江苏省泰州市2025届高三第一次调研测试数学试题（解析版）

第第页泰州市2025届高三第一次调研测试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答一律无效.3.本卷满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】解对数不等式求集合，再由集合的交运算求集合.【详解】集合，又，所以.故选：B2.已知向量，满足，，则与的夹角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，，根据已知求向量的点坐标，再由向量夹角的坐标表示求夹角.【详解】设，，因为，，所以，解得，所以，，，则，因为，则．故选：B3.某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用线面角求出正四棱锥高，再利用其体积.【详解】在正四棱锥中，令，连接，平面，则，由，得，所以该正四棱锥的体积为.故选：A.4.已知等比数列的前n项和为，且，，成等差数列，则（）A.1 B.2 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】利用等差中项列式求出公比即可得解.【详解】由，，成等差数列，得，则，即，因此等比数列的公比，所以.故选：C5.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以的增长率呈指数增长.若增长为原来的倍经过了4天，则增长为原来的2倍需要经过的天数约为（）（参考数据：）A.6 B.12 C.16 D.20【答案】B【解析】【分析】根据已知可得，进而可得，利用指对数关系、对数的运算性质、换底公式求n即可.【详解】若原来蓝藻数量为，则，可得，令经过天后蓝藻增长为原来的2倍，则，即，可得天.故选：B6.定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意得到的图象的对称轴是，周期是8，进一步有，结合单调性即可得解.【详解】定义在上的奇函数满足，则的图象的对称轴是，所以，则，则，所以的周期是8，所以，因为在上单调递增，所以.故选：D.7.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，A为C的左支上一点，与C的一条渐近线平行.若，则C的离心率为（）A.2 B. C.3 D.【答案】C【解析】【分析】求出双曲线的渐近线，由平行关系求出，再结合双曲线定义及等腰三角形性质列式求出离心率.【详解】由对称性，不妨取双曲线的渐近线，令的半焦距为c，依题意，，则，而，则，，解得，所以C的离心率为.故选：C8.设函数，若在上有且只有个零点，且对任意实数，在上存在极值点，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的性质及零点个数、极值点的定义列不等式求参数范围.【详解】由题意，当时，，因为函数，若在上有且只有个零点，

则，解得．又对任意实数，在上存在极值点，且的长度为，而函数的最小正周期为，则，解得，综上，的取值范围是.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，是复数，则下列说法正确的是（）A.若为实数，则z是实数 B.若为虚数，则z是虚数C.若，则是实数 D.若，则【答案】BC【解析】【分析】对于AB，设，由复数概念以及乘法即可判断；对于CD，设，由复数概念以及乘法即可判断.【详解】对于A，B，设，则，若为实数，则，但这不一定能得到，比如，这个时候满足为实数，但不是实数，故A错误；若为虚数，则，这一定能得到，此时是虚数，故B正确；对于C，D，设，若，这表明，所以是实数，故C正确；若，这表明，但不一定等于0，比如，这个时候有，但，故D错误.故选：BC.10.口袋内装有大小、质地均相同，颜色分别为红、黄、蓝的3个球.从口袋内无放回地依次抽取2个球，记“第一次抽到红球”为事件A，“第二次抽到黄球”为事件B，则（）A. B.C.A与B为互斥事件 D.A与B相互独立【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用古典概率、条件概率公式，结合互斥事件、相互独立事件的意义计算判断.【详解】对于A，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，事件可以同时发生，则A与B不互斥，C错误；对于D，，由选项AB知，，则A与B相互不独立，D错误.故选：AB11.已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，则（）A.平面B.向量不共面C.平面与平面的夹角的正切值为D.平面截该正方体所得的截面面积为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解判断ABC；作出截面，结合余弦定理、三角形面积公式计算判断D.【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，，对于A，，则，即，而平面，因此平面，A正确；对于B，，则向量共面，B错误；对于C，设平面的法向量，，则，取，得，平面的法向量，设平面与平面的夹角为，则，，因此平面与平面的夹角的正切值为，C正确；对于D，连接并延长交的延长线于，连接交于，交延长线于，连接交于，则五边形即为所求截面，，，则，，，为的中位线，则，，因此截面面积小于，D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：正确作出截面是求解判断D选项的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知二项式，则__．【答案】【解析】【分析】根据二项展开式，利用赋值法，即可解出．【详解】解：令得，①，令得，②①②得，．故答案为：．13.过抛物线的焦点作斜率为1的直线交抛物线于两点，则以为直径的圆被轴截得的弦长为______________.【答案】【解析】【详解】设，直线的方程为，将其代入中并整理得，所以，所以的中点即以为直径的圆的圆心，其横坐标为，所以圆心到轴的距离为3，||=，所以以为直径的圆的半径为，由已知及垂径定理得以为直径的圆被轴截得的弦长为=.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．14.将1，2，3，4，5，6随机排成一行，前3个数字构成三位数a，后三个数字构成三位数b.记，则m的最小值为______，m小于100的概率为______.【答案】①.47②.【解析】【分析】根据给定条件，结合差的绝对值的对称性，逐一分析各个数位上的数字即可求出最小值；分两步探讨，结合古典概率列式计算得解.【详解】由中的对称性，不妨令，要最小，百位必相邻，的百位为4，的百位为3；对于十位，的十位尽可能的大，为6，的十位尽可能的小，为1；同理的个为5，的个位为2，因此，所以m的最小值为47；要m小于100，百位必相邻，且较大数的十位小于较小数的十位，个位无限制，分两步：取百位的概率为；取十位，在剩下的4个数字中取两数分配给作十位，而的十位大于的十位与的十位小于的十位的概率相等，此步符合要求的概率为，所以m小于100的概率为.故答案为：；【点睛】关键点点睛：按两步分析，分别求出各步发生的概率求得第二空.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某学校举行运动会，为了解学生参加跳绳比赛与学生的性别是否有关，对学生进行简单随机抽样，得到如下数据：女男未参加跳绳比赛参加跳绳比赛（1）能否有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关（2）为了进一步了解女生的平时运动情况，利用分层抽样的方法从这人中抽取人进行研究，老师甲从这人中随机选取人，求至少有人参加跳绳比赛的概率．附：其中．【答案】（1）有（2）【解析】【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值比对即可.（2）利用分层抽样求出抽取的12人中参加与未参加跳绳的人数，再借助组合计数问题求出古典概率.【小问1详解】由表格中的数据，得，所以有的把握认为学生参加跳绳比赛与学生的性别有关．【小问2详解】利用分层抽样的方法从女生这人中抽取人，则未参加跳绳比赛的有人，参加跳绳比赛的有人，老师甲从这人中随机选取人，记“至少有人参加跳绳比赛”为事件，则，所以至少有人参加跳绳比赛的概率是.16.在，已知，.（1）求B；（2）若为的平分线，的面积为14，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，再利用两角差的正切公式结合即可求解.（2）由（1）的结论以及三角形中求出角C的正弦，再利用正弦定理与三角形面积公式求出b边和c边，再用等面积法转化即可求解.【小问1详解】在中，，所以，因为，所以，因为，所以，所以.所以，所以，又因为，所以.【小问2详解】由，所以，所以.记中角A、B、C所对的边为a、b、c，由正弦定理可得，所以，所以，解得（负值舍去），所以.又由，得，所以由，得，所以，解得.17.如图，在直三棱柱中，，.（1）证明：三棱柱是正三棱柱；（2）证明：；（3）设平面，平面，若直线与平面的距离为，求三棱柱外接球的表面积.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）通过证明三角形全等得到，即可证明三棱柱为正三棱柱；（2）建系，利用空间向量的方法证明线线垂直；（3）根据垂直关系得到可以作为平面的法向量，然后利用点到面的距离公式列方程，解方程得到，然后求外接球表面积即可.【小问1详解】在直三棱柱中，又因为，所以，所以，所以三棱柱为正三棱柱.【小问2详解】取的中点，连结，则.因为平面，所以平面.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则，，所以.因为，所以，所以，所以.所以，所以，即.【小问3详解】因为平面平面，又因为，所以不妨取平面的法向量.因为直线与平面的距离为，所以点到平面的距离为.因为，所以点到平面的距离，所以所以正三角形的外接圆半径，所以正三棱柱的外接球的半径，所以三棱柱外接球的表面积为.18.已知函数的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）.（1）讨论的单调性；（2）若函数有三个零点，求a的取值范围；（3）若，点P在的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求的最小值.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据根的个数可得，再应用导数研究函数的单调性即可；（2）令，求出函数的定义域，并证明为奇函数，由零点的个数及奇函数的对称性，将问题化为在上有且仅有一个零点，讨论、研究在上零点的个数，即可得参数范围；（3）设，且，应用向量数量积的坐标表示求得，进而有，最后应用基本不等式求最小值.【小问1详解】由已知得，有三个根，令，得或，所以有两个不同的解，所以，又，令，得或，令，得，所以当时，在和上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】令，得，令，因为，所以为奇函数.因为，所以0是的一个零点，要使有三个零点，只需要在有且仅有一个零点.在上单调递增，.当，即时，，所以在上单调递增，由，得在上无零点，不合题意，舍去.当，即时，，所以存在，使得.当时，，所以在上递减；当时，，所以在上递增.当时，，且.当时，，令，解得，所以，所以在上存在唯一的零点.综上，.【小问3详解】设，且，因为点异于，所以.由，得，即，解得，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.【点睛】关键点点睛：第二问，判断的奇偶性，将问题化为在有且仅有一个零点为关键.19.已知椭圆（）的离心率为，且经过点.定义第n（）次操作为：经过C上点作斜率为k的直线与C交于另一点，记关于x轴的对称点为，若与重合，则操作停止；否则一直继续下去.（1）求C的方程；（2）若为C的左顶点，经过3次操作后停止，求k的值；（3）若，是C在第一象限与A不重合的一点，证明：的面积为定值.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由离心率、椭圆所过的点列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）设，则直线的方程为，联立椭圆方程消去y，结合求得，根据题设定义，利用对称性有得到方程，即可求参数值；（3）由（2）易得与关于原点对称，结合椭圆对称性有与关于原点对称，与重合，进而有是以4为周期的周期点列，得的面积等于的面积，再应用点线距离公式、三角形面积公式求面积.【小问1详解】由题设有，解得，所以椭圆方程为.