均值不等式专题20道-带答案

1、学校：均值不等式专题3姓名：班级：三：试卷第2页，总2页一、填空题什log g + 4b)= 18工眄+打砧曰曰若则的最小值是2 .2 2,若"ER,且"一"=L则-的最大值为3 .已知“力七氏，且& +汕一2 = ° ,则2门+炉的最小值为4 94 .已知正数匕y满足工+y=i,则于+庄的最小值是.115 .若直线2ax-by+2=0 (a>0, b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则声的最小值是.14/ n36 .设正实数E满足心1 ,则口十用的最小值为 9,上7,已知弭且则2的最小值是 1 4y8.已知正实

2、数x, y满足x + y = 1,则/中的最小值是 2a +疗9.已知心劝色山E R函数=aX + x +励的值域为U +划，则的最小 值为.1 2 _io,已知心°,且工+广，则到+工+y的最小值为.11.若正数x, y满足x + 5y=3xy,则5x + V的最小值是 , Y14x += 1 一十一 2阿12.已知正实数x, y满足 " ，则” 了 飞 的最小值为 .13,若"口,=则父+功的最小值为2 . 1 2 .1. n £1+5 + j14,若十.,则(口 +力的最小值为 .15.已知a, b都是正数，满足 裔十b = 3,则F的最小值为 .

3、#+ 3 bF16 .已知a)。，且附十贝U a十皿的最小值为 .I + 117 .已知点在圆x十y二二上运动，则i+J 1+丁的最小值为., 1 1 118 ,若函数 = mx I m一 十2(m > an >。1的单调递增区间为厂，则丁二的最小值为.19 .已知正实数X, ¥满足、一为二4,则依+的最大值为 20 .已知x>。，y >0,则巧+丁的最小值为本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考【解析】【分析】根据对数相等得到而。，利用基本不等式求解'死”的最小值得到所求结果.【详解】log4（a + 4b） = log22（a + 4&

4、#163;?）=；心电5 + 48）=1。与、依 + 4 人=log 22 T同1 I _则W+M=2种,即"你=4皿/ +L0 + b = S + 切已 + -） = + -+1+1 4b a/ 4u a 4a b .由题意知.。，则砧，广a b 5 fa E 59q + b = jj- + + 五之 2 打 一 十 五二五则a b当且仅当通,即口 =油时取等号本题正确结果：【点睛】本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到次”的关系,从而构造出符合基本不等式的形式.2 .衣【解析】【分析】先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值【详解】口 回 +1_4 1

5、同+ 1当=0时，"=1, -一 所以最大值为1,a| + lj az + 2|a| + 1 i 2a2|a|当工。时，因为1+1 胴，当且仅当=1时取等号，3三*I0所以'一”,即最大值为世，同+ i综上的最大值为M .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题3 . 4.【解析】【分析】直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果.【详解】 ?* + 8上尸=审=4,一口当且仅当口二1,看时取等号，故答案为：4.【点睛】本题考查的知识要点： 代数式的恒等变换， 均值不等式的应用， 主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.254.

6、不【解析】【分析】49149由题得1 +尸+ 2 = 4,所以e +中= Kkr + yr别(工+ 1)十十2),再根据基本不等式即可求出答案.【详解】正数匕y满足、+y=i,则m+i +尸+”4,49149则7中十甘+筌以W4(y+2) 9(ar + l)32 = 工= V =尸当且仅当 丁T y+2时，即E时取等号，25故答案为：开.【点睛】本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力， 考查了计算能力，属于中档题.5 . 4【解析】【分析】1 1由题意可得2aJC- + 2 = 0（a> 0力> 0）经过圆心，可得Q ” = 1 ,再时彳+变形后利用基本 不等式

7、求得它的最小值.【详解】22?2圆1+y + 2x-4y + 1 = 0即（父+ 1） + H） =4表示以一L2）为圆心、半径等于2 的圆.再根据弦长为4,可得2出l3 + 2 = 0（q>O力>0）经过圆心，故有一九一劫+ 2 = 0,a = h =当且仅当工时，取等号，1 1故则S百的最小值为4,故答案为：4【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题.6 . 8【解析】【分析】根据基本不等式求最小值.【详解】令注= n_Ly = 2m_l,八 A 4?nS n（y +1）2 （x 4- I）2 v2 jc； v x 1 1 一【点睛】 在利用基本不等

8、式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数 ）、“定”（不等式的另一边必须为定值 ）、“等”（等号取 得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误7 .绮2a = -3 b =；时取等号，所以根据基本不等式求最小值9工之中=2俨9h = , 因为，当且仅当9fl + 上疗的最小值是入3【点睛】 在利用基本不等式求最值时， 要特别注意 拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 芷”即 条件要求中字母为正数 卜 定”不等式的另一边必须为定值 卜 等”等号取得的条件）的条件 才能应用，否则会出现错误 .18 .飞【解析】【分析】1 4y 14y+4-4

9、14.= =_ = _j= + - 4由已知分离允y+i支 y+i 支y+i ，然后进行i的代换后利用基本不等式即可求解.【详解】正实数x, y满足x + y = l ,则底篇=；一竿*=（+与-4 =；6+ «）, +（7+ 1）-4=；（5 + 号+篙）-445 + 4）-4 =；y + 1 _ 4x_ 1 _ 21当且仅当k二E且x + y = 1即,=*, x =胃时取得最小值是个1故答案为:【点睛】7本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用 1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意 拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中 正”即条 件要求中字

10、母为正数 卜 定”不等式的另一边必须为定值 卜 等”等号取得的条件）的条件才 能应用，否则会出现错误.9. 2【解析】【分析】2J + 4*1由函数fG） = ax + * +乃的值域为IQ + 8J ,可得8ab = l EJT化为R“十幅却， 利用基本不等式可得结果.【详解】丫代工）= ax2 + x + 2b的值域为此+,| a > 0L 2 .） n = 11 1a3 + 4fr2 （a-2b）2+a-a-25=a2b + n，a > 2bfa2b+福-22砺4金二匕a2b 句4a2b £ 一当 酝却，即丁是等号成立，所以R厂的最小值为：2,故答案为.【点睛】本题

11、主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题 .在利用基本不 等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中正”（即条件要求中字母为正数）、定”（不等式的另一边必须为定值）、等"（等号取得的条件）的条件才能 应用，否则会出现错误.10.7 4 4出【解析】【分析】由已知将町+r+y化为一次式，运用 “1”的变换，再利用基本不等式可得1212因为F十广1,所以孙= y + 到十上+ y=3f +到= 功导/=7十2十5*7十4P （当且仅当y=g,即,，y = 2 + g时取等号），答案第11页，总11页所以町+#+的最小值为了+4炉,故答案为；.【

12、点睛】本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值，将所求式运用“ 1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题【解析】【分析】 利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出.【详解】 正数X, y满足x + 5y = 3xy,则1211515x 5y 15x + y -f(5x + y)(+ _) = 5(25 + 1 +y + ) > (26 +当且仅当x = y = *时取等号,故5x + y的最小值是12,故答案为：12【点睛】 本题考查了基本不等式及其应用12. 2【解析】【分析】x + ;J=1直接利用基本不等式求 E得最值，再结合14一十一 利用“1”的代换，求5c V得最值，再

13、对题意求解即可【详解】X + V = 1“正实数x, y满足,4,1414 VA- + -2 = (- + -)(x+) - ?匹 )y = 4x勺=y_ i当且仅当y也，即y = 2, X,时，取等号M+豆-2 ,匹的最小值为2.【点睛】本题考查基本不等式的应用，熟记不等式应用条件，多次运用基本不等式要注意“=”是否同时取到，是中档题13. 9【解析】【分析】-+ - = 1* + 匕=5 + 2y)C + J = 1 + 4 + 多+二由条件可得工v ,即有yJy，由基本不等式可得所求最小值.【详解】12 _若C。，斗丁一孙=U即十广则工 + 2y = 0 + 2y)C+J = l+4+

14、+ y川2产.9 ?当且仅当工=y=3取得最小值9,故答案为：9.【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意运用“ 1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题.14.【解析】b2 -+- 2ab (a +【分析】22 _ d+的+面+的 "+由基本不等式，可得到a *=3'-+切,可得到最小值，要注意等号取得的条件。+弋%由题息，a' + fr2 + 2ab (a + b)，,当且仅当时等号成立,口 +占 十2所以+ w 2s+打【点睛】 利用基本不等式求最值必须具备三个条件: 各项都是正数;和（或积）为定值;等号取得的条件。15. 3【解析】【分析】3-bib I 1,2

15、由已知可知， F 口十；式2a十b）。十p,整理结合基本不等式可求.【详解】解：b都是正数，满足方+ b = 3,a+2b 1211 L 2b 2a 1则=便十叭十京=式”丁）之式5-4）= 一:2b _ 2aa+ 2b当且仅当： 匕且2a+b = 3,即a = b= 1时，K 取得最小值3,故答案为：3 .【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题 .16. 15【解析】【分析】 对3十b - 1变形可得原式_ m + 0+门）,由fl+b .=,利用3333利用基本不等式求最值即可。3+q + Q）= 3 + q十巧/十（

16、b/）r【详解】 解：a。，b且泣+ b=2,二 a + b.1 = 故二a十:一 & - 1）-2 十 2三十 一高）= 3 + （：十言）a + （B-1）三3十三十22+ A-+ 3>9 + 2 篙=9 + 6 =5 b -1- Y 4 b -13（b 1） 如.（当且仅当 , Q时取“="）.故答案为：15.【点睛】本题考查了求代数式的最值问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。17. 1【解析】【分析】由题意可知，点 HXy）在椭圆1卜/=2上运动，得J =则I L _11+/ 1+/- + / 3-x构造基本不等式，

17、即可求出结果 .【详解】/*22* 2222.点P（K，¥）在椭圆x +y =2上运动，+¥ =2即丫 =2-k ,Lill+ =4-则1%与旧+ 3 -吆2 +冷+詈思2 + 2解.普上一1+x3，&4 山+K，当且仅当X=± I时，取等号即所求的最小值为【点睛】本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了1十X”十-3 . X”的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即 可求出结果.18. 4【解析】【分析】11flit -i II m利用二次函数的单调增区间求得m + n = ,再利用m 1】 &qu

18、ot;坨口，利用基本不等式可求最小值.【详解】八X）的对称轴为 “一加一"故m+n = 1 ,1 1 （11 .口 m K ft in 41一十一 = 十 -Am 十 n=2 十一十一2 + 2 一 乂 一 = 4_ _ _又m '1 % ,m n一 如 n ,当且仅当m 11 2时等号成立，从而I 1m+n的最小值为& ,填& .【点睛】应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.19. 3;【解析】【分析】将原式子变形得到 也虱¥ - 1）二五一次再由均值不等式可得到最值 .【详解】 ，星+ 2y - 2已知正实数x,¥满足x十为=4,根据均值不等式得到 心由+ 11二依+2） - -2 一一,等号成立的条件为：x=2y+2.故答案为：3.【点睛】这个题目考查了均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意拆、拼、凑'等技巧，使其满足基本不等式中正”即条件要求中字母为正数卜定”不等式的另一边必须为定值)、等”等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.2