运用对称性巧解积分题

1、运用对称性巧解积分题周焕发（渭南师范学院数学系 陕西渭南 714000）摘 要 本文从六个方面分析了积分中的对称性，并结合事例说明了对称性在积分解题中的妙用。关键词 对称性 奇偶性 函数 积分 互补变换数学中的许多问题，初看起来似乎很难解决，而一旦恰当地利用了某种对称性，就会易如反掌，下面介绍如何充分有效地利用对称性巧解积分题。1. 利用积分区间的对称性设 在 上可积，利用积分区间关于原点对称以及被积函数的奇偶性，简化定积分的计算，可用公式 （1）例1 计算 解 因积分区间关于原点对称，依公式（1） 2. 利用函数图像的对称性利用积分中函数图像的对称性可简捷明快地解决积分问题。例2 求有曲面所

2、围成立体的体积。解设所围立体的体积为，则 ,所围成。要画出的图像再来确定积分限是很困难的，因此可讨论的对称性。因时，也有，故关于坐标平面，对称。又因，所以只需求出立体在第卦限的体积，这时例3 求 从轴正向看去 为反时针方向。解 因关于坐标平面对称，故于是 3. 利用轮换对称性若把第一变量换成第二变量，第二变量换成第三变量，依次类推，最后一个变量换成第一个变量，这样得到的函数与原函数相同，则称该函数具有轮换对称性，在积分问题中，根据函数轮换对称的特点，可由局部的一个结论，迅速得到其它相似结论将大大缩减繁琐的计算或证明过程。黎曼积分轮换对称性是指：第一，被积函数具有轮换对称性；第二，积分区域具有轮

3、换对称性。下面我们通过例子来说明轮换对称性在简化积分运算中的作用。例4 计算第一类曲线积分，其中为椭圆与平面相交的圆周。解法一（一般方法） 先求曲线的参数方程由方程组 （1）消去得或 （2）旋转坐标轴 即方程（2）化为 设 得到所求圆周参数方程 于是所以同理可得 解法二 先求曲线的半径。因为原点到平面的距离为，所以圆周曲线的半径为，有轮换对称性，所以， 例5 计算三重积分，是由平面及三个坐标面所围之区域。解 因为积分区域关于均对称，故，于是 例6 计算第二类曲线积分，其中为球面与平面的交线，从轴正看圆周逆时针方向。解 由斯托克斯公式其中为所围成的大圆，的侧与的方向满足右手法则，有轮换对称性所以

4、例7 求， 解 将椭球变为球：这意味着分别以，代，得 由轮换对称性可得出所以 4. 抓住特点，构造对称关系有些积分问题原来并不具有对称性，在求解过程中，如果我们善于观察问题的特点，通过适当的换元，拆项等构造对称关系，就可找到问题的突破口，从而快速解答。例8 求 解 令，则原式 例9 设在上连续，且，证明证 作闭正方形域，则关于直线对称，于是所以5. 利用互补对称性设在 上可积，当时，利用互补变换，得到等式 （2）在应用公式（2）时，我们希望函数比简单易积分，特别当时，说明在区间上，横坐标关于的任意两个对称点与，相应的函数值关于也对称，这种对称性可称为互补的对称性，这时例10 求 解 令，则 而 所以 6. 利用对称性的某些推广设在任何有限区间上可积，且，利用变换，可得公式 （3）这时，由及公式（3）得 （4）若，则依（4）有此时可以说在上关于有某种对称性；若，则依（4）有，可称关于“反对称”。因可积，故变限积分函数连续，由（4）式得即 （5）例11 证明 证 因为具有无限区间和无界函数的两类广义积分，所以必须分成单一类型的广义积分。由于 由极限形式的柯西判别法知，广义积分与都收敛，从而广义积分收敛。这时，由于，故由公式（5）得以上数例用传统的解法比较繁琐或难以解答，但由于巧妙地运用某