构造二次齐次方程巧解一类解几题

1、构造二次齐次方程巧解一类解几题江苏省兴化市第一中学( 225700)张俊2问题 已知 OAB内接于抛物线y 2px, O为坐标原点，若OA OB ,则直线AB经过定点(2 p,0).分析 设A(x1,y1), B(x2,y2)，由OA OB得力比 1 ,此式的结构让我们自然联 Xi X2想到一元二次方程的两根之积，那么由题目条件能构造出一个以X,会为根的一元二次方Xi X程吗？解设直线AB的方程为x my n .显然n 0 ,则Uy 1 ,将y2 2px写为y2 2px 3y，即 nn22 cny 2pmxy 2 px 0 .这是关于x,y的二元二次齐次方程，由题意知x 0,故可变形为爪2)2

2、 2Pm卫 2p 0 . xx设A(xi, yi), B(x2, y2),显然它们满足上述方程，故 壮运 ，p，又OA OB ,x1 x2n所以X迄 1,xi x2则一2pi,n 2p ,从而直线 AB的方程为x my 2 p ,显然它通过定点(2p,0).n利用上述方法，我们不难将原问题拓展为：拓展 已知 OAB内接于抛物线y2 2px, O为坐标原点，若kOAkOB t,则直线AB经过定点(2P ,0).启示 在直角坐标系中，如果直线 mx ny I与二次曲线2.2axbxy cy dx ey f 0交于点 A, B ,那么可以构造二次齐次万程2,22axbxy cydx(mx ny) e

3、y(mx ny) f (mx ny) 0,对于 x 0,它忌可以变形为 a(_y)2 b y c 0的形式，若设 A(xi,y) B(X2,y2),则 a X XyiXikoB 返为该方程的两个根.在处理直线与二次曲线有两个交点，这两点与一定点连线的X2斜率之间满足可化为和积表示的问题时，采用上述方法往往能使问题顺利解决.例1 （2004.天津卷）椭圆的中心是原点 O,它的短轴长为2 J2,相应于焦点F（c,0）（c 0）的准线l与X轴相交于点A, |OF | 2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于 P、Q两点.（I）求椭圆的方程及离心率；（ii）若OP OQ 0,求直线pq的方程.22人解（I

4、）解略.椭圆方程为 -y- 1, e .623(II) P(Xi,yi),Q(X2,y2),易知 A(3,0),设直线 PQ 方程为 x my 3,22构造二次齐次方程L (二 623yi y 1 2Xi x29 2m又Op oQ 0,所以Y么i,故mXi X2当x <5y 3时，经检验它们与椭圆为 xJ5y 3,即 x J5y 3 0 .22例2 (2007.天津卷)设椭圆与 4 i( a b)2 ,即(9 2m2)(-)2 4m- i 0 ,则x x22y- i有两个交点，故直线 pq的方程62b 0）的左、右焦点分别为 Fi,F2,A是椭圆上的一点，AF2 Fi F2,原点O到直线

5、, i-AFi的距离为一 OFi .3(I)证明 a72b ；（II）设Qi,Q2为椭圆上的两个动点,OQiOQ2 ,过原点O作直线QiQ2的垂线OD ,垂足为D ,求点D的轨迹方程.分析（I）略.22(II)由(I)知，椭圆为 二 4 1,设直线PQ方程为2b by kx造二次齐次方程2 x 2b2a(I_x)2,即 2(m2 b2)()2 b mx4kb2-y x2k2b2 0 .因为OQ1OQ2,所以kOQi kOQ21,二次方程根与系数关系得22. 2m 2kb 2 22(m b )1,则2b2(k2 1)3，所以直线PQ方程可写为y kx2b2(k2 1)(1),而直线OD方程为1-

6、x， k(2)消去k得22、22,23( x y ) 2b (x2 一y ),显然0,一 2所以x22,2,y2-b2,此即点3D的轨迹方程.例3 (1998.全国联赛)已知直线ykx24交椭圆41于AB两点，O为坐标原点,kOB 2,求该直线方程.分析构造二次齐次方程y kx 2片)，即 15(-)2 x2k- 4 k2 0 .设 xA(x1,y1)，B(x2,y2)，二次方程根与系数关系得2k15y_y2Xx2kOAkOB2，故 k 15.例4 (1991.全国高考)双曲线Q的中心在坐标原点O,焦点在x轴上.过双曲线右焦点且斜率为,|的直线l交双曲线于A,B两点，若OAOB且AB 4,求双

7、曲线Q的方程.22解设双曲线Q的方程为、匕 1 a b直线l方程为y】E(x c),其中52,22a,b, c 0, a b c .2构造二次齐次方程与a3yx15V(上)2'即就37火)22 5k y,3c x由 OA OB 知 k0AkOB若设 A(x1,yJB(x2,y2),则工 xiy2x2kOAkOB7L二次方程根与系数关系得15b2 3c2一 22一 4_ 一. 2一 28a2b23b40,贝U有b23a2,c2,x由a2 y b2J3(x c)消去y ,并注意利用 ;5b223a ,c2a化简得4x2 4ax9a2则x1 x2a,x1x29 2 -a4AB1 (刖X28

8、,、2 ,(X x2) 4xix254可得1,一 2所以b线Q的方程为x22 y_3例 5 (2007.点的最大距离为山东卷)已知椭圆c的中心在坐标原点, 3,最小距离为1.焦点在X轴上，椭圆C上的点到焦(I)求椭圆C的方程;(II)若直线l ： y kx m与椭圆C相交于A,B两点(A, B不是左右顶点).且以AB为直径的圆过椭圆 C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.2分析(I)这是常规题，椭圆 C的方程为 4(II)易有右顶点为D(2,0),因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，所以kDAkDB1 ,由于点D不是原点，初看似乎不能再用以上问题的处理方法，仔细考虑，平移椭圆使

9、点D变为原点不就化险为夷，大功告成了吗？稍加改进即得如下解法:解(II)易有右顶点为 D(2,0).直线l的方程y kx m 即 yk(x 2) m椭圆的方程1 即(x 2)(x2) 0 ,注意到y k(x 2) 1 m 2k构造关于x2, y的二次齐次方程22(x 2)y43(x2)y k(x 2) 0m 2kI, y 田 1 y m 2k一() 0 3x2 m 2kx 2 4(m 2k)因为以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点D(2,0),所以kDAkDB1 ,设A(Xi,yi),B(X2,y2),则3(m 2k)4(m 2k)21 ,化间得m -k ,所以直线l的万程为7一 2、，2 -y k(x 7),它必过定点(,0).例6 (1996.全国联赛)已知双曲线(x2)2341,经过定点(0,2)的直线l与双曲线相交于A, B , P(1,2)为定点，若kPA kPB1,求直线l的方程.设直线l的方程为ykx 2 ,即 y 2 k(x 1) k ,双曲线(x 2)2(y 1)2_21 即 4(x 1)8(x 1) (y二次齐次方程2)2 2(y 2) 1,注意到y 2 k(x ° 1 ,构造关于x 1, y 2的k4(x 1)2 8(x(y 2)2 2(y 2)y 21(