弹性力学li2015-01

1、任课教师：任课教师：李雪红李雪红电话：电话 Q：1595310416主要内容包括两部分：主要内容包括两部分：弹性力学弹性力学塑性力学塑性力学第一章第一章 绪绪 论论第二章第二章 平面问题的基本理论平面问题的基本理论第三章第三章 平面问题的直角坐标解答平面问题的直角坐标解答第四章第四章 平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答第六章第六章 温度应力的平面问题温度应力的平面问题第七章第七章 平面问题的差分解平面问题的差分解第八章第八章 空间问题的基本理论空间问题的基本理论第九章第九章 空间问题的解答空间问题的解答第十一章第十一章 能量原理与变分法能量原理与变分法第十三章第

2、十三章 薄板小挠度弯曲问题薄板小挠度弯曲问题弹性力学的主要章节内容弹性力学的主要章节内容塑性力学概论塑性力学概论教材与主要参考书教材与主要参考书教教 材：材：弹性力学弹性力学（上、下册，第四版）（上、下册，第四版）徐芝纶徐芝纶 编编高等教育出版社高等教育出版社参考书：参考书：弹性理论弹性理论铁木辛柯铁木辛柯 （Timoshenko）编编科学出版社科学出版社弹性力学弹性力学吴家龙吴家龙 编编同济大学出版社同济大学出版社弹性力学学习方法及解题指导弹性力学学习方法及解题指导王俊民王俊民 编编同济大学出版社同济大学出版社弹性与塑性力学弹性与塑性力学（例题与习题）（例题与习题）徐秉业徐秉业 编编机械工业

3、出版社机械工业出版社塑性力学塑性力学自行到图书馆借阅自行到图书馆借阅1-1 1-1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念1-3 1-3 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定1-0 1-0 引引 言言1-4 1-4 弹性力学的发展及应用弹性力学的发展及应用1-0 1-0 引引 言言固体力学固体力学固体力学是研究固体力学是研究可变形固体可变形固体在外界因素作用下所产在外界因素作用下所产生的生的位移位移、运动、运动、应力应力、应变应变和破坏等的力学分支。和破坏等的力学分支。 1-0 1-0 引引 言言可变形固体的分类：变形固体的分类

4、：按其按其材料的本构关系材料的本构关系可分为可分为弹性体弹性体、弹塑性体弹塑性体、粘粘弹性体弹性体。 按其按其形状的几何特征形状的几何特征，可变形固体可以分为以下三，可变形固体可以分为以下三类。类。杆件杆件，如梁和柱。，如梁和柱。板和壳板和壳，如某些屋盖。，如某些屋盖。空间体空间体(实体实体) ，如堤坝、地基等。，如堤坝、地基等。薄壁杆件薄壁杆件，它的长宽厚尺寸都不是同量级的。它的长宽厚尺寸都不是同量级的。 1-0 1-0 引引 言言固体力学的主要分支学科：固体力学的主要分支学科：材料力学材料力学、结构力学结构力学、弹性力学弹性力学、塑性力学塑性力学、稳定、稳定性理论、振动理论、断裂力学、复合

5、材料力学。性理论、振动理论、断裂力学、复合材料力学。 断裂力学：断裂力学：研究研究工程结构裂纹尖端工程结构裂纹尖端的应力场和应变的应力场和应变场，并由此分析裂纹扩展的条件和规律。场，并由此分析裂纹扩展的条件和规律。 1-0 1-0 引引 言言固体力学的主要分支学科：固体力学的主要分支学科：材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、稳定材料力学、结构力学、弹性力学、塑性力学、稳定性理论、振动理论、断裂力学、复合材料力学。性理论、振动理论、断裂力学、复合材料力学。 复合材料力学：复合材料力学：是研究是研究现代复合材料现代复合材料(主要是纤维增主要是纤维增强复合材料强复合材料)构件构件，在各种外力作用

6、和不同支持条件，在各种外力作用和不同支持条件下的下的力学性能力学性能、变形规律变形规律和和设计准则设计准则，并进而研究，并进而研究材料设计材料设计、结构设计结构设计和和优化设计优化设计等。等。 1-0 1-0 引引 言言分析方法：分析方法：实验方法、数学方法，也可以用实验和数学相结合实验方法、数学方法，也可以用实验和数学相结合的方法进行等。的方法进行等。 1-1 1-1 弹性力学的研究内容弹性力学的研究内容1. 研究内容研究内容材力材力:（内容）（内容）杆件在外力或温度作用下的应力、变杆件在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。形、位移等变化规律。 结力结力:（内容）（内容）杆件系统（

7、杆系结构）在外力或温杆件系统（杆系结构）在外力或温度作用下的应力、变形、位移等变化规律。度作用下的应力、变形、位移等变化规律。 （任务）（任务）解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。 （任务）（任务）解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。 弹力弹力:（内容）（内容）弹性体在外力或温度作用下的应力、变弹性体在外力或温度作用下的应力、变形、位移等分布规律。形、位移等分布规律。 （任务）（任务）解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题。2. 弹性力学与材力、结力课程的区别弹性力学与材力、结力课程的区别材力：材力

8、：（1）研究对象）研究对象杆件（直杆、小曲率杆）杆件（直杆、小曲率杆）结力：结力：杆件系统（或结构）杆件系统（或结构）弹力：弹力：一般弹性实体结构：一般弹性实体结构：三维弹性固体、板状结构、杆件等三维弹性固体、板状结构、杆件等（2）研究方法）研究方法材力：材力： 借助于直观和实验现象作一些假定，如借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。物理方程三方面进行分析。结力：结力：与材力类同。与材力类同。弹力：弹力：仅由静力平衡、几何方程、物理方程三仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，方面分析，放弃了材力中

9、的部分假定放弃了材力中的部分假定。如：梁的弯曲问题如：梁的弯曲问题弹性力学结果弹性力学结果材料力学结果材料力学结果当当 l h 时，两者误差很小时，两者误差很小（3）数学理论基础）数学理论基础材力、结力材力、结力 常微分方程（常微分方程（4阶，一个变量）。阶，一个变量）。弹力弹力 偏微分方程（高阶，二、三个变量）。偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法数值解法：能量法（变分法）、差分：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。法、有限单元法等。3. 与其他力学课程的关系与其他力学课程的关系 弹性力学是塑性力学、断裂力学、有限单元法弹性力学是塑性力学、断裂力学、有限单元法等课程的基础。等课程的

10、基础。弹性力学弹性力学数学弹性力学；数学弹性力学；应用弹性力学。应用弹性力学。弹性力学是弹性力学是固体力学固体力学的一个分支，研究的一个分支，研究弹性体弹性体由于由于外力作用或温度改变外力作用或温度改变等原因而发生的等原因而发生的应力、形变应力、形变和位移和位移。本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过本课程较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一程，建立了弹性力学的基本方程和边值条件，并对一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一些问题进行了求解。弹性力学基本方程的建立为进一步的数值方法奠定了基础。步的数值方法奠定了基础。弹性力学弹性力学是学

11、习塑性力学、断裂力学、有限元方法等课程的基础。小结：小结：1-2 1-2 弹性力学中的几个基本概念弹性力学中的几个基本概念基本概念：基本概念：外力、应力、形变（应变）、位移。外力、应力、形变（应变）、位移。1. 外力外力体力、面力体力、面力(1) 体力体力VQ 弹性体内弹性体内单位体积单位体积上所受的外力上所受的外力VfVQlim0 体力分布集度体力分布集度（矢量）（矢量）xyzOijkxfyfzfkfjfiffzyxfx、 fy 、 fz为体力矢量在坐标轴上的投影为体力矢量在坐标轴上的投影单位：单位：N/m3kN/m3说明：说明：(1) f 是坐标的连续分布函数；是坐标的连续分布函数；(2)

12、 f 的加载方式是任意的的加载方式是任意的 (如：重力，磁场力、惯性力等如：重力，磁场力、惯性力等)(3) fx、 fy 、 fz的正负号由坐标方向确定，的正负号由坐标方向确定，沿坐标轴的正向为沿坐标轴的正向为正，负向为负正，负向为负。量纲：量纲：L-2MT-2补充：补充：量纲量纲（physical dimension）是指物理量的属性是指物理量的属性。量纲：量纲：按照物理量的按照物理量的属性属性可分为可分为两类两类：一类物理量的大小与度量时所选用的单位有关，称一类物理量的大小与度量时所选用的单位有关，称为为有量纲量有量纲量，如常见的有长度、时间、质量、速度、，如常见的有长度、时间、质量、速度

13、、加速度、力、动能、功等；加速度、力、动能、功等；另一类物理量的大小与度量时所选用的单位无关，另一类物理量的大小与度量时所选用的单位无关，则称为则称为无量纲量无量纲量，如角度、两个长度之比等。，如角度、两个长度之比等。补充：补充：物理量物理量可分为可分为基本量基本量和和导出量导出量，一切导出量均可，一切导出量均可从基本量中导出，由此建立了从基本量中导出，由此建立了整个物理量之间函整个物理量之间函数关系数关系，这种关系通常称为，这种关系通常称为量制量制。量制：量制：补充：补充：由由7个个基本量构成的量制，分别为：基本量构成的量制，分别为：长度长度L、质量质量M、时间时间T、电流电流I、温度温度、

14、物质的量物质的量N和和光强度光强度J表示。表示。国际单位制：国际单位制：dimA=LMTINJ在量制中，以基本量的幂的乘积表示该量制中一在量制中，以基本量的幂的乘积表示该量制中一个量的表达式，这个表达式就是个量的表达式，这个表达式就是该量的量纲该量的量纲。补充：补充：量纲量纲是物理学中的一个重要概念。是物理学中的一个重要概念。可以定性地表示出可以定性地表示出导出量与基本量之间的关系导出量与基本量之间的关系；可以有效地进行可以有效地进行单位换算单位换算；可以检查物理可以检查物理公式公式的的是否正确是否正确；可以推知某些可以推知某些物理规律物理规律。补充：补充：量纲量纲是表征物理量的性质（类别），

15、如时间、长是表征物理量的性质（类别），如时间、长度、质量等；度、质量等；单位单位是表征物理量大小或数量的标准，如是表征物理量大小或数量的标准，如s、m、Kg等。等。量纲与单位：量纲与单位：补充：补充：量纲分析量纲分析（dimensional analysis）：也称为：也称为因次分因次分析析，是对物理现象或问题所涉及的物理量的属性，是对物理现象或问题所涉及的物理量的属性进行分析，从而建立因果关系的方法。进行分析，从而建立因果关系的方法。量纲分析：量纲分析：量纲分析是自然科学中一种重要的量纲分析是自然科学中一种重要的研究方法研究方法，它根，它根据一切量所必须具有的形式来分析判断事物间数量据一切量

16、所必须具有的形式来分析判断事物间数量关系关系所遵循的一般规律所遵循的一般规律。通过量纲分析可以。通过量纲分析可以检查检查反反映物理现象规律的方程在计量方面映物理现象规律的方程在计量方面是否正确是否正确，甚至，甚至可提供可提供寻找寻找物理现象某些规律的物理现象某些规律的线索线索。(2) 面力面力 作用于物体表面作用于物体表面单位面积单位面积上的外力上的外力SFSFfSlim0 面力分布集度（矢量）面力分布集度（矢量）xyzOijkxfyfzfkfjfiffzyxxfyfzf 面力矢量在坐标轴上投影面力矢量在坐标轴上投影单位：单位： 1N/m2 =1Pa (帕)1MN/m2 = 106Pa = 1

17、MPa (兆帕)说明：说明：(1) 是坐标的连续分布函数；是坐标的连续分布函数；(2) 的加载方式是任意的的加载方式是任意的;(3) 的正负号由坐标方向确定，的正负号由坐标方向确定，沿坐标轴的正向为正，负向为负。沿坐标轴的正向为正，负向为负。xfyfzf1kN/m2 =1kPa (帕)量纲：量纲：L-1MT-2ff2. 应力应力(1) 一点应力的概念一点应力的概念AF F内力内力 由于外力作用或温度改变引起的相互由于外力作用或温度改变引起的相互作用力作用力.PAFpAlim0(1) P点的内力分布集度点的内力分布集度(2) 应力矢量应力矢量.-P点的应力点的应力的极限方向的极限方向F由外力引起

18、的在由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度点的某一面上内力分布集度应力分量应力分量n(法线法线)应力的法向分量应力的法向分量 正应力正应力应力的切向分量应力的切向分量 剪应力剪应力单位单位:与面力相同与面力相同MPa (兆帕)应力关于坐标连续分布的应力关于坐标连续分布的),(zyx),(zyx量纲：量纲：L-1MT-2(2) 一点的应力状态一点的应力状态通过一点通过一点P 的各个面上应力状况的集合的各个面上应力状况的集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态x面的应力：面的应力：xzxyx,y面的应力：面的应力：yzyxy,z面的应力：面的应力：zyzxz,用矩阵表示：用矩阵表示：zzyz

19、xyzyyxxzxyx 其中，只有其中，只有6个量独立。个量独立。xyyxxyzyyz剪应力互等定理剪应力互等定理应力符号的意义：应力符号的意义：xzzx第第1个下标个下标 x 表示表示所在面的法线方向；所在面的法线方向；第第2个下标个下标 y 表示表示的方向的方向.应力应力正负号正负号的规定：的规定：xyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx正面正向为正，负面负向为正；正面正向为正，负面负向为正；正面负向为负，负面正向为负。正面负向为负，负面正向为负。与材力中剪应力与材力中剪应力正负号正负号规定的区别：规定的区别：xyxyxyxyxyyxxy规定使得单元体顺时的剪应力规定使得

20、单元体顺时的剪应力为为正，反之为负。正，反之为负。yxxyxyzOxyxxzyxyyzzzyzxyxyyzzzyzx3. 形变形变形变形变 物体的形状改变物体的形状改变xyzO（1）线段长度的改变）线段长度的改变（2）两线段间夹角的改变。）两线段间夹角的改变。PBCAzxy用线（正）应变用线（正）应变度量度量用剪应变用剪应变度量度量（剪应变（剪应变两垂直线段夹角两垂直线段夹角（直角）（直角）的改变量）的改变量）三个方向的线应变：三个方向的线应变：三个平面内的剪应变：三个平面内的剪应变：zyx,zxyzxy,(1) 一点形变的度量一点形变的度量应变的正负：应变的正负：线应变：线应变： 伸长时为正

21、，缩短时为负；伸长时为正，缩短时为负；剪应变：剪应变： 以直角变小时为正，变大时为负；以直角变小时为正，变大时为负；(2) 一点应变状态一点应变状态 代表一点代表一点 P 的的邻域内邻域内线段与线段间夹角的改变线段与线段间夹角的改变xyzOPBCAzxyzzyzxyzyyxxzxyx其中其中xzzxyxxyzyyz应变的量纲为应变的量纲为1或为无量纲物理量；或为无量纲物理量； 注：注：应变分量均为位置坐标的函数，即应变分量均为位置坐标的函数，即);,(zyxxx),(zyxxyxy4. 位移位移一点的位移一点的位移 矢量矢量SxyzOSwuvPP位移分量：位移分量：u x方向的位移方向的位移

22、分量；分量；v y方向的位移方向的位移 分量；分量；w z方向的位移方向的位移 分量。分量。量纲：量纲：L单位：单位：m 或 mm位移的正负：位移的正负：的正负号由坐标方向确定，沿坐标轴的正向的正负号由坐标方向确定，沿坐标轴的正向为正，负向为负。为正，负向为负。uvw弹性力学问题：弹性力学问题：已知已知外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（外力、物体的形状和大小（边界）、材料特性（E、）、约束条件）、约束条件等，求解等，求解应力、应变、位移应力、应变、位移分量分量。需建立三个方面的关系：需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：）静力学关系：应力应力与与体力、面力体力、面力间的关系；间的关系

23、；（2）几何学关系：）几何学关系：形变形变与与位移位移间的关系；间的关系；（3）物理学关系：）物理学关系：形变形变与与应力应力间的关系。间的关系。1-3 1-3 弹性力学中的基本假定弹性力学中的基本假定1. 连续性假定连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任何空隙。作用：作用： 使得使得、u 等量表示成坐标的连续函数。等量表示成坐标的连续函数。),(zyx),(zyxuu ),(zyx保证保证AFpAlim0中极限的存在。中极限的存在。假定的依据：假定的依据：只要组成物体的微粒的尺寸以及相邻微粒只要组成物体的微粒的尺寸以及相

24、邻微粒之间的距离比物体的尺寸小得多。之间的距离比物体的尺寸小得多。 该假定在研究物体的该假定在研究物体的宏观力学特性宏观力学特性时，与工程实际吻时，与工程实际吻合较好；研究物体的合较好；研究物体的微观力学性质微观力学性质时不适用。时不适用。2. 完全弹性假定完全弹性假定 假定物体是完全弹性的、并且是线性的，完全服从虎克假定物体是完全弹性的、并且是线性的，完全服从虎克（Hooke）定律，）定律，应力与应变间成线性比例关系应力与应变间成线性比例关系（正负号变化（正负号变化也相同）。也相同）。比例常数比例常数 弹性常数（弹性常数（E、）不随应力分量或应变的大小和）不随应力分量或应变的大小和符号而变。

25、符号而变。脆性材料脆性材料 应力未超过比例极限以前，可近似为线弹性的；应力未超过比例极限以前，可近似为线弹性的；塑性材料塑性材料 应力未达到屈服极限以前，可视为线弹性的。应力未达到屈服极限以前，可视为线弹性的。作用：作用： 可使求解方程线性化可使求解方程线性化假定的依据：假定的依据：3. 均匀性假定均匀性假定 假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性假定整个物体是由同一种材料组成的，各部分材料性质相同。质相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。取微元体分析的结果可应用于整个物体。假定的依据：假定的依据：组成物

26、体的材料的颗粒远远小于物体的几组成物体的材料的颗粒远远小于物体的几何尺寸，并且在物体内部均匀分布。何尺寸，并且在物体内部均匀分布。4. 各向同性假定各向同性假定 假定物体内一点的假定物体内一点的弹性性质弹性性质在所有在所有各个方向都相同各个方向都相同。作用：作用：弹性常数（弹性常数（E、）不随坐标方向而变化；即在不随坐标方向而变化；即在各个方向上存在相同的应力应变关系。各个方向上存在相同的应力应变关系。金属金属 上述假定符合较好；上述假定符合较好；木材、岩石木材、岩石 上述假定不符合，称为上述假定不符合，称为各向异性材料各向异性材料；符合上述符合上述4个假定个假定的物体，称为的物体，称为理想弹

27、性体理想弹性体。假定的依据：假定的依据：组成物体的晶粒的尺寸很小而数目极大，组成物体的晶粒的尺寸很小而数目极大，且排列杂乱无章，构成的整体具有宏观的各向同性的性且排列杂乱无章，构成的整体具有宏观的各向同性的性质。质。5. 小变形假定小变形假定 假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位移远远小于物体的原来的尺寸。位移远远小于物体的原来的尺寸。1, 1作用：作用：建立方程时，可略去高阶微量；建立方程时，可略去高阶微量；可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。使求解的方程使求解的方程线性化线性化。假定的依据：假定的依据

28、：一般情况下弹性体的形变和位移都很小。一般情况下弹性体的形变和位移都很小。 本课程主要研究：理想弹性体的线性问题、本课程主要研究：理想弹性体的线性问题、 小变形问题小变形问题数学弹性力学数学弹性力学应用弹性力学应用弹性力学附：附： 工程问题的建模分析过程工程问题的建模分析过程工程问题工程问题力学模型力学模型数学模型数学模型方程求解方程求解抽象建立定解方程精确解、近似解精确解、近似解精确解法：分离变量法、复变函数法精确解法：分离变量法、复变函数法近似解法：变分法、有限差分法、有限单元法近似解法：变分法、有限差分法、有限单元法实验验证实验验证 工程力学问题建立工程力学问题建立力学模型力学模型的过程

29、中，一般从三的过程中，一般从三方面进行简化：方面进行简化：结构简化结构简化 如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化受力简化 如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。 在建立在建立数学模型数学模型的过程中，通常要注意分清问的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化：题的性质进行简化：线性化线性化 对高阶小量进行处理，能进行线性化的

30、，进对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。行线性化。 模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，返回实际问题进行验证，一般通过返回实际问题进行验证，一般通过实验验证：实验验证：直接实验验证直接实验验证 直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分困难。困难。相似模型实验相似模型实验 相似实验的模型一般应与实际问题的边界条相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件和形态是几何相似的。件和形态是几何相似的。1-4 1-4 弹性力学的发展及应用弹性力学的发展及应用弹性力学的发展弹性力学的发展1678年：年： 虎克虎克(R. Hooke)提出虎克定律提出虎克定律。该时期主要。该时期主要是通过实验方法探索物体的是通过实验方法探索物体的受力与变形受力与变形之间之间的关系。的关系。1687年：年： 牛顿三大定律，奠定了弹性理论的基础牛顿三大定律，奠定了弹性理论的基础。该。该时期主要是时期主要是解决简单构件的问题解决简单构件的问题，例如，例如L.伯伯努力和努力和L.欧拉所建立的梁的弯曲理论欧拉所建立的梁的弯曲理论。19世纪世纪20-50年代：年代：真正形成了弹性力学真正形成了弹性力学基本理论的完整