初中数学最值问题典型例题(含答案分析)

1、中考数学最值问题总结考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”(2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题)问题原型：饮马问题造桥选址问题(完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点)出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型：条件：如下左图， A、B是直线l同旁的两个定点. 问题：在直线l上确定一点P,使PA PB的值最小.方法：作点 A关于直线l的对称点A ,连结人8交1于 点P ,则PA PB AB的值最小例1、如图，四边形 ABCD是正方形， ABE是

2、等边三角形，M为对角线BD (不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60得到BN ,连接 EN、AM、CM .(1)求证： AMB 叁、ENB ;(2)当 M点在何处时，AM+CM 的值最小；当M点在何处时，AM+BM+CM 的值最小，并说明理由;时，求(3)当AM+BM+CM 的最小值为 正方形的边长。例2、如图13,抛物线y=ax2+bx+c(a w0)j顶点为(1,4),交x轴于 A B,交y轴于D, 其中B点的坐标为(3,0)(1)求抛物线的解析式(2)如图14,过点A的直线与抛物线交于点E,交y轴于点F,其中E点的横坐标为2,若直线PQ为抛物线的对称轴，点 G为PQ上一动点，则

3、x轴上是否存在一点 H,使D、G、 F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.(3)如图15,抛物线上是否存在一点 T,过点T作x的垂线，垂足为 M,过点M作直线 MNI/ BD,交线段AD于点N,连接MD使 DNMh BMD若存在，求出点 T的坐标；若不存 在，说明理由.例3、如图1,四边形AEFG与ABCD都是正方形，它们的边长分别为a,b(bM2aM点F在AD上(以下问题的结果可用a,b表示)(1)求 Sa DBF ;(2)把正方形AEFG绕点A逆时针方向旋转 450得图2,求图2中的Sadbf；(3)把正方形AEFG绕点A旋转任意角度，

4、在旋转过程中dbf是否存在最大值，最小值？ 如果存在，试求出最大值、最小值；如果不存在，请说明理由。1例4、如图，在平面直角坐标系中，直线 y= x+1与抛物线y=ax，bx 3交于A, B两点，2点A在x轴上，点B的纵坐标为3。点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与A, B重合)，过点P作x轴的垂线交直线 AB与点C,作PDXAB于点D(1)求a, b及sin ACP的值(2)设点P的横坐标为m用含m的代数式表示线段 PD的长，并求出线段 PD长的最大值；连接PB,线段PC把4PDB分成两个三角形， 是否存在适合的 m值，使这两个三角形的面积之比为 9: 10?若存在，直接写出 m值；若不

5、存在，说明理由32例5、如图，OC的内接4AOB中，AB=AO=4tan AAOB=-，抛物线y ax2 bx经过点A(4,0)4与点(-2,6 ).(1)求抛物线的函数解析式；(2)直线m与。C相切于点A,交y于点D.动点P在线段OB上，从点。出发向点B运 动；同时动点Q在线段DA上，从点D出发向点A运动；点P的速度为每秒1个单 位长，点Q的速度为每秒2个单位长，当PQ! AD时，求运动时间t的值；(3)点R在抛物线位于x轴下方部分的图象上，当 ROB面积最大时，求点 R的坐标.第22题图笫22题答案图例1、证明：（1） . ABE是等边三角形，BA=BE , / ABE=60 . / MB

6、N=60,. MBN- Z ABN= Z ABE- / ABN .即/ MBA= Z NBE .又. MB=NB ,AMB ENB （SAS） . （ 5 分）解:（2）当M点落在BD的中点时，A、M、C三点共线，AM+CM 的值最小.（7分）如图，连接 CE,当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM 的值最小.（9分）理由如下：连接 MN ,由（1 ）知， AMB ENB ,AM=EN , . /MBN=60 , MB=NB ,.BMN 是等边三角形. BM=MN . . AM+BM+CM=EN+MN+CM . （ 10 分）根据两点之间线段最短，得EN+MN+CM=EC 最短，当M

7、点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM 的值最小，即等于 EC的长.（11分）例2、解：（1）设所求抛物线的解析式为：y a（x 1）2 4,依题意，将点B （3, 0）代入，得：a(3 1)2 4 0 解得：a=1,所求抛物线的解析式为：y (x 1)2 4(2)如图6,在y轴的负半轴上取一点I,使得点F与点I关于x轴对称， 在x轴上取一点 H,连接HF、HI、HG、GD、GE,则HF = HI设过A、E两点的一次函数解析式为：y=kx + b(kw0),点E在抛物线上且点 E的横坐标为2,将x= 2代入抛物线y (x 1)2 4,得y (2 1)2 4 3点E坐标为(2, 3)又抛物

8、线y2(x 1)4图像分别与x轴、y轴交于点A、B、D，当y=0时,2(x 1)4 0 , . x= 1 或 x= 3当 x = 0 时，y= - 1+4=3,点 A (1, 0),点 B (3, 0),点 D (0, 3)又抛物线的对称轴为：直线 x=1,点D与点E关于PQ对称，GD=GE分别将点A ( 1, 0)、点E (2, 3)代入y=kx+b,得：k b 02kb 3解得:过A、E两点的一次函数解析式为：y= x+ 1当x=0时，y= 1点F坐标为(0, 1)DF =2又.点F与点I关于x轴对称，点I坐标为(0, 1). eiVDEDT J22 42 2V5又.要使四边形 DFHG的

9、周长最小，由于 DF是一个定值，只要使DG + GH+HI最小即可由图形的对称性和、，可知，DG + GH + HF = EG+ GH + HI只有当EI为一条直线时，EG+GH + HI最小设过E (2, 3)、I (0, 1)两点的函数解析式为：y kx b(k1 0),分别将点E (2, 3)、点I (0, 1)代入y k1x b1,得:2k1 1blb 1k12解得： b11过A、E两点的一次函数解析式为：y=2x1一 .1. .当 x=1 时，y=1;当 y=0 时，x=5；,，,，一1点G坐标为（1, 1）,点H坐标为（一，0）2，四边形 DFHG的周长最小为： DF+DG + G

10、H+HF = DF+EI 由和，可知：DF+EI=2 2i/5四边形DFHG的周长最小为2 25。（3）如图7,由题意可知，/ NMD =/ MDB , NM MD . 要使， DNM sbmd ,只要使 即可，MD BD2即：MD NM BD 设点M的坐标为（a, 0）,由MN /BD,可得 AMN ABD ,NM AMBD AB再由（1）、（2）可知，AM =1 + a, BD = 372 , AB =4MNAM BDAB_22_22_ MD OD OM a 9,，式可写成:9 312 （1 a） 3.24一 3-解得：a 或a 3 （不合题意，舍去）23. 点M的坐标为（一，0）2又.点

11、T在抛物线y （x 1）2 4图像上,3私当x=一时，y=2.点T的坐标为（15232152例3、 解：(1)二.点 F 在 AD 上，AF2=a2+a2,即 AF= 72a。. DF b /a。111 o 3S DBF -DF AB (b 42a) b -b2 abo DBF 2222(2)连接DF, AF,由题意易知 AF / BD ,，四边形AFDB是梯形。. DBF与ABD等高同底，即 BD为两三角形的底。由AF / BD ,得到平行线间的距离相等，即高相等,- S DBF S ABD 2boA为圆心，AF为半径的圆。(3)正方形AEFG在绕A点旋转的过程中，F点的轨迹是以点第一种情况

12、：当b2a时，存在最大值及最小值, BFD 的边 BD= x/2b ,如图，当DFXBD时，S/xbfd的最大值=-1 72b $ BFD 的最小值=1 2b 吟b 2a) b 22ab仔 b V2a)b2 2ab2，O当F点到BD的距离取得最大、最小值时，S/XBFD取得最大、最小值。锦元数学工作室绘制第二种情况：当b=2a时，存在最大值，不存在最小值,Sa bfd的最大值=b2 2ab - o一 _,1，一(2, 0)。例 4、解：（1）由 _x+1=0 ,得至U x=-2, A21一. 一由一x+1=3,得至U x=4 , 1. B (4, 3)。2_ 2 ,.- y=ax +bx3经过

13、A、B两点,4a 2b16a+4b3=0- L,解得3=31 a=b=设直线AB与y轴交于点E,则 E (0, 1)。根据勾股定理，得 AE= J5。. PC / y 轴,P ACP= / AEO 。OA 2 一sin ACP=sin AEO= AE 5（2）由（1）可知抛物线的解析式为1y= -x23。由点P的横坐标为m ,m,m,1 一一 m+1 。21. PC= 1m+121 -m22 .i +m+4。在 RtAPCD 中,PD12.PC sin ACP= - m +m+4 259 50, .当m=1时，PD有最大值。55532存在满足条件的 m值，m= 5或32。29例5、解：（1）将

14、点A（4, 0）和点（-2 , 6）的坐标代入y=ax2+bx中，得方程组一4a-2b=61 a=1 o解之，得 a 2 .，抛物线的解析式为 y= - x2-2x . b=-22(2)连接 AC交 OBT E.直线 m切GK 于 A .-.ACLm 弦 AB=AQ ，Ab Ao . . . ACJL OB,，m/ OBOAD叱 AOB - OA=4 tan/AOB= 3 , . OD=OAtan/OAD=4 - =3.443作。吐 AD于 F.则 OF=OA sin / OAD=4 一 =2.4.t 秒时，OP=t,DQ=2t,若 PQL AD 则 FQ=OP= t.DF=DQ- FQ= t.ODF中，t=DF=OD2 OF2=1.8 秒.(3)令 R(x, 1x22x) (0 x 4). 2作 RGLy 轴于 G 作 RHL OB于 H 交 y 轴于 I.贝U RG= x, OG= 1x2+2x. 2Rt/RIG 中，. / GIR=/ AOB , . tan /