直线、平面、简单几何体专题讲座

1、直线、平面、简单几何体专题讲座3-、选择题1 .已知直线1_L平面a,m点示直线，P表示平面.有以下四个命题：!oa±m：aJ_81B；lm,mUpa±3假设B与1相交，则B必与a相交.上述命题中，真命题的个数是（）.A. 4B. 3C. 2D. 12 .在正三棱锥S-ABC中，E为SA的中点，F为AABC的中心，SA=BC=2,那么异而直线EF与AB所成的角是（）.A. 60"B. 90。C. 45°D. 30。3 .个圆锥直立在水平而上，其底而积为n,侧面积为3n,突然阵风吹来，圆锥倒在水平而上，现在圆锥的最高点离水平而的高度是（A.3B.44 .点

2、P是AABC所在平面外点，P在ABC上的射即是AABC的中心，PA与底而所成角为B,侧面PBC与底而所成的二面角为a,那么tga-ctgP的值为（）.A. 2B. 3C. （1/2）D. （1/3）5 .对于直线m、n和平面a、B,q_LB的个充分条件是（）.A.m±n,ma,nBB.m±n»ariB=m,nU。C. mn,nl.B,mUqD. mn,m±a,n±36.棱锥被平行于底面的平面截成,小棱锥和个棱台，假设小极锥及棱台的体积别离为y和x,那么y关于x的函数的图象的大致形状为（）.（如图773）./K"了一节一,x4-C.D.

3、图7-437 .假设个长方体的全面积是22,体积是8,那么如此的长方体().A.有一个B.有两个C.有无数多个D.不存在8 .球与其内切等边圆柱、等边圆锥的衣而积别离为叫n、t,那么in、n.t().A.三数成递增等差数列9 .三数成递减等差数列C.三数成等比数列D.以上结论都不对10 个正四棱台上、下底面的边长分别为a、b,高为h,且侧而积等于两底而面积之和，则下列关系正确的是().A. (1/h)=(1/a)+(1/b)B. (1/h)=1/(a+b)C. (1/a)=(1/b)+(1/h)D. (1/b)=(1/a)+(1/h)10.间民房的屋顶有如图的三种不同的盖法：单向倾斜：双向倾斜

4、；四向倾斜.记三种盖法屋顶而积别离为Pi、P2、P3.图7-44假设屋顶斜面与水平面所成的角都是。，那么(A.P3=P2>P1B.P3>P2=P1C.P3>P2>P1D.P3=P2=P111.如图775,0A是圆锥底面中心0到母线的垂线，0A绕轴旋转周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部份，那么母线与轴的夹角为(A. arccos(1/ 场)B. arccos(1/2)C.arccos(1/也)12.三个12cmXl2cm的正方形都被连接两条邻边的中点的宜线分为A、B两片(如图7T6(1),把六片粘在个正六边形的外围(如图7-46(2),然后折成多面体(如图7T6(3)，则

5、此多面体的体积为(A. 216cm3B. 648cm'C. 864cm3D. 1728cm5二、填空题13 .若个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为飞的，那么那个圆锥的侧而积是14 .在长方体ACi中，已知极点A上三条棱长别离是、花、后、2,若是对角线AC与过点A的相邻三个而所成的角别离是a、0、Y，那么cosa+cos0+cosy=.15 .如图747,侧棱长为2栏的正三棱锥V-ABC中，NAVB=NBVC=NCVA=40。.过A作截面AEF与VB、VC别离交于E、F点，那么截面AEF的最小周长为16 .个大木球放在水平的地面上，球在太阳下的影子伸到距球与地面接触点的10米远处；同,

6、时刻，根高1米的垂直立于水平地面上的尺广的影夕的长度是2米，那么球的半径为.三、解答题17 .如图7-48,已知ABCD是矩形，E是以DC为直径的半圆圆周上点，且平面CDE_L平面ABCD.求证:CEL平面ADE.18 .如图7-49,已知正四棱柱ABCD-ABCDl中，点E在棱DiD上，截面EACDiB,且面EAC与底而ABCD所成的角为45。，AB=a.图7-49（1）求截面EAC的面积：（2）求异而直线ABi与AC之间的距离:（3）求三棱锥BiEAC的体积.19 .个气象探测气球以每分钟14m的垂直分速度由地面上升，通过10分钟后由观看点D测得气球在D的正东，仰角为45。：又过10分钟后

7、测得气球在D的北偏东60。，仰角为60。.假设气球作直线运动.求风向与风速.20 .如图750,已知平行六面体ABCDAiB】CDi的底面ABCD是菱形，且NCCB=NCCD=NBCD=60°.(1)(2)(3)证明：CiC_LBD；假定CD=2,CC,=(3/2),记而CBD为a,面CBD为0,求二面角a-BD-°的平面角的余弦值:当(CD/CC.)的值为多少时，能使ACJ_平面CiBD?请给出证明.专题七直线与平面参考答案及提示异而直线1.C：2.C：3,C：4.C；5.45°：6.60°；7.mcos6；8,证法1.假设AD与BC共平面a,A,BG

8、amaCampw。，故p、a、B、C、D均在a上告a,b,cUa,与a、b、c不共面矛盾,，AD与BC异面.证法2.e.eaAc=P,：.a、c确信平面a.a>b>c异面，C壬P,:.C?a,BWa且ADU公BEAD,故BC与AD异面.9 .过D作BC的平行线，过C作BD的平行线，相交于点M,则NADM为AD与BC所成的角.设BC=2,由面面垂直的性质，有DBJ_平面ABC,答案为arccos(/10).10 .存在且有两条.设AB是a、b的公垂线段，M是AB的中点.过M作a/a,b】b,a】与b1确信平面a,在a上作a.与b1的交角的平分线1(有两条)，1即符合要求.第10题证明

9、：设P是1上任点,作PQiLa-垂足为Qi,QiQJ_a,垂足为Q.PRi±b,垂足为R.RLb,垂足为R.面AMQiQ_La'PQi±a3PQi_L而AMQ】QZPQ,Q=90°.同理可证NPRiR=90°.PQi±aPQ±a,又QiQLaPQ±a,同理可证PR_Lb.r,r=BM=MA=QiQ,且PQl=PR|恒成立今RtZPRiR<RlZkPQQ-PR=PQ.2二面角D：2C；3A：4B；530。或150。：690°：7设SA=1时,AB=1.BC=SB=；又AB_LBC,故AC=上.DE垂直平

10、分SC,RtASACRtADEC,可计算出NSCA=30。，因此NEDC=60。.9(1)VBC1PA,BCXAC,.BC_L平面PAC,，平面PBC_L平而PAC.VAF1PC,，AF_L平面PBC,即EF为AE在平面PBC内的射影.又PB_LAE,：.PB_LEF(三垂线定理的逆定理)，故NAEF邛.(2)RtAPACRtAPFA(AC/AF)=(PA/PF)；RtAPEFRtAPCB(EF/BC)=(PF/PB).ctgactgp=(AC/BC)(EF/AF)=(AC/AF)(EF/BC)=(PA/PF)(PF/PB)=(PA/PB)=sinY.10(1)直角梯形ABCD的面积是M=(1

11、/2)(BC+AD)-AB=(1+0.5)/2xl=(3/4),:.四棱锥S-ABCD的体积是V=(1/3)xSAxM或m=(1/3)xlx(3/4)=(1/4).第10题图（2）延长BA、CD相交于点E,连结SE,那么SE是所求二面角的棱.*/AD/7BC,BC=2AD,EA=AB=SA,:.SE±SB.:SA_L而ABCD,得面SEBL而EBC,EB是交线，又BC_LEB,Z.BC_LffiiSEB,故SB是CS在面SEB上的射影，:.CS±SE.所以NBSC是所求二面角的平面角.SB=4sq+*京=%,bc=1,BC±SB,tgZBSC=(BC/SB)=(诋

12、/2).即所求二面角的正切值为（/2）.§3三垂线定理1B：2D；3C：4B：5ACXBD：660%(、柄/6)a.®告I.B±B C,或告-A B_L B C.今8在平面ABCD内，过点A作AE_LCD,垂足为E,连结PE,由PA_L平而ABCD及三垂线定理，知PE_LCD,故NPEA是二面角P-CD-A的平面角.在RtaDAE中，AD=3a,ZADE=arcsin('5/5),那么AE=ADsinNADE=(3%后/5)a.在RtZkPAE中,tgZPEA=(PA/AE)=(7后/3).9 (1)DA，面ABE,/.DA±BE,又AB是直径，

13、:.BE±AE,;DAOAE=A,工BE_L面DAE.又AFU面ADE,，BE±AF.又AF_LDE,DEABE=E,：AF_L面DBE.由BD仁面DBE,得AF_LBD.(2)由(V柱/Vd.abc)=(7ir2.2r)/(1/3)SaaBE-2r=3兀，得SaaBE=rS过E作EO_LAB,垂足为O,则SAA8£=(l/2)2rOE=r,*.OE=r,。为AB113点.过。作OTJ.BD,垂足为T,连ET.:面BCD,：EO_L面ABCD.由三垂线定理知ET_LBD.:.ZETO确实是二面角A-BD-E的平面角.在RtaEOT中，OE=r,OT=OB-sin4

14、5°=(、回/2)r.:.ET=(%后/2)r,，cosZETO=(OT/ET)=(/3).10 TPA，平而ABC,BC_LAB,依照三垂线定理可得BC_LPB,，NPBA是二面角P-BC-A的平面角，即ZPBA=a.PAJ_平面ABC,PAU平面PAC,，平面PAC_L平面ABC.平面PACCI平面ABC=AC,取AC的中点O,连BO,由已知条件可得BO_LAC,，BO_L平面PAC.作OHJ_PC,垂足为H,连BH,那么OH是BH在平面PAC上的射影，由三垂线定理可得PC_LBH,，NOHB是二面角APCB的平面角，即NOHB邛.令BA=BC=LPA=a,/OHCAPAQA(O

15、H/OC)=(PA/PC)./.OH=(PAOC/PC)=(Ma)/(2JJ+2).在RMAB中，tga=tgZPBA=(PA/AB)=a.在RtZkOHB中，卜，+2tgp=tgZOHB=(OB/OH)='g2.由可得tg芹(aJ+2)/a2=l+(2/a2).代入，可得tg?p=l+(2/tg2a),即1+tgp=2(1+ctga).:.secP=2csca,(1/cosp)=(2/sina),即sina=Jcosp.§4正方体、四面体l.B：3.D：、怙;6.：VxV上,(1/8).8 .(1)如图甲，连结AB那么E为AB的中点，连结BC,那么F为BU的中点.显然,E是

16、平面AiBCD内的直线.由于BiC平面AiBCD-是平面ABCDi外的点，而B为此平面内的点，故直线BC与平面A1BCD1相交，且B为交点.点F在BC上，且异于点B,二点F为平面AiBCD1外点，于是AF与平面A；BCD相交，且交点AiDiE,故AiF与DE为异而直线.A B第8题(甲)(2)如图乙，设BF的中点为G,连EG,那么EGAF,且EG=(1/2)AF,那么EG与ED1所成的锐角即为所求异面直线的夹角.连结DC在RLAiEDi中，D.E=A.Di+A.E=1+(贬/2);(3/2),AD：E=/2;在RtZGCD中，GDi2=DiCi2+GC12=12+(3痘/4)2=(17/8).

17、EG=(1/2)A,F=、后/4.第8题(乙)在EGD1中，cosNDiEG=(D.E-+EG-D.GZ)/(2-D.EEG)=-(1/6).故异面直线AF与DE所成的角为n-arccos(1/6).(3)如图丙,因为Va-efd尸Vf-a】edi,而SZkAiED1=(1/2)AiDAiE=(1/2)xlx(飞应/2)=(0/4),故关键是求出极点F到底而AiEDi的距离，即到平面AiBCDi的距离.易求点C到此平面的距离为(&/2),因此F到此平面的距离为(、怙,故Vai-efdi=Vf-aiedi=(1/3)Saaiedi-(>/2/4)=(1/3)x(&/4)x(

18、>/2/4)=(1/24).A B第8题（丙）9 .（1）如图甲，连结BD、AC、AD.ABLBCAB_L平面BCDAB±CD平面ABD经过AB平面ABC经过AB等平面ABD，平面BCD,平面ABC,平面BCD.依照三垂线定理，得CD_LAC.又CDLBC,平而ABC,，平而ABC_L平面ACD.因此有三个直二面角A-BD-C,A-BC-D,D-AC-B.第9题（甲）关于（2）,第应找出对应角，再考虑范围或余弦值.（2） ABL平而BCD,AD与平面BCD所成的角NADB=a,CD，平而ABC,AD与平而ABC所成的角NDAC=p.由最小角定理（斜线和平面所成的角，是这条斜线和

19、平面内通过斜足的直线所成的切角中最小的角）知aVNADC,因此0°<a-p<NADC十。=90°.过B作BE_LAD,垂足为E,过B作BFJ_AC,垂足为F（参见图乙），可证CDJ_BF,AC_LBF,/.BF±¥而ACD.又BE±AD,依照三垂线定理可得ADJ_EF,第9题（乙）NBEF是二面角B-AD-C的平面角.cosZBEF=(EF/BE)=(AEtgP)/AEtg(900-a)=tgatgP.对于第(3)问，得首先建立目标函数，再求最大值.（3） AD=a.AB=Asina,BD=Acosa,CD=Asinp.V=(1/3

20、)S.bcdAB=(1/3)-(1/2)BCCDAB=(1/6)-CD2.CD.AB=(a3/6).smPsina.正储卡夕V'=(a*/36)(cos2a-sin2p)sin20sin2a<(a/36)(cos2a-sin2p)十sin20-sin2a|/3)5=(a0/36)(1/27)(18'回/a").AVma/=(、回/54)a3.此时sina=smp=cosa-sin0,即2sina=cosa,/.tga=(1/2)JIPtga=(、应/2)，现在a=0=arctg(。应/2).10.（1）因截面A】ECF的四边相等，且都为（道/?）a,故截面是菱形

21、.笫10题又,:NB?AiE=NBiAiF, A>B在截面内的射影是NEA>F的平分线A.C.故NB】AC即为AB与截面所成的角.连结BiC,那么/tgNB；AC=(BC/AB)=(a/a)=,:.ZB：AiC=arctg&.(2)连结BC,那么BCEF,故Bg的中点O到截面AiECF的距离即为点B到截而AECF的距离. :面AiB；C面AECF,在而A】BC内过O作OH_LAC,垂足为H,那么OH_L平而AiECF,oH的长为所求点B到截面A.ECF的距离. :RtAOHCRLAAiC,/.(OH/AB)=(OC/A.C),即OH=(A.B.OC/A.C)=(a-(>

22、;/2/2)a/、收a)=(/6)a.(3)取AG=(1/4)AD,连结GF, (AG/AF)=(FB/BC)=(1/2),:.RtAGAFsRtAFBC. ZGFA=ZFCB.从而NGFA与NCFB互余.：.NGFC=90。,即GF_LFC.设A1Gi=(1/4)A,D.,A|Fi=(1/2)A»Bt,连结G】F交AiE于I.:A】EFC,GiF1GF,G.F.lA.E,连结FI,FJ为FI在底面A|B1C1Di上的射影.故NFIF1为所求二面角的平面角,记为e.G1,F,=(/4)a,F,I=(F.A/GFJ=(/5)a,:.tg6=技即所求二面角的大小为8=arctg.

23、7;5立体几何的综合问题:3.B；:5.(3aV)/(2S,S2)；zrcm2；°,8.由于煤质相同，那么一样体积的两种蜂窝煤有一样的热量.设大蜂窝煤的半径为R，高为H；小蜂窝煤的半径为r,高为h.则R=2r,H=(4/3)h.块大蜂窝煤的体积为ttR/H,用V,、及示：块小蜂窝煤的体积为兀r/h,用V小农示.因此V'=jtRH=兀(2r)(4/3)h=(16/3)nrh=(16/3)V小,即V,；：V小=16：3.由上述数据，我们可以作出多种设计，如图所示，就是较为简单的两种炉膛设计.第8题这两种炉膛内所放蜂窝煤的体积相同，能释放出一样的热量.但是，两种炉膛内的燃烧表面积不

24、相同，燃烧表面积大的释放热量快，火焰猛.若不考虑蜂窝煤中间的小孔，其燃烧的表面积应该是两端底面积(煤球之间重叠不计)，加上各个侧面之和，所以Sk=2hR+3乂2兀RH=2冗(2r)+3乂2兀乂2rx(4/3)h=8兀r+16兀rh,S小=24兀r+442兀rh=8兀r+32兀rh,S小S太=16hrh>0.因此，小蜂窝煤在同样的体积下，燃烧的表面积大，释放热量快，即火旺些，用煤多：而用大蜂窝煤的炉灶火小些，节省煤.9 .(略).10 .(1)TAAJJ设面ABC,.e.AIA±BC.又BC_LAC,BC，平面ACA一又BC仁平面BCB】.，平面ACA平面BCBi.(2)易知NBAC为二面角BAAi-C的平面角.设NBACW,圆柱的底面半径为R,那么Vai.abc=(1/3)Szxabc-A.A=(1/3)-(1/2)ABACsin©A.A=(1/3)(1/2)-2R2Rcosesin6A.A=(1/3)RJsin2eAiA,V1W(i=7rR'-A：A.由题设得(I/3)R'sm26AiA/nR-A,A=(I/2zr).,.sin20=(、回/2)，故6=30。或60。.(3)作AD_LAC,垂足为D：再作DELAiB,垂