？xC R, f(x) wf(x)”为假命题；2x, x>0,选项B错误：若f(x)=则有f(1)

11、 = f(1),2, x<0,全称命题“ ？xC R, f(x) w f(x)”为假命题；选项C正确：特称命题“ ？xoCR, f( x0)wf(x。)”的否定为全称命题“ ？xC R, f(-x) = f(x)”，此时f(x)为偶函数，与已知矛盾，全称命题为假命题，特称命题为真命题；选项D错误：特称命题“ ？XoC R, f( X0)w f(x0)”的否定为全称命题“ ？xC R, f(-x) =f(x)”，当函数f(x)是定义在R上的非奇非偶函数时，全称命题为假命题，此时特称命题 为真命题；当函数 f(x)是定义在R上的奇函数时，全称命题为真命题，此时特称命题为假命 题.c.根据全(

12、特)称命题或其复合命题的真假求参数或其范围(10)(2018辽宁鞍山一中一模改编，12分)已知命题p： ?xC1, 2,满足(a1)x1>0,命题 q： ?x R, x2+ax+1>0.(I)若命题p为假命题，求参数 a的范围；(n )若命题p A q是真命题，求a的范围；(出)若？pAq为假，？pVq为真，求a的取值范围.、33 一3 一答案：(I)巴 2(n) 2, 2(m) (-oo, - 2u 2, 2解：(i)因为命题p为假命题，所以？p为真命题.?p： ?xC1, 2,满足(a1)x K0,令 f(x)= (a- 1)x- 1,4式分宝典至考点普查一轮教享较陆用书内部资

13、科诺勿外号因为？xC 1 , 2,所以f (1) <0,f (2) <0,(a-1)x-1< 0, a w 2 )3解得 <3所以aw3,3即a的取值范围为 一00, 3 .(4分)(n)因为pAq为真，所以q真，p真.若命题q为真命题，则 A= a2-4<0,解得2<a<2;3若命题p为真命题，则a>2,3 所以当q真,p真时,3<a<2.3故a的取值范围为3, 2 .(8分)(出)因为？pA q为假,?pVq为真,所以q, ?p一真一假，即q, p同真或同假.3 当q, p同真时，2<a<2;aw 2 ,a >

14、2 >当q, p同假时， 3 或 3a< 2aw2,解得a<- 2或？. 3所以 aw2 或2<a<2.3 一故a的取值范围为(一8, 2U 2, 2 .(12分)随堂普查练31. (2018山东德州一模，5分)已知命题 p： ?xC(0, +oo), x>sinx;命题q：1 v2 = log1 x,则下列命题中的真命题为 ()2?xC R,A . ?qB . p A qC. (?p)AqD. (?p)V(?q)答案：B解析：构造函数f(x) = xsinx, x>0,则f'x)=1 cosx>0恒成立且在(0, +oo )的任意子区间

15、上不恒为0,所以函数f(x)在(0, +8)上单调递增，所以f(x)>f(0) =0,即x>sinx,所以命题p为真命题.1 v回出函数y= 2 x, y= log1 x的图像如图所本,pA q为真由图像知两函数图像在区间(0, 1)上有一个交点，所以命题 q为真命题.所以命题.故选B. 提分宝典全考点岩查一轮教集较帅用书 > 内部/科请勿外情2. (经典题，5分)已知命题p：存在向量a, b,使得a b= |a| b命题q：对任意的向量 a, b, c,若a b=a c,则b=c,则下列判断正确的是()A .命题pV q是假命题B.命题pAq是真命题C.命题pV (?q)是

16、假命题D.命题pA (?q)是真命题答案：D解析：对于命题p,当向量a, b方向相同时，cosa, b> = 1,，a 扣a Tb.命题p 为真命题，命题？p为假命题；对于命题 q,当向量a为零向量时，满足a , 4a ,c但不一定 有b = c,，命题q为假命题，命题？q为真命题，命题 pA(?q)是真命题.故选 D.3. (2019重庆模拟，5分)命题“ ？xoCR,使exovxo+2”的否定是()A . ?xC R, eXvx+2B. ?xC R, ex> x+2C. ?x?R, ex<x+2D. ?xC R, ex>x+2答案：B解析：因为存在量词命题的否定是全

17、称量词命题，且命题的否定只否定结论，所以命题“？xoC R,exovxo+2”的否定是将存在量词改为全称量词，并对结论进行否定，即“？xCR,ex>x+2".故选 B.4. (2018陕西西安质检，5分)下列命题中，真命题的个数是()当 a>e时，？xC (0, + °0 ), ln(x+a)>sinx;？ x° C R,使得 x2 + xo = - 2;？xoC R,使得 sin2x°+ cos2x0=1D. 00, - 2 U +oo答案：C解析：因为p为假命题，所以不存在； 33 3？xC R,使得 ex>x+1.A. 1B

18、. 2C. 3D. 4答案：B解析：因为 x>0,所以 x+a>a,所以 ln(x+a)>lna.当 a>e 时，lna>lne= 1,所以 ln(x + a)>1.又因为一1WsinxW1,所以ln(x+ a)>sinx恒成立，该命题正确；17 7因为x2+x+2= x+ 2 2+7>4,所以方程x2+x= -2无解，该命题错误；因为？xC R , sin2x+ cos23= 1恒成立，所以该命题错误；设 f(x) = ex-x- 1,则 f' x)=ex1.令 f' x)>0 ,即 ex- 1>0,解得 x>

19、0;令 f'x)<0,即 ex -1<0,解得x<0,所以f(x)在(一8, 0)上单调递减，在(0, +8)上单调递增，所以f(x) > f(0) =0,所以ex>x+1恒成立，该命题正确.所以真命题的个数为2,故选B.5. (2019江西模拟,5 分)已知函数 f(x)=ax2 + x+a,命题 p： ?xg R, f(x0) = 0,若 p 为 假命题，则实数a的取值范围是(C )1 1A. -2，21 1B. 2, 211xoCR,使 f(x0) = 0,故 aw0,且 = 1-4a2<0,C. -00, 2 U 2，+°°

20、;电 受分宝典至考点岩查一轮教事较那用书内部淹耕请勿外传-1 ,、1解得a> 2或av 2.故选C.6. (2018湖北四地七校考试联盟期中改编，5分)已知命题p：方程(m + 4)x2+(m4)y2=1表小双曲线，命题 q:对？kCR,直线2kxy+1 = 0与圆x2+y2= mtll有公共点.若命 题“pAq”是假命题，命题“ pVq”是真命题，则实数 m的取值范围是 .答案：(一巴-4U(-1, 1)U4, +8)解析：方程(m+4)x2+(m4)y2 = 1表示双曲线，则(m+4)(m4)<0 ,解得一4Vm<4.因为直线2kxy+1= 0恒过定点(0, 1),所以要

21、使直线 2kxy+1 = 0与圆x2+y2=m2 恒有公共点，则点(0, 1)在圆内部或在圆上，所以 1Wm2,解得m> 1或mW1.因为命题“ pAq”是假命题，命题“ pVq”是真命题，所以命题p和q一真一假.4Vm<4,当p真q假时，解得1<m<1 ;当p假q真时,1<m<1,m> 1 或mW 1m>4或mW 4解得m>4或mW4.综上，m的取值范围为(8, - 4U(-1, 1)U4, +8).:推分宝典全考点督查一轮教案较总用书 ) 内邺覆料请匆勺旗课后提分练1-3集合与常用逻辑用语A组（巩固提升）1. （2018 全国 I, 5

22、 分）已知集合 A=x|x2 x 2>0,则？rA=（）A. x|- 1<x<2B. x|- 1<x<2C. x|x< - 1 U x|x>2D. x|x< 1 Ux|x> 2答案：B解析：因为 A=x|x2x2>0 =x|x>2 或 x< 1,所以？rA = x|1 w xw 2,故选 B.2. （2018浙江，4分）已知平面a,直线m, n满足m a , n? a ,贝U " m / n"是"m / a" 的（）A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也

23、不必要条件答案：A解析：若m / n,由m a , n? a ,可知m / a,即"m / n"是"m / a"的充分条件.若m / a,当m a , n? a时，m与n可能平行，也可能异面，即" m / n"是"m / : 的不必要条件.故“ m/ n”是“ m/ a”的充分不必要条件，故选 A.3. （2019 浙江，4 分）设 a>0, b>0,则 “ a+bW4” 是 “ abW4” 的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案：Aa+ b 24 2解析：充

24、分性：根据基本不等式得abw ayb w 2 =4, .充分性成立；必要性：当 a=1, b= 4时，满足ab<4,不满足a+bW4, 必要性不成立.故选 A.4. （2018百校联盟，5分）已知集合A=1, 2, B=a, 2a,且AUB中有三个元素， 则满足条件的a的值有（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个答案：B解析：因为AU B中有三个元素，所以集合A与B有一个相同的元素，另一个元素不同.当 a=1时，B = 1 , 2,则AUB=1 , 2,有两个元素，不满足题意；当a=2时，B=2, 4,则AUB = 1 , 2, 4,有三个元素，满足题意；11当2a=1时，B

25、= 2, 1 ,则AUB= 2, 1, 2 ,有三个兀素，满足题意，1所以满足条件的a的值有2个，为2,；故选B.5. （2018 北京,5 分）已知集合 A=x|x|<2, B=-2, 0, 1, 2,则 AAB=（）A. 0, 1B. -1, 0, 1C. -2, 0, 1, 2D. -1, 0, 1, 2答案：A解析：因为 A = x|x|<2 = x|-2<x<2, B = 2, 0, 1, 2,所以 AA B = 0 , 1.答案选A.sinx+cosxw6,命题 q： ?xo R, 2xo<x0,下pAq中真命题的个数为()D. 4W2,，p为真命题，

26、？p为假命题.存在3 R,pV(?q), pAq为真命题，真命题的个数为2.故6 .(经典题，5分)已知命题p： ?xCR 列四个命题：pV (?q), (?p)Aq, (?p)V(?q)A. 1B. 2C. 3答案：B解析： 易得 sinx+ cosx=q2sin x+ 4 使得23<32,，q为真命题，?q为假命题. 选B.7 . (2018高三十四校第二次联考，5分)下列有关命题的说法中错误的是 ()A.设a, b R,则"a>b"是a|a|>b|b| '的充要条件8 .若pV q为真命题，则p, q中至少有一个真命题C.命题“若y=f(x)

27、是哥函数，则y=f(x)的图像不经过第四象限”的否命题是假命题D .命题“？xoC (0,),使得xo+2<2”的否定形式是“？xC (00 0, x+°>2” xox答案：Dx2, x> 0,解析：A.设f(x) =x|x|,则f(x)=当x>0时，函数f(x)为增函数；当x0时，-x2, x<0, 函数f(x)为增函数.又因为 f(x)是连续函数，所以函数f(x)在(一8, +OO )上是增函数，所以当a>b时，f(a)>f(b),即a|a|>b|b|成立.所以"a>b"是a|a|>b|b|'

28、的充要条件,故A正确.B.若pV q为真命题，则p, q中至少有一个真命题，故 B正确.C.命题“若y= f(x)是哥函数，则y=f(x)的图像不经过第四象限”的逆命题是“若y=f(x)的图像不经过第四象限，则y=f(x)是募函数”.函数 f(x) = 2x的图像不经过第四象限，但函数f(x)是指数函数，故命题的逆命题是假命题，所以命题的否命题也是假命题，故C正确.D.命题“ ？xoC (0, +00 )使得xo + -<2'为特称命题，命题的否定只否定原命题的结 xo论，不否定条件，所以命题“ ？xoC (0, +00),使彳导xo+工<2”的否定形式是“ ？xC (0,

29、 +00), xo1x+1>2 ,故D错误.故选D. x8.(经典题，5分)已知集合 A= x "4<0 , B=x|1 vxvm+1.若xC B成立的一 x 3个充分不必要条件是 xCA,则实数m的取值范围是 .答案：(2, +8)_解析：易得A= x|x<0 =x|-1<x<3 . 1. x B成立的一个充分不必要条件是xCA,x 3 .A B, m+ 1>3,解得m> 2, 实数m的取值范围是(2,十).9. (2019 湖北黄冈期末，5 分)设函数 f(x) = ln(e x2),集合 A=x|y=f(x), B = y|y=f(x)

30、,则图中的阴影部分表示的集合为4置分宝典至考点普查一轮教事较他用书 > 内部资料诺朗外巧A.-加，1B.(血 1)C.(oo,一乖u (1 ,乖)D. (-8,相 U (1 ,而答案：C解析：,函数 f(x)=ln(e x2),.集合 A= x|y= f(x) = x|e-x2>0 = x|-e<x<Je, B = y|y = f(x)=y|yw1, aab=(m，1, aub=(正)，.图中的阴影部分表示 的集合为?aub(AA B)=(-oo, 0"1,m).故选 C.10.(经典题，5分)已知集合A = x|y=«7, AAB=?,则集合B不可

31、能是()A . x|4x<2x+1B. (x, y)|y=x1兀11兀C. y|y=sinx, - 3<x<6D . y|y= log2( x2 + 2x+1)答案：D解析：易得集合 A= x|y=x- 1 = x|x> 1.对于选项 A, x|4x<2x1 =x|22x<2x 1= x|x<1,满足An B=?;对于选项 B,集合(x, y)|y = x1为点集，满足 AAB=?;对于 选项 C, y|y=sinx, x<6 = y| 23<y< 2，满足 AC B=?;对于选项 D, y|y= log2( x2+2x+ 1)=y|

32、y=log2-(x- 1)2+2 =y|y< 1, An B=1w?.故选 D.11. （2019北京大兴区模拟，5分）已知抛物线C: y2=x,直线l： x=my+ 1,则“mw0” 是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（A ）A ,充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：A解析：设直线l与抛物线C有两个不同的交点，联立直线与抛物线的方程并消去x,得y2 my 1 = 0.因为A= m2 + 4>0 ,所以m C R.易知"mw 0"是"m C R”的充分而不必要条件， 所以“mw0”是“直线l与抛物线C有两个

33、不同交点”的充分而不必要条件.故选 A.12. （经典题，5分）已知a, bCR,则使得a>b成立的一个必要不充分条件为 （）A. |a|>|b|B, a>b+1 C. a>b 1 D. 2a>2b答案：C解析：对于选项A,当a= 1, b= 2时，满足a>b,得到|a|<|b|；当a= 2, b=1时， 满足|a|>|b|,但av b,，|a|>|b|是a>b的既不充分又不必要条件.对于选项 B ,当a= 1, b =2时，满足a>b,得至ij a=b+1;当a>b+1时，一定有 a>b,a>b+1是a>

34、;b的一个充 分不必要条件.对于选项C,当a>b时，一定有a>b1;当a= 2, b=2.5时，满足a>b1, 但avb,. a>b 1是a>b的一个必要不充分条件.对于选项D,根据指数函数的单调性可得2a>2b等价于a>b,2a>2b是a>b的充要条件.故选 C.13. （2018A10 联盟，15分）设 tCR,已知 p：函数 f（x） = x22tx+ 1 有零点；q： ?xC1, + °° ）, - x< 4t2 1.x（I）当t=1时，判断命题q的真假；（n ）若pV q为假命题，求t的取值范围；（出）若

35、pA q为假命题，pV q为真命题，求t的取值范围.答案：（I ）命题q为真命题1 1（n）（ 2, 2）.11.（出）-1,一万 u 1解：（I）当 t=1 时，命题 q: ?xC 1, +°° ）, - - x< 3.因为函数 y=y= - x 在1 , 十xx8）上均为减函数，所以函数y=-x在1, +8）上为减函数，所以-x< 1-1=0<3,所以xx I当xC1, +8）, 1-x<3恒成立，所以命题 q为真命题.（5分） x（n ）若pV q为假命题，则p, q都是假命题.（6分）当p为假命题时，函数f（x） = x2-2tx+1没有零点，所以 A= （-2t）2-4<0,解得一1<t<1.由（I）知当 xC 1, +8）时，1-x