概率论和数理统计练习题与答案解析

1、概率论与数理统计练习题集及答案一、选择题:1 .某人射击三次，以Ai表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为()(A) Ai A A(B) 'J 'A A2A(C)AiA2A3AA2A3AA2A3(D)AAJA2 .掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于 8的概率为()(A)葛(B)36(C)5 36(C) P(A B) 13 .设随机事件A与B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0,则()(A) P(A) 1 P(B) (B) P(AB) P(A)P(B)(D) P(AB) 12x4 .随机变量X的概率密度为f(x) Ce x 0,则EX (

2、)0 x 011(A) 2(B) 1(C) 2(D) 45 .下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是()1(A) F(x) 2， x1 x(C) F3(x) e x , x(B) F2(x)x x 01 x0 x 031(D) F4(x) arctanx , x4 26.已知随机变量X的概率密度为fx(x),令Y2X ,则Y的概率密度fY(y)为()(A) 2fX( 2y)(B) fX (C) - fX ( y)（D）1fX（与7.已知二维随机向量（X,Y）的分布及边缘分布如表YXX1X2Y-Pj(A)yy2V31 18b1/8de16gh18XPic ,且X与Y相互独立，则h （ f(

3、B) 81（D）38.设随机变量XU1,5,随机变量Y N（2,4）,且X与Y相互独立,贝U E(2XY Y)(A) 3(B) 6(C) 10(D) 129.设X与Y为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若EXY EX EY ,则下列结论不正确的是（）（A） X与Y相互独立（B） X与Y不相关（C） cov（X,Y） 0（D） D（X Y） DX DY答案：1. B 2. A 3.D4.A5.B6. D7. D 8. C 9. A1 .某人射击三次，以Ai表示事件“第i次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（C ）(A) A1A2A3(B) A A2A A3a2 AB(C)

4、A A2 A3A A2 A3A a2 A3(D) AA2A32 .将两封信随机地投入4个邮筒中，则未向前两个邮筒中投信的概率为(A )22.Ci9专()a3 .设随机事件A与B互不相容，且P(A) 0,P(B) 0,则(D )(A) P(A| B) P(A)(B) P(AB) P(A)P(B)(C) P(A| B)P(A)(D) P(A| B) 04 .随机变量X的概率密度为f(x)2x0x (0, a)其他则EX(A) 3(B) 1(C)5 .随机变量X的分布函数F(x)83A (10x)e x(A) 0(B) 1(C)6 .已知随机变量X的概率密度为fx(x),令丫(D)163°

5、,则A0(D)则Y的概率密度fY(y)为(D )(A) 3fx( 3y)(B) fX( J)31(C)1fX(37.已知二维随机向量(X,Y)的分3)(d)33)边缘分布如表YXx1x2YPjyy2y3a18b18d e1 6ghXPic ,且X与Y相互独立，则 f(A) 8(C) 88.设随机变量X,Y相互独立，且Xb(16,0.5),(D) 3Y服从参数为9的泊松分布，则D(X 2Y 1)( C )(A) -14(B) 13(C) 40(D) 419.设(X,Y)为二维随机向量，则X与Y不相关的充分必要条件是(D)(A) X 与Y相互独立(B) E(X Y) EX EY(C) DXY DX

6、 DY(D) EXY EX EY一、填空题1 .设A, B是两个随机事件，P(A) 0.5, P(A B) 0.8, (1)若A与B 互不相容，则P(B)= ; (2)若A与B相互独立，则 P(B)=2 .一袋中装有10个球，其中4个黑球，6个白球，先后两次从袋中 各取一球(不放回).已知第一次取出的是黑球，则第二次取出的 仍是黑球的概率为 .3 .设离散型随机变量X的概率分布为P X k3ak, k 1,2,，则常数a .4 .设随机变量X的分布函数为0, x 02F(x) ax ,0x21, x 2则常数 a , P1 X 3=.5 .设随机变量X的概率分布为X-101P0.30.50.2

7、贝UE(3X2 3)=.46 .如果随机变量X服从a,b上的均匀分布，且E(X) 3, D(X)-,3贝1J a = , b=.7 .设随机变量X, Y相互独立，且都服从参数为0.6的0 1分布，则 P X Y=.8 .设X, Y是两个随机变量，E(X) 2, E(X2) 20, E(Y) 3,E(Y2) 34, xy 0.5,则 D(X Y)=.答案：1 1131. 0.3, 0.62.-3.-4.- , -5.344 44.56. 1,57. 0.528. 211 .设A, B是两个随机事件，P(A) 0.3, P(AB) P(AB),则P(B)=.2 .甲、乙、丙三人在同一时间分别破译某

8、一个密码，破译成功的概率依次为0.8, 0.7, 0.6,则密码能译出的概率为. 一一、.k3 .设随机变量X的概率分布为PX k ,k 1,2,3,4,5，则15呜 X 7)=4 .设随机变量X的分布函数为F(x) sinx,PX 6i 5 .设随机变量X服从1,3上的均匀分布，则的数学期望X为.6 .设随机变量Xi,X2相互独立，具概率分布分别为X2Xi 12P则 PX1 X2=.7 .设X, Y是两个随机变量，XN(0,32), YN(1,42), X与Y相 互独立，则X Y.8 .设随机变量X1,X2相互独立，且都服从0,1上的均匀分布，则D(3X1 X2) 一9 .设随机变量X和Y的

9、相关系数为0.5 , E(X) E(Y) 0, E(X2)E(Y2) 2,则 E(X Y)2 =答案：1. 0.72. 0.9763.14. 0.5315. 1ln3 26. 57.N(1,52)8.59. 696二、有三个箱子，第一个箱子中有3个黑球1个白球，第二个箱子中2有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球.现随机地选取一个箱子，再从这个箱子中任取 1个球.（1）求取到的是白球的概率；（2）若已知取出的球是白球，求它属于第二个箱子的概率 .解：设事件A表示该球取自第i个箱子（i1,2,3）,事件B表示取到白球.3P(B)P(A)P(B|Ai)i 111131 51134363

10、 824P(A2|B)P(A2B)P(B)P(A)P(B| A2)P(B、某厂现有三部机器在独立地工作， 假设每部机器在一天内发生故 障的概率都是Q2.在一天中，若三部机器均无故障，则该厂可获取 利润2万元；若只有一部机器发生故障，则该厂仍可获取利润 1万元;若有两部或三部机器发生故障，则该厂就要亏损0.5万元.求该厂一天可获取的平均利润.设随机变量X表示该厂一天所获的利润(万元)，则X可能取2,1, 0.5,且PX 2 0.83 0.512,PX 1 C3 0.2 0.82 0.384,PX 0.5 1 0.512 0.384 0.104.所以 E(X) 2 0.5

11、12 1 0.384 ( 0.5) 0.104 1.356 (万元)四、设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)4xy, 0 x 1,0 y 10 , 其它求PX Y;(2)求X,Y的边缘密度，并判断X与Y的独立性.解：(1)111CPX Y f(x,y)dxdy ndx 4xydy n2x(1 x )dx 0.5; 0 X0x y(2)1c4xydy 2x, 0 x 1fX(x)f(x,y)dy 0,0, 其它104xydx 2y, 0 y 1 fY(y)f (x,y)dx,0, 其它由fX(x)fy(y)f(x, y)知随机变量X,Y相互独立.五、设随机变量X的密度函数为fX(x)&q

12、uot;2, 0： 1,求随机变量0 ,其它Y 2X 1的密度函数.解法一：Y的分布函数为.、.、.y 1、 y 1Fy(y)PYyP2X1 yPX=Fx()两边对y求导，得r 1 y 1 fY(y) 2fx(yy-)3 y 1 23259-(y 1) , 02 280,匕1即12其它解法二：因为y 2x 1是0 x 1上单调连续函数，所以y 1213y 12y 1dh(y) 3(-)2-(-)2,0 h(y) -1即1 y3fY(y)fx(h(y)lI 2 722V 22丫dy0其它注：x h(y) 11为y 2x 1的反函数。二、设甲、乙、丙三人生产同种型号的零件，他们生产的零件数之比为2

13、:3:5.已知甲、乙、丙三人生产的零件的次品率分别为3%, 4%, 2%.现从三人生产的零件中任取一个.求该零件是次品 的概率；(2)若已知该零件为次品，求它是由甲生产的概率.解：设事件A1,A2,A3分别表示取到的零件由甲、乙、丙生产，事件B表示取到的零件是次品3P(B) P(A)P(B|A)i 12353%4%2% 0.028;101010 P(AJB)P(AB)P(A)P(B| A) 0.2 3%P(B)P(B)0.02814三、设一袋中有6个球，分别编号1, 2, 3, 4, 5, 6.现从中任取2 个球，用X表示取到的两个球的最大编号.求随机变量X的概率 分布；求EX.解：X可能取2

14、,3,4,5,6,且k 1 k 1PX k, k 2,3,4,5,6所以X的概率分布表为X I 23456P | 1/15 2/15 1/5 4/15 1/3一 6 k 1 14且 EX k J -.k 2153四、设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)x, 0 x 1,00, 其它求 PX Y 1;求X,Y的边缘密度，并判断X与Y的独立性.解:1x1 21(1) PX Y 1 f(x,y)dxdy 0dx 0xdy0x dx -;x y 132fX(x) f(x,y)dyfY(y) f (x,y)dx0xdy 2x, 0 x 10, 其它110xdx 2, 0 y 20 , 其它由fX

15、(x)fY(y) f(x,y)知随机变量x,y相互独立.五、设随机变量X服从区间0,3上的均匀分布，求随机变量Y 3X的密度函数.解法一：由题意知fX(x)1/3, 0"：3. Y的分布函数为0 ,其它 y 1 y 1FY(y) PY y P3X 1 y PX M MT),两边对y求导，得fY(y)3fX(9,0 3即1y 80,其它解法二：因为y 3x 1是0 x 3上单调连续函数，所以111y 1d d dh(y) _ -, 0 h(y) 3,即 1y 8fY(y) fX(h(y)|3 393dy0其它注：x h(y) E/为y 3x 1的反函数。3已知一批产品中有90娓合格品，

16、检查产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为0.05, 一个次品被误判为合格品的概率是0.04.求：(1)任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；(2) 一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.解：设Ai“确实为合格品”，A2“确实为次品”，B“判为合格品”(1) P(B) P(A)P(B|Ai) P(A2)P(B|A2)0.9 0.95 0.1 0.04 0.859p(A)p(b | A)(2) P(A | B) 1- 0.9953P(B)四、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为其他f(x,y)(1)边缘密度函数fx(x)和fy(y);(2)判断X与Y是否相互独立，并说明理由；

17、 PX Y 1.xe dy x 0e x 0斛：(1) fx(x)f(x, y)dy x ，0 x 00x0y yye dx y 0 ye y 0fY(y)f(x, y)dx 0c八0 y 00 y 0(2) f (x,y)fx(x)fy(y)X 与Y不独立1 2 1 x(3) PX Y 1e ydxdy 1 2e 0.5 e 10 x四、设二维连续型随机向量(X,Y)的概率密度为2ye f(x,y)y0(1)边缘密度函数fx(x)和fy(y);(2)判断X与Y是否相互独立，并说明理由; PX Y.1 xX解：(1) fx(X)f(x,y)dyo2ye dy x 0 e x 00 x 00x0

18、fY(y)f (x, y)dx2 ye xdx 0 y 10其他2y 0 y 10 其他(2) f (x,y) fx(x)fy(y)X 与Y独立1 1(3) PX Y 0 x2ye dxdy 4e 1一、单项选择题1 .对任何二事件 A和B,有P(AA. P(A) P(B)B.C. P(A) P(AB)D.2 .设A、B是两个随机事件，若当(B ).A. P(AB) P(A)B.C. P(B/A) 1D.B) ( C ).P(A) P(B) P(AB)P(A) P(B) P(AB)B发生时A必发生，则一定有P(A B) P(A)P(A/ B) P(A)3 .甲、乙两人向同一目标独立地各射击一次

19、，命中率分别为0.5, 0.8 ,则目标被击中的概率为(C )(甲乙至少有一个击中)0.854 .设随机变量X的概率分布为X1234P1/6a1/4b则a, b可以是（D ）（归一性）.八1,11,51,2A. a ,b B. a ,b C. a ,b D.64121212151 .1a 一 ,b 4 35 .设函数f（x）0.5, aZb是某连续型随机变量 X的概率密度,0, 其它则区间a, b可以是）（归一性）.0, 2 C. 0, . 2 D. 1, 2A. 0, 1 B.A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.77.设随机变量X服从二项分布B（n, p）,则有（D ）（期望和方差

20、的性质）.A. E(2X 1 )2npB.E(2X1) 4np 1C. D(2X 1)4np(1 p) 1D.D(2X 1)4np(1 p)8.已知随机变量X : B(n, p),且 EX4.8,DX1.92，则n, p的值为（A ）A. n 8, p0.6B. n6, p0.8C. n 16, p0.3D. n 12, p 0.49.设随机变量X: N（1,4）,则下式中不成立的是（BA. EX 1B.DXC. PX 1 0D.PX 1 0.510.设X为随机变量,EX2,DX1 ,则e（x2）的值为（A（方差的计算公式）B.C.D.11.设随机变量X的密度函数为f(x)ax b,0,0 x

21、其它（A ）（归一性和数学期望的定义）A. a 6,b 4B. a1,b 1C.6,b 1D.a 1,b 512.设随机变量X服从参数为0.2的指数分布则下列各项中正确的A. E(X) 0.2, D(X) 0.04B.E(X) 5, D(X) 25C. E(X) 0.2, D(X) 4D.E(X) 2, D(X) 0.2513.设(X,Y)为二维连续型随机变量，则X与Y不相关的充分必要条件是(D ).A.X与 Y相互独立B.E(X Y)E(X)E(Y)C.E(XY) E(X)E(Y)D.(X,Y): N( 1,2 ；,；, 0)二、填空题1 .已知 P (A) =0.6, P (A-B) =0

22、.3,且 A与 B独立，则 P ( B) = 05 .2 .设a, B是两个事件，P(A) 0.5, P(A B) 0.8 ,当A, B互不相容时，P(B)=0.3;当A, B相互独立时.P(B)=3 .53 .设在试验中事件A发生的概率为p,现进行n次重复独立试验，那么事件A至少发生一-次的概率为1 (1 p)n.4 . 一批产品共有8个正品和2个次品，不放回地抽取2次，则第2次才抽得次品的概率P=-.455 .随机变量X的分布函数F(x)是事件P(X x)的概率.6 .若随机变量X n( , 2)(0),则X的密度函数为 7 .设随机变量X服从参数2的指数分布，则X的密度函数f(x) ; 分布函数F(x)=.8 .已知随机变量X只能取-1 , 0, 1,三个值，其相应的概率依次为-,-, ,则 c=2 (归一性).2c 3c 6c9 .设随机变量X的概率密度函数为f(x)X2, °r/，则=30, 其它一(归一性).10.设随机变量 X N(2, 2),且 P2 X 3 0.3,则 PX 1 =_0.2，、，2 2P2 X 3 PX 2 3 2).D(3X