圆与方程知识点的总结典型例题

1、实用标准文案圆与方程1 .圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，r为半径的圆的标准方程是 (x a)2 (y b)2 r2 .特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y2 r2.2 .点与圆的位置关系：(1) .设点到圆心的距离为 d,圆半径为r：精彩文档a.点在圆内dvr; b. 点在圆上d=r ； c.点在圆外d> r(2). 给定点M(x0,y。)及圆222C: (x a) (y b) r(Xoa)2(y。b)2(X。a)2(y。b)2(x。a)2(y。b)2(3)涉及最值:圆外一点B,圆上一动点P,讨论PB的最值PBminBNBC rPBmaxBMBC r讨论PA的最值

2、圆内一点A,圆上一动点PAminPAmax(此弦垂直 AC )3.圆的一般方程:Dx Ey F 。ANAMACAC当D2E2 4F。时,方程表示一个圆,其中圆心C22. D E 4F2(2)当 D2E2 4F。时,方程表示一个点当D2E2 4F。时,方程不表不任何图形注：方程Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 。表示圆的充要条件是：B。且A C 。且4.直线与圆的位置关系:直线 Ax By C 。与圆(x a)2 (y b)2r2圆心到直线的距离d Aa Bb C- A2 B21) dr直线与圆相离2) dr直线与圆相切无交点；只有一个交点；3) d r 直线与圆相交有两个交点；弦长|AB

3、|=2，r2 d2还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组Ax By C 0x2 y2 Dx Ey F求解，通过解0的个数来判断：(1)当0时，直线与圆有2个交点，直线与圆相交;(2)当0时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切;(3)当0时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；5.两圆的位置关系(1)设两圆Ci:(xai)2(ybi)2r；与圆 C2：(xa?)2(yb2)222,圆心距 d . (a1a2)2 (hb2)2 dr1r2外离4条公切线； dr1r2外切3条公切线； r1r2dr1 r2相交 2条公切线； dr1r2 内切 1条公切线；外离(2)两圆公共弦所在直线方程22圆 C1：xy

4、D1xE1 yF10 ,22圆 C2：xyD2xE2y F20,则DiD2xEiE2 yFiF20为两相交圆公共弦方程.补充说明： 若Ci与C2相切，则表示其中一条公切线方程； 若Ci与C2相离，则表示连心线的中垂线方程.(3)圆系问题过两圆 Ci： x2 y2DixEiyFi0 和 C2： x2 y2D2XE2yF20 交点的圆系方程为 x2y2DixEiyFix2y2D2xE2yF20( i )补充： 上述圆系不包括 C2;2)当 i时，表示过两圆交点的直线方程(公共弦)过直线Ax By C 0与圆x2 y2 Dx Ey F 0交点的圆系方程为22x y Dx Ey F Ax By C 0

5、6.过一点作圆的切线的方程：(i)过圆外一点的切线：k不存在，验证是否成立k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离二半径，即yi y0 k(xi x0)R b yi k(a xi) .R2 i求解k,得到切线方程【一定两解】例i.经过点P(i , 2)点作圆(x+i)2+(y2)2=4的切线，则切线方程为 (2)过圆上一点的切线 方程：圆(xa)2+(yb)2=r2,圆上一点为(x。，y。)，2则过此点的切线方程为 (x0a)( xa) +(y0b)( yb) = r特别地，过圆x2 y2 r2上一点P(x0,y°)的切线方程为x°x y°y r2 .22例2.经

6、过点P(-4, 8)点作圆(x+7) +(y+8) =9的切线，则切线万程为 7 .切点弦过OC： (x a)2 (y b)2 r2外一点P(xo,yo)作OC的两条切线，切点分别为A、B, 则切点弦AB所在直线方程为：(x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r28 .切线长：若圆的方程为(x a)2(y b)2=r2 ,则过圆外一点 P(x0, y0)的切线长为d=，(xo a) + (yo b) r .9 .圆心的三个重要几何性质：圆心在过切点且与切线垂直的直线上； 圆心在某一条弦的中垂线上； 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。10 .两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线

7、方程的求法例.已知圆C: x2+ y2 -2x =0和圆Q： x2+ y2+4 y =0,试判断圆和位置关系，若相交，则设其交点为 A、B,试求出它们的公共弦 AB的方程及公共弦长。一、求圆的方程例1 (06重庆卷文)以点(2, 1)为圆心且与直线3x 4y 5 0相切的圆的方程为()(A) (x 2)2 (y 1)23 (B) (x 2)2 (y 1)23(C) (x 2)2 (y 1)29(D) (x 2)2 (y 1)29二、位置关系问题例2 (06安徽卷文)直线x y 1与圆x2 y2 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a的取值范 围是()(A)(0, .2 1)(B)(, 2 1,

8、 2 1)(C) (2 1, , 2 1)(D)(0, - 2 1)三、切线问题例3 (06重庆卷理)(A) y3x 或 y(C) y3x 或 y四、弦长问题过坐标原点且与圆1-x (B) y 31-X (D) y322x y 4x 2yc13x 或 y - x313x 或 y - x30相切的直线方程为()例4 (06天津卷理)设直线axy 3 0与圆(x 1)2(y 2)24相交于A、B两点，且五、夹角问题22例5 (06全国卷一文)从圆x 2x y 2y 10外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为()(A) 1(B)3 (C)(D) 0252六、圆心角问题22 一例

9、6 (06全国卷二)过点(1, V2)的直线l将圆(x 2)2 y24分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k .七、最值问题例7(06湖南卷文)圆x2 y2 4x 4y最小距离的差是()(A) 30(B) 18(C)6.2(D)八、综合问题例8 (06湖南卷理)若圆x2 y2 4x10 0上的点到直线x y 140的最大距离与5, 24y 100上至少有三个不同的点到直线l : ax by 0的距离为2无,则直线l的斜率k取值范围圆的方程1. 方程x2+y22 (t+3) x+2 (14t2) y+16t4+9=0 (t G R)表示圆方程，则t的取值范围是A.-1<t&l

10、t; B. 1<t < 1 C. 1 <t <1 D1< t<27272. 一圆与y轴相切，圆心在直线 x- 3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2 K7 ,求此圆的方程3. 方程x2+ y2+ Dx+ Ey+ F=0 （D2+E24f> 0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（）A.D+E=0B.B.D+F=0 C. E+F=0D.D+E+F=04. （2004年全国口，8）在坐标平面内，与点 A （1, 2）距离为1,且与点B （3, 1）距离为2的直线 共有（）A.1条 B.2 条 C.3 条D4条5. （2005年黄冈市调研题）圆x2+

11、y2+x-6y+3=0上两点 P、Q关于直线 kxy+4=0对称，则k=.6. （2004年全国卷W,16）设P为圆x2+y2=1上的动点，则点 P到直线3x- 4y- 10=0的 距离的最小值为.7. 已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0.求（1）上的最大值和最小值；（2） y x的最小值；x（3） x2+y2的最大值和最小值.经过两已知圆的交点的圆系例1.求经过两已知圆：x2 y2 4x 6 0和x2 y2 4y 6 0的交点且圆心的横坐标为 3的圆的方程。例2.设圆方程为：(4)x2 (4)y2 (24)x (1240) y 48164 0 其中-4求证： 不论 为何值，所给圆必经过两个定点。直线与圆的位置关系22例1 ：求由下列条件所决定圆 x y 4的圆的切线方程; 经过点P(於1)， (2)经过点Q(3,0)，斜率为1直线和圆1 .自点(一3, 3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆2 2x2 y2 4x 4y 7 0相切，