课题学习：最短路径问题

1、七年级七年级 上册上册2.32.3 课题学习课题学习 最短路径问题最短路径问题引言：引言： 1 1、“两点之间，线段最短两点之间，线段最短” 2 2、“垂线段最短垂线段最短”等的问题等的问题 我们称它们为最短路径问题，现实我们称它们为最短路径问题，现实生活中经常涉及到选择最短路径的问生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的中著名的 “ “将军饮马问题将军饮马问题” 如图所示，从如图所示，从A A地到地到B B地有三条地有三条路可供选择，你会选走哪条路路可供选择，你会选走哪条路最近？你的理由是什么？最近？你的理由是什么？FEDCBA

2、 两点之间两点之间,线段最短线段最短 垂线段垂线段是垂线上的一部分，它是线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点，另一端是垂足。线段，一端是一个点，另一端是垂足。线段PDPD叫做点叫做点P P到直线到直线ABAB 的的垂线段垂线段ABPD 垂线段定义垂线段定义C点到直线的距离点到直线的距离： 直线外一点到直线的直线外一点到直线的垂线段的长度垂线段的长度，叫，叫做做点到直线的距离。点到直线的距离。垂线段垂线段ABAB的长度就是点的长度就是点A A到直线到直线的距离的距离拓 展 应 用理由理由:垂线段最短垂线段最短AO如图，点如图，点A A处是一座小屋，处是一座小屋，BCBC是一条公路是一条公

3、路，一人在，一人在O O处。处。（1 1）此人到小屋去）此人到小屋去，怎样走最近？为，怎样走最近？为什么？什么？（2 2）此人要到公）此人要到公路去，怎样走最近路去，怎样走最近？为什么？为什么？B BC C如图，过点如图，过点P把两条笔直的公路连接起把两条笔直的公路连接起来，在图中画出最短连接的路线来，在图中画出最短连接的路线.mnP . .B B 已知：如图，已知：如图，A A，B B在直线在直线L L的侧，在的侧，在L L上上求一点求一点P P，使得，使得PA+PBPA+PB最小。最小。 A A . .P P根据：根据：两点之间线段最短两点之间线段最短. .应用应用 要在燃气管道要在燃气管

4、道L L上修建一个泵站，分别向上修建一个泵站，分别向A A、B B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？所用的输气管线最短？P泵站建在点泵站建在点P P处输气管线最短。处输气管线最短。 作法：作法： 作点作点B B关于直线关于直线l l的对称点的对称点B.B. 连接连接AB,AB,交直线交直线l l于于 点点P.P. 点点P P的位置即为所求的位置即为所求. .ABl BP已知：如图已知：如图,A,A、B B在直线在直线L L的同一侧，在的同一侧，在L L上上求一点，使得求一点，使得PA+PBPA+PB最小最小. . ABl BPM 为

5、什么这样做就能得到最短距离呢？为什么这样做就能得到最短距离呢？ MA + MBMA + MBPA+PBPA+PB 即即MA + MBMA + MBPA+PBPA+PB 三角形任意两边之和三角形任意两边之和大于第三边大于第三边比一比，谁想的最快：比一比，谁想的最快：问题问题1 1：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位：相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的题：从图中的A A 地出发，到一条笔直的河边地出发，到一条笔直的河边l l 饮马，

6、然后到饮马，然后到B B 地到河边什么地方饮马可使地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？他所走的路线全程最短？BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题后来被称为知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马将军饮马 问题问题”你能将这个问题抽象为数学问题吗？你能将这个问题抽象为数学问题吗？ BAl将将A A，B B 两地抽象为两个点，将河两地抽象为两个点，将河l l 抽象为一抽象为一条直线条直线 BAl已知：如图已知：如图A A是锐角是锐角MONMON内部任意一点，在内部任意一点，在MONMON的两边的两

7、边OMOM，ONON上各取一点上各取一点B B，C C，组成，组成三角形三角形ABCABC，使三角形周长最小，使三角形周长最小. .BCDE分析：当分析：当ABAB、BCBC和和ACAC三条边三条边的长度恰好能够体现在一条的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最直线上时，三角形的周长最小。小。 运用新知运用新知1.1.如图，一个旅游船从大桥如图，一个旅游船从大桥AB AB 的的P P 处前往处前往山脚下的山脚下的Q Q 处接游客，然后将游客送往河岸处接游客，然后将游客送往河岸BC BC 上，再返回上，再返回P P 处，请画出旅游船的最短路径处，请画出旅游船的最短路径ABCPQ山山河岸河

8、岸大桥大桥基本思路：基本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQPQ，线，线段段PQ PQ 为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为一条直线一条直线BCBC，这样问题就转化为，这样问题就转化为“点点P P，Q Q 在直线在直线BC BC 的同侧，如何在的同侧，如何在BCBC上找到一点上找到一点R R，使，使PRPR与与QR QR 的和最的和最小小” ABCPQ山山河岸河岸大桥大桥3 3. .某班举行晚会，桌子摆成两直条某班举行晚会，桌子摆成两直条( (如图如图中的中的AOAO，BO)BO)，AOAO桌面上摆满了桔

9、子，桌面上摆满了桔子，OBOB桌面上摆满了糖果，坐在桌面上摆满了糖果，坐在C C处的学生处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？所走的总路程最短？A AO OB B. . 作法：作法： 1. 1.作点作点C C关于直线关于直线 OA OA 的对称点的对称点D,D, 2. 2.作点作点C C关于直线关于直线 OB OB的对的对 称点称点E,E, 3. 3.连接连接DEDE分别交直线分别交直线OA.OBOA.OB 于点于点M.NM.N，则，则CM+MN+CNCM+MN+CN最短

10、最短AOB. .EDMNGHABA/B/PQ最短路线：最短路线：A P Q BA P Q BlMN4. 如图：牧马人某一天要从马厩牵出马，先到如图：牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。作法：作法：1.1.作点作点C C关于直线关于直线 OA 的的 对称点点对称点点F,F,2.2.作点作点D D关于直线关于直线 OB 的对称点点的对称点点E,E,3 3. .连接连接EFEF分别交直线分别交直线OA. OB于点G.H. 则CG+GH+DH最短FAOBD CEGH练习 1 1. .图图1 1，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆，台球桌上有一个黑球，一个白球，如何用球杆去击白球使其撞到去击白球使其撞到ABAB边反弹后再撞到黑球边反弹后再撞到黑