苏教版必修5 基本不等式2 基本不等式的应用学案含答案

1、高中数学基本不等式的应用一、考点突破知识点课标要求题型说明基本不等式的应用1. 掌握基本不等式 （a0，b0）；2. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题（指只用一次基本不等式，即可解决的问题）；3. 能用基本不等式求解简单的最大（小）值问题。选择题填空题基本不等式是高中数学的重点，也是近几年高考的热点。注意应用均值不等式，求函数的最值三个条件缺一不可。二、重难点提示重点：对由基本不等式推导出的命题的理解，以及利用此命题求某些函数的最值。突破重点的关键是对基本不等式的理解。难点：理解利用基本不等式求最值时的三个条件“一正、二定、三相等”。考点：利用基本不等式求最值1. 由两个重要不等式可推

2、得下面结论：已知，则 如果是定值，那么当且仅当时，取最小值； 如果是定值，那么当且仅当时，取最小值。【要点诠释】（1）利用基本不等式求函数的最值时，强调三要素：正数；定值；等号成立的条件。特别式子中等号不成立时，则不能应用重要不等式，而改用函数的单调性求最值。（2）不能仅仅关注基本不等式的形式构造，而应注意统一的整体变换。【核心突破】利用重要不等式求函数的最值时，定值条件的构造技巧：利用均值不等式求函数的最值应满足三个条件：即“一正、二定、三相等”。“一正”，是指所求最值的各项都是正值。“二定”，是指含变量的各项的和或者积必须是常数。“三相等”，是指具备不等式中等号成立的条件，使函数取得最大或

3、最小值。在具体的题目中，“正数” 条件往往从题设条件中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧，因此“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题的关键。 常用构造定值条件的技巧变换. 加项变换；. 拆项变换；. 统一换元；. 平移后利用基本不等式。 利用基本不等式求最值的实质是：有界并能达到。2. 其他形式：（1）若aR，bR，则a2b22ab，当且仅当ab时等号成立；（2）若a0，b0，则ab，当且仅当ab时等号成立； （3）若a0，b0，则，当且仅当ab时等号成立。3. 恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数

4、式要进行适当变形，比如：（1）当x2时，x（x2）2224。（2）当0x时，x（83x） （3x）（83x）。【随堂练习】 已知正数a、b满足abab3，求ab的取值范围是_。思路分析：思路一：将b代入消元； 思路二：利用基本不等式得关于ab的不等式。答案：法一由abab3，得b，由b0，得0，a0，a1，aba（a1）5259，当且仅当a1，即a3时，取等号，此时b3，ab的取值范围是9，）。法二：由于a、b为正数，ab2，abab323，即（）2230，3，故ab9，当且仅当ab3时，取等号，ab的取值范围是9，）。技巧点拨：1. 本题中，要求ab的取值范围，在使用已知条件等式的方法上灵活

5、多样，但最终都归结为基本不等式的应用。2. 利用基本不等式，求字母参数的取值范围，关键是怎样由等式通过放缩得出不等式。例题1 （基本不等式的变形应用）求y的最大值。思路分析：由2（定值），利用基本不等式的变形：，可求。答案：由，知定义域为x1,1，又1x1x2（定值），y2，当且仅当1x1x即x0时，等号成立。ymax2。技巧点拨：1. 本例中，由于2（定值），因而不宜使用基本不等式，应该使用不等式的变式。2. 对于基本不等式及其变式，在利用这些不等式求最值时，要保证一侧为定值，并保证等号成立，要根据已知条件和所求，灵活地选取公式。例题2 （利用基本不等式求函数的最值）（1）已知x2，求yx的

6、最小值；（2）已知0x，求yx（12x）的最大值。思路分析：（1）将原式变形为yx22，再利用基本不等式；（2）将原式变形为y2x（12x），再利用基本不等式。答案：（1）x2，x20，yxx22224， 当且仅当x2 （x2），即x3时，ymin4。（2）0x，12x0，yx（12x）2x（12x）当且仅当2x12x（0x），即x时，ymax。技巧点拨：本例中，对要求最值的函数式，通过适当地变形，使式子变为和为定值或积为定值的式子，然后运用基本不等式求最值。【易错警示】多次使用基本不等式时，等号不同时成立致误忽视最值取得的条件致误例题 已知a、b均为正实数，且ab1，求y的最小值。易错分析：在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到。思路分析：（1）求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件。（2）可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围。答案：方法一：y当且仅当ab时，y取最小值，最小值为方法二：yab2，令tab，即t，又f（t）t在上是单调递减的，当t时，f（t）min，此时，ab，当ab时，y有最小值技巧点拨：（1）这类题目感到比较容易下