关于某二项分布与超几何分布问题区别举例

1、实用标准文档关于“二项分布”与“超几何分布” 问题举例一.基本概念1 .超几何分布一般地，在含有M件次品的N 件产品中，任取n件，其中恰有X件 次品，则事件*=妙发生的概率为： P(X=k尸 CL£,k= 0,1,2,3,m;CN其中，m= min M,n ,且限 N , M N . n,M,N三N*为超几何分布；如果一个 变量X的分布列为超几何分布列，则 称随几变量X服从超几何分布.其中，MEX= n 12 .二项分布文案大全实用标准文档在n次独立重复试验中，设事 件A发生的次数为X,在每次试验中， 事件A发生的概率为P,那么在n次独 立重复试中，事件A恰好发生k次的 概率为：P(

2、X=k)=Cnkpk(1-p) n-k(k=0,1,2,3,n),此时称随机变量X服从二项分布.记作：X B(n,p),EX= np3 .“二项分布”与“超几何分布” 的联系与区别(1) “二项分布”所满足的条件每次试验中，事件发生的概率是 相同的；是一种放回抽样.各次试验 中的事件是相互独立的；每次试验文案大全实用标准文档只有两种结果，事件要么发生，要么 不发生；随机变量是这n次独立重 复试验中事件发生的次数.(2) “超几何分布”的本质：在每 次试验中某一事件发生的概率不相 同，是不放回抽样，”当样本容量很 大时，超几何分布近似于二项分布；(3) “二项分布”和“超几何分布” 是两种不同的

3、分布，但其期望是相等 的.即：把一个分布看成是“二项分 布”或“超几何分布”时，它们的期 望是相同的.事实上，对于“超几何 ,上什 Me k k 分布中，右p= 2 ,贝(J EX= I k%2M =INi 1 CNnM. “超几何分布”和“二项分布”的这种“巧合”，使得“超几何分布” 期望的计算大简化.共同点：每次试验只有两种可能的 结果：成功或失败。不同点：1、超几何分布是不放回抽 取，二项分布是放回抽取；2、超几何分布需要知道总体 的容量，二项分布不需要知道总体容 量，但需要知道“成功率”； 联系：当产品的总数很大时，超几何 分布近似于二项分布。因此，二项分布模型和超几何分布 模型最主要

4、的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.所以，在解有关 二项分布和超几何分布问题时，仔细 阅读、辨析题目条件是非常重要的.二.典型例题例1：袋中有8个白球、2个黑球， 从中随机地连续抽取3次，每次取1 个球.求：(1)有放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；(2)不放回抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.解：(1)有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1, 2, 3.又由于每次取到黑球的概率均为：，3次 5取球可以看成3次独立重复试验，则1X B.3.,564o 1 04P(X =0)=C0 I5 5 125P(X =1) =C；48125，P(X =2) =C2 1 2()3 55125世

5、:3)七13 L 55125因此，x的分布列为X0123P6412548125121251125（2）.不放回抽样时，取到的黑球数Y可能的取值为0,1, 2,且有：P（Y=0）=岩磊；p（y=1）=警/；p（y=2）=等 101010因此，Y的分布列为Y01 :2P771151515例2.在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品，从这10件 产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件 数多于二等品件数的概率.(2)记：X表示“取出的3件产 品中一等品件数多于二等品件数的 数量”，求X的分布列并求EX;分析：由题可知：从10件产品 中分别任取两次得到“一等品”或“二 等品”的

6、概率是不相等的，因此是一种不放回抽样；随机变量X服从超几 何分布.解：记Al：取出3件一等品;A取出2件一等品；A:取出1件 一等品，二件二等品.Ai、A2、A互斥，C331C32C1P(Al尸 Co3 = 120 , P(A 2)= 3 =740 ,G1。23 皿”P(A 3)= -Cpr = 40 ;所以，P =31P(A1)+ P(A 2)+ P(A 3)=砺.(2)X=0 , 1, 2, 3; X服从超几何分布, 所以P(X=0)= P(一件一等品，一件二等品，一件三等品尸坐 C10p(x=i)=p (二件一等品，一件二等C32c4"CTP(X=2)=P(三件一等品，一件二等

7、r1)=CC；=；口口)C13030 ;P(X=3)= P (三件一等品，零件二C3C0C130nMEX = N3 3=0 910说明：谨防错误地认为随机变属 X服从二项分布，即：X B(3, 120 ).例3.从某高中学校随机抽取16名学 生，经校医检查得到每位学生的视 力，其中“好视力” 4人，以这16人 的样本数据来估计整个学校的整体 数据，若从该校（人数很多）任选 3 人，记X表示抽到“好视力”学生的 人数，求X的分布列及数学期望.分析：本题就是从“该校（人数 很多）任选3人”，由此得到“好视 力”人数X,若每次从该校任取一名 学生为“好视力”这一事件的概率显 然是相等的，因为 该校“

8、人数很多” 相当于“有放回抽样”，因此，随机 变量X服从“二项分布”而不是“超 几何分布”.解：由题可知：X= 0,1,2,3 ;由样本估计总体，每次任取一人为“好、，一一41,视力”的概率为：P =,则 1641010X B(3, 4 )；P(X=0)=G°( 4 )0(1-13-0.27 4 )= 64 ; 说明：假设问题变为：“从16名学生 中任取3名，记X表示抽到“好视力” 学生的人数，求X的分布列及数学期 望”.那么X服从“超几何分布"，即: p(X二k尸笛，(X=0,1,2,3),其中, C16P(X=1)= C31(2764 ;P(X=2)=C32(1)1(1

9、-4 )=1213-24 ) (1- 4 )=964 ;P(X=3)= G3(1313-34 )(1-4 )=164EX = 3u、-,4数学期望值不变，即为：EX= 3X八 16_ 3=4 .文案大全里”的问题特别见效，由于停取方用价格低廉，各种共享单车受到们潟_需霹黑;T&们对聊1交通方式的满盛装急堵城?和?通严重拥堵的*城市分别随机调杳广20个用户.得 到了一用户满意度评分的样本，若评分不低于时分,则a为逡用 里把怜吐支说8则认为该用户对此种交通方式乌 ,可”.并绘制出茎叶图如图,一 （1）请根据此样本完成下面的2X2列联表，并据此样本分析是否能在犯暨婢率手卷过0%的情况下的认为交通拥堵与认可共享单车有关:（2）若以A受抽整的衿gp个鹫的产本数据来狂个诵的总 体数据看以息霆