二阶常系数齐次线性微分方程

1、这是一类有专门的求解方法微分方程这是一类有专门的求解方法微分方程定义定义 形如形如ypy qy f(x)的方程称为二阶的方程称为二阶常系数线性微分方程常系数线性微分方程 其中其中p, q是常数是常数, f(x)称为自由项称为自由项. 特别地特别地, 当当f(x)=0时时, ypy qy 0称为称为二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性齐次微分方程 否则称为否则称为线性非齐次线性非齐次微分方程微分方程.11( ) P x C y 11( ) Q x C y 0 证毕证毕12( ),( )y xy x若若函函数数是方程是方程()()0yPxyQxy 的两个解的两个解,也是该方程也是该方程证证:1

2、 122( )( )yC y xC y x 将将代入方程左边代入方程左边, 得得11 C y 22C y 22C y 22C y1111( )( )CyP x yQ x y 2222( )( )CyP x yQ x y 1122( )( )yC y xC y x 则则12(,)C C 为为任任意意常常数数定理定理.(叠加原理叠加原理) 的解的解. 定理定理表明表明, 二阶线性齐次微分方程任何二阶线性齐次微分方程任何两个解两个解 y1(x), y2(x) 的线性组合的线性组合)()(2211xyCxyC)()(2211xyCxyCy那么那么, 是不是方程的通解呢？是不是方程的通解呢？仍是方程的解

3、仍是方程的解.例例. 对于二阶常系数线性齐次微分方程对于二阶常系数线性齐次微分方程, 02yyy容易验证容易验证:xxxyxye2)(,e)(21)()(2211xyCxyCy也是它的解也是它的解. 但这个解中只含有一个任意常但这个解中只含有一个任意常数数C, 显然它不是所给方程的通解显然它不是所给方程的通解.由定理知由定理知都是它的解都是它的解.xxeCeC212xeCC)2(21xCe 问题问题: 方程的两个特解方程的两个特解 y1(x), y2(x) 满足满足什么条件时什么条件时,的通解？的通解？ 由例由例7-12的分析可知的分析可知, 如果方程的两个如果方程的两个特解特解y1(x),

4、y2(x)之间不是常数倍的关系之间不是常数倍的关系, 那那么它们线性组合得到的解么它们线性组合得到的解就必定是方程的通解就必定是方程的通解.),( )()(212211为任意常数CCxyCxyCy)()(2211xyCxyCy才是方程才是方程 定义定义 设设y1(x) 与与y2(x)是定义在某区间是定义在某区间内的两个函数内的两个函数, 如果存在不为零的常数如果存在不为零的常数k (或存在不全为零的常数或存在不全为零的常数k1, k2), 使得对于使得对于该区间内的一切该区间内的一切x, 有有)0)()( )()(221112xykxykkxyxy或成立成立, 则称函数则称函数y1(x) 与与

5、y2(x) 在该区间内在该区间内线线性相关性相关, 否则称否则称y1(x)与与y2(x)线性无关线性无关.思考思考:)(),(21xyxy若中有一个恒为中有一个恒为0, 则则)(),(21xyxy必线性必线性相关相关定理定理. (二阶齐次线性方程通解的结构二阶齐次线性方程通解的结构)12( ),( )y x y x若若是二阶线性齐次方程的两个是二阶线性齐次方程的两个线性无关的特解线性无关的特解, 则则1122( )( )yC y xC yx数数) 是该方程的通解是该方程的通解.例如例如, 方程方程0yy 有特解有特解1cos ,yx 2sin ,yx 且且常数常数,故方程的通解为故方程的通解为

6、12cossinyCxCx2tanyx 1y12(,C C为为任任意意常常将将y erx代入方程代入方程ypy qy 0得得(r2 pr q)erx 0 分析分析 考虑到当考虑到当y , y , y为同类函数时为同类函数时 有可能使有可能使ypy qy 恒等于零恒等于零 而函数而函数erx具具有这种性质有这种性质 所以猜想所以猜想erx是方程的解是方程的解 二阶齐次线性方程通解的求法二阶齐次线性方程通解的求法由此可见由此可见 只要只要r满足代数方程满足代数方程r2 pr q 0 函数函数y erx 就是微分方程的解就是微分方程的解 2422 , 1qppr r2 pr q 0叫做微分方程叫做微

7、分方程ypy qy 0的的特征方程特征方程. 特征方程的求根公式为特征方程的求根公式为(1) 当当240pq 时时, 方程有两个相异实根方程有两个相异实根,21r , r则微分方程有两个线性无关的特解则微分方程有两个线性无关的特解:11,r xye 22,r xye 因此方程的通解为因此方程的通解为1212r xr xyC eC e 设设r1, r2是特征方程的两个根是特征方程的两个根.(2) 当当240pq 时时, 特征方程有两相等实根特征方程有两相等实根12rr 则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解2,p 11.r xye 21( )yyu x 设另一特解为设另一特解为, ( u(x)

8、 待定待定).1r xe1()p ur u 0qu 211(2)ur ur u 1r注注意意是特征方程的重根是特征方程的重根0u 取取u=x, 得得12,r xyxe 因此原方程的通解为因此原方程的通解为112()r xyCC x e 1( )r xe u x 2111(2)()0urp urprq u 得得:代入原微分方程代入原微分方程0 qyypy(3) 当当240pq 时时, 方程有一对共轭复根方程有一对共轭复根12,riri这时原方程有两个复数解这时原方程有两个复数解:()1ixye (cossin)xexix ()2ixye (cossin)xexix 利用解的叠加原理利用解的叠加原

9、理, 得原方程线性无关特解得原方程线性无关特解:12112()yyy 12212()iyyy cosxex sinxex 因此原方程的通解为因此原方程的通解为12(cossin)xyeCxCx 1212r xr xyC eC e12rr 实根实根 212prr 112()r xyCC x e1 2 ,ri12(cossin)xyeCx Cx 特特 征征 根根通通 解解(1) 写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0 (2) 求出特征方程的两个根求出特征方程的两个根r1, r2 求求y +py +qy=0的通解的步骤的通解的步骤: (3) 根据特征方程根的不同情况根据特征方

10、程根的不同情况, 写出微分方写出微分方 程的通解程的通解. 因此微分方程的通解为因此微分方程的通解为y C1e x C2e3x 例例1 求微分方程求微分方程y2y 3y 0的通解的通解 解解: 微分方程的特征方程为微分方程的特征方程为 r2 2r 3 0 特征方程有两个不等的实根特征方程有两个不等的实根r11 r2 3 即即(r 1)(r 3) 0 例例2 求解初值问题求解初值问题22dd20ddssstt 04,ts d2d0st t 解解: 特征方程特征方程2210rr , 特征根为特征根为121,rr 因此原方程的通解为因此原方程的通解为12()tsCC t e 由初始条件得由初始条件得14,C 于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为(42 )tst e