用待定系数法求二次函数的解析式【1-2】【优质课件】

1、1 1、已知抛物线、已知抛物线y=ax2+bx+c0经过点（经过点（-1,01,0），则），则_经过点（经过点（0, ,-3），则），则_经过点（经过点（4,5,5），则），则_对称轴为直线对称轴为直线x=1，则则_当当x=1=1时，时，y=0=0，则，则a+b+c=_ab2-=1a-b+c=0c=-316a+4b+c=5顶点坐标是（顶点坐标是（-3,4-3,4），）， 则则h=_,k=_，-3a（x+3）2+442 2、已知抛物线、已知抛物线y=a（x-h）2+k对称轴为直线对称轴为直线x=1，则则_代入得代入得y=_代入得代入得y=_h=1a（x-1）2+k抛物线解析式抛物线解析式抛物线与

2、抛物线与x轴交点坐标轴交点坐标( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=2(2(x-1 1)()(x-3 3) )y=3(3(x-2 2)()(x+1+1) )y=-5(5(x+4+4)()(x+6+6) )-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交点式交点式抛物线解析式抛物线解析式抛物线与抛物线与x轴交点坐标轴交点坐标( (x1,0),( ,0),(

3、 x2,0),0)-x1- x2求出下表中抛物线与x轴的交点坐标，看看你有什么发现？轴的交点坐标，看看你有什么发现？（1，0）（）（3，0）（2，0）（）（-1，0）（-4，0）（）（-6，0）( (x1,0),( ,0),( x2,0),0)y=a( (x_)()(x_) ) （a0 0）交点式交点式y=a( (x-1)(1)(x-3)3)（a0 0）y=a( (x-2)()(x+1) )（a0 0）y=a( (x+4)()(x+6) )（a0 0）已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知三个点坐标三对对应值，选择一般式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶

4、点式 已知抛物线与已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式轴的两交点坐标，选择交点式一般式一般式y=ax2+bx+c (a0)顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k (a0)交点式交点式y=a(x-x1)(x-x2) (a0)用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件用待定系数法确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。的特点，恰当地选用一种函数表达式。 一、设一、设二、代二、代三、求三、求四、写四、写解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为解得解得 例例1.1.已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（）

5、（1, 01, 0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？二次函数的图象过点（二次函数的图象过点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c16a+4b=8a-b=34a+b=2 a-b=3-3解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为解得解得所求二次函数为所求二次函数为 y=x2-2x-3例例1.1.已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5）（1, 01, 0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？一、设一、设二、代二、代三、求三、求四

6、、还原四、还原二次函数的图象过点（二次函数的图象过点（0,-3）（）（4，5）（）（1, 0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=1-2-3x=0=0时时, ,y=-3; x=4=4时时, ,y=5; x=-1=-1时时, ,y=0;y=ax2+bx+c解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x1） 例例2、已知抛物线与、已知抛物线与X轴交于轴交于A（1，0），），B（1,0）并经过点并经过点M（0,1），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？yox由条件得：由条件得：点点M( 0,1 )在抛物线上在抛物线上所以：所以：a(0+1)(0-1)=1得得

7、： a=-1故所求的抛物线为故所求的抛物线为 y=- (x1)(x-1)即：即：y=-x2+1思考：思考： 用一般式怎么解？用一般式怎么解？解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+cc=-3 a-b+c=09a+3b+c=0已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0, -30, -3） （-1,0-1,0） （3,03,0） 三点，求这个函数的解析式？三点，求这个函数的解析式？解得解得a=b=c=1-2-3所求二次函数为所求二次函数为 y=x2-2x-3依题意得依题意得解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1

8、1，4 4），），且过点（且过点（0 0，3 3），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4a-4=-3, a=1最低点为（最低点为（1，-4）点点( 0,-3)在抛物线上在抛物线上x=1，y最值最值=-4y=a( (x-1)1)2 2-4-4思考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？y=a(x-1)2+k 思

9、考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式 如图，直角如图，直角ABO的两条直角边的两条直角边OA、OB的长分别是的长分别是1和和3，将，将AOB绕绕O点按逆时点按逆时针方向旋转针方向旋转90，至，至DOC的位置，求过的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式三点的二次函数解析式.CAOBDxy当抛物线上的当抛物线上的点点的坐标未知的坐标未知时，时， 应根据题目中的应根据题目中的隐含条件隐含条件求出点求出点的坐标的坐标(1，0)（0，3）（-3，0）例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为度为16m16m，跨度为，跨度为4

10、0m40m现把它的图形放在坐标系现把它的图形放在坐标系里里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 例例4设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为y=ax2bxc，解：解：根据题意可知抛物线经过根据题意可知抛物线经过(0，0)，(20，16)和和(40，0)三点三点 可得方程组可得方程组 通过利用给定的条件通过利用给定的条件列出列出a、b、c的三元的三元一次方程组，求出一次方程组，求出a、b、c的值，从而确定的值，从而确定函数的解析式函数的解析式过程较繁杂，过程较繁杂， 评价评价解得解得: a=: a=251-b=b=58例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的

11、最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 例例4设抛物线为设抛物线为y=a(x-20)216 解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(0，0)在抛物线上，在抛物线上， 通过利用条件中的顶通过利用条件中的顶点和过愿点选用顶点点和过愿点选用顶点式求解，式求解，方法比较灵活方法比较灵活 评价评价 所求抛物线解析式为所求抛物线解析式为 例题选讲例题选讲有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高度有一个抛物线形的立交桥拱，这个桥拱的最大高

12、度为为16m16m，跨度为，跨度为40m40m现把它的图形放在坐标系里现把它的图形放在坐标系里( (如图所示如图所示) )，求抛物线的解析式，求抛物线的解析式 例例4设抛物线为设抛物线为y=ax(x-40 ）解：解：根据题意可知根据题意可知 点点(20，16)在抛物线上，在抛物线上， 选用两根式求解，选用两根式求解，方法灵活巧妙，过方法灵活巧妙，过程也较简捷程也较简捷 评价评价 例例3、已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是的最大值是2，图象顶点在直线，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经上，并且图象经过点（过点（3，-6），求此二次函数的解析式。），求此二次函数的解析式。又

13、又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a (3-1)2+2 得得a=-2故所求二次函数的解析式为：故所求二次函数的解析式为：y=-2(x-1)2+2即：即： y=-2x2+4x解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2 2抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2 2 又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1y=x+1上上当当y=2y=2时，时，x=1x=1。 故顶点坐标为（故顶点坐标为（ 1 1 ， 2 2）所以可设二次函数的解析式为所以可设二次函数的解析式为y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+2+2解：设所求的二次函数为解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+cc=-

14、3 16a+4b+c=0已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3） （4,54,5） 对称轴为直线对称轴为直线x=1x=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？对称轴为直线对称轴为直线x=1x=1ab2-=1依题意得依题意得例例4 4、图象顶点是、图象顶点是M(1,16)M(1,16)且与且与x x轴交于两点，轴交于两点，已知两交点相距已知两交点相距8 8个单位个单位. .解：设抛物线与解：设抛物线与x x轴交于点轴交于点A A、点、点B B 顶点顶点M M坐标为（坐标为（1,161,16）, ,对称轴为对称轴为x=1,x=1,又交点又交点A A、B B关

15、于直线关于直线x=1x=1对对称称,AB=8,AB=8A(-3,0)A(-3,0)、B(5,0)B(5,0)此函数解析式可设为此函数解析式可设为 y=a(x-1)y=a(x-1)2 2+16+16 或或y=a(x+3)(x-5)y=a(x+3)(x-5)xyo116AB- 35xyo解：解：A(1A(1，0)0)，对称轴为，对称轴为x=2x=2抛物线与抛物线与x x轴另一个交点轴另一个交点C C应为（应为（3 3，0 0）设其解析式为设其解析式为y=a(x-1)(x-3)y=a(x-1)(x-3)将将B（0，-3）代入上式）代入上式-3=a(0-1)(0-3)-3=a(0-1)(0-3)a=-

16、1a=-1y= -(x-1)(x-3)=-xy= -(x-1)(x-3)=-x2 2+4x-3+4x-31AB -3C32例5、已知抛物线过两点A(1,0),B(0,-3)且对称轴是直线x=2,求这个抛物线的解析式。求二次函数关系式常见方法：求二次函数关系式常见方法：1.1.已知图象上三点或三点的对应值，通常选择一般式；2.2.已知图象的顶点坐标或对称轴和最值，通常选择顶点式 ；3.3.已知图象与x轴两个交点坐标，通常选择交点式 . . 反思总结反思总结课堂小结课堂小结求二次函数解析式的一般方法：求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式通常选择一般式已知图象的