函数的奇偶性(含习题练习)

1、函数的奇偶性1.函数奇偶性的定义及图象特点奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f x的定义域内任意一个x ,都有f x f x ,那么函数f x是偶函数图象关于y轴对称奇函数如果对于函数f x的定义域内任意一个x ,都有f xf x ,那么函数f x是奇函数图象关于原点对称判断f ( x)与 f x的关系时， 也可以使用如下结论： 如果f ( x) f x 0或f( x)1( f (x) 0),则函数f x为偶函数；如果f ( x) f x 0或 f (x)f ( x)1( f (x) 0),则函数f x为奇函数.f (x)注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义

2、域内的任意一个x,x也在定义域内(即定义域关于原点对称).定义：设 y f (x) , x A,如果对于任意 x A,都有f ( x) f (x),则称y f (x)为偶函数。如果对于任意x A,都有f ( x)f (x),则称y f (x)为奇函数。证明：任意一个定义域关于原点对称的函数均可以写为一个奇函数和偶函数之和且唯一。若函数 f x 的定义域关于原点对称，则 f x 可以表示为f x 1 f x f x 1 f x f x ,该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶 22函数的和。2.性质：y f (x)是偶函数y f (x)的图象关于y轴对称；y=f(x)是奇函数y f (x)的图象

3、关于原点对称。若奇函数定义域中有0,则必有f (0)0.即0 f (x)的定义域时，f (0)0是f (x)为奇函数的必要非充分条件.对于偶函数而言有：f ( x) f (x) f (| x|)。既奇又偶函数有无穷多个(f (x) 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集)。奇±奇二奇偶±偶才禺奇x奇才禺偶*偶=偶奇x偶的两函数白定义域D, D2, DAD也关于原点对称 奇函数的导函数为偶函数，偶函数的导函数为奇函数。复合函数奇偶性质y f (x 1)为偶函数f (x 1) f ( x 1) f (x)关于 x 1 轴对称y f (x 1)为奇函数f (x 1)f ( x

4、1) f (x)关于(1,0)点对称y f (x)为偶函数f (x 1) f ( x 1) f (x)关于y轴轴对称y f (x)为奇函数 f (x 1)f ( x 1) f (x)关于原点点对称。y f (x)为奇函数f (x 1)关于(1, 0)点对称y f (x)为偶函数f (x 1)关于x 1轴对称奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反.f (x) , g(x)在它们的公共定义域上有下面的结论:f (x)g(x)f (x) g(x)f (x) g(x)f (x)g(x)f (g(x)偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数奇函数不能确定不能

5、确定奇函数偶函数奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数若函数y f x的定义域关于原点对称，则 f x f x为偶函数，f x f x为奇函数，f x f x为偶函数.4.常见的奇函数及偶函数x2n1为奇函数，x2n为偶函数，多项式函数 f （x）,仅含有奇数次项时为奇函数，仅含有偶数次项及常数项时为偶函数，既含有奇数次项也含有偶数次项时非奇非偶。 sin kx ,ax 1logalog |1a函数函数函数x为偶函数，ftan kx为奇函数,1 cx1 cxx f x为奇函数,cos kx为偶函数。为偶函数。2 xaxa1 ，一一1为奇函数,1为奇函数,2

6、2 xax a x、亘一为偶函数。axax 1ax 1ax 111-,-为奇函数。ax 1 2 ax 1 2log1 cx为奇函数, a 1 cx二 log (12 aaxa xx x1 x loga .1 xloga x2 xa2 xa10gaJx为偶函数。(a 0 且 a2 2 cx）为奇函数。 c x '1）为奇函数.1）为奇函数.0且a 1）为奇函数.xa1为奇函数,ax 15 / 4你| x a |为奇函数，| x a | | x a |为偶函数。【典型例题】a x1 . (1)已知函数f xlog2 i-x为前函数 则头数a的值为(2)函数 f x lnx Jx21 ,且

7、f a f b 20,求 a b的值.2 .已知f (x) , g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f (x) g(x) x3 x2 1,则 f (1) g(1)3 .已知函数f (x)对任意的x R满足f x f x ,且当x 0时，f xx2 ax 1.若f x有4个零点，则实数a的取值范围是 .4 .已知f(x)是R上的奇函数，且x 0时，f x 1,则不等式f x2 x f 0的解集 为.5 .已知f (x)为偶函数，当x 0时，f (x) ex 1 x,则曲线y f (x)在点(1,2)处的切 线方程是6.若关于x的函数f xtx2 2x t 2 sinxx2 t0)的最大值为M,最小值为N,且M N4,则实数t的值为7.设函数f (x) ln(1 | x |)，则使得f (x)1 xf (2x 1)成立的x的取值范围是()A.1 ,1