相关性的判定及有关重要结论

1、相关性的判定及有关重要结论相关性的判定及有关重要结论1.线性相关与线性组合的关系定理线性相关与线性组合的关系定理121(2)1mmm定理 ：向量组， ，线性相关的充要条件 是其中至少有一个向量可由其余向量线性表示。线性表示且表示式惟一，可由线性相关，则，线性无关，而向量组，：设向量组定理mmm21212122.相关性的判定定理相关性的判定定理定理定理3：在一个向量组中，若有一个部分向量组线性相关， 则整个向量组也必定线性相关。推论推论：一个线性无关的向量组的任何非空的部分向量组都 线性无关。.)(), 2 , 1(), 2 , 1(),(42122221112112121mAraaaaaaaa

2、aAmimiaaanmmnmmnnmiiniii的秩构成的矩阵相关的充要条件是由线性维向量个：定理的相关性。：讨论例) 1, 1 , 4(),1 , 3, 2(),1, 2 , 1 (1321解：114132121321A37037012100037012132)(Ar线性相关。321,）线性相关？，（），（），（），（为何值时，向量组：例113152232323122111124321解：11315223232312211114321A20220100101011021111A2022010010101102111140000001001011021111, 43)(4Ar时，线性相关。43

3、21,证明定理证明定理4.: ,21线性相关mmmm向量线性表示为个可由其余妨设知，必有某个向量（不由定理1)11111mmkk写成分量形式为jmmjjmjakakaka, 112211对A作初等变换mnmmnmmmnmmaaaaaaaaaA21, 12 , 11 , 11121111000, 12 , 11 , 111211nmmmnaaaaaamAr)(: , 0,)(rmrAr不妨设0rDrA阶子式的最左上角的且考虑A的r+1阶子式jrrrrjrrrrjrraaaaaaaaaD, 1, 11 , 1,1, 111110)(1rDrAr按最后一列展开，有：将jD0, 12211rjrrrj

4、jjDaAaAaAanj, 2 , 1按向量形式写，上式为：rrrrDAAA122110, 0rD,121线性相关r线性相关。从而m,21推论推论1：当mn时，m个n维向量线性相关。推论推论2：任意 m 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构成的矩阵A= 的秩r(A)=m。nmA推论推论3：任意 n 个 n 维向量线性无关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式不等于零。或r(A)=n.推论推论4：任意 n 个 n 维向量线性相关的充要条件是由它们 构 成的方阵 A的行列式等于零。或r(A)s,则向量组线性相关。r,21线推论推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。任

5、意两个线性无关的等价向量组所含向量的个数相等。定理定理2：一个向量组的一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的个数相任意两个极大无关组所含向量的个数相 等。等。向量组的秩向量组的秩m,21定义定义：向量组的极大无关组所含向量的个数，称为向量组的秩向量组的秩，记为).,(21mr注：注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。（2）向量组线性无关秩=向量个数。可由若m,21线性表示，则s,21),(21mr),(21sr定理定理3：推论推论：等价的向量组有相同的秩。：等价的向量组有相同的秩。必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。= n例1：设向量组n

6、neee,2121可由向量组线性表示,).,(21nr求例2：设有两个n维向量组与s,21,21s若s21sssssssaaaaaaaaa21212222111211ssssssaaaaaaaaaK212222111211线性无关。，则若证明ssKr,)(:21与s,21等价。s,21你能举一个你能举一个反例吗？反例吗？线性无关且s,21向量组的秩的求法向量组的秩的求法定理定理4：向量组的秩与该向量组所构成的矩阵的秩相等。行秩：行秩：矩阵行向量组的秩；列秩：列秩：矩阵列向量组的秩。推论：推论：矩阵的行秩与列秩相等。这实际上给出了一个求向量组秩的方法：先将向量组构成一个矩阵，然后求矩阵的秩，这个

7、秩就是向量组的秩。例1：求向量组的秩。)0 , 2 , 2, 1 (),14, 7 , 0 , 3(),2 , 1 , 3 , 0(),4 , 2 , 1, 1 (4321解：022114703213042114321A401021302130421140102130213042112130213040104211000010100401042113)(),(4321Arr),(4321A014242712203113014220011013301301422013300110130140001000011013010000100001101301极大无关组的求法极大无关组的求法列摆行变换法。

8、列摆行变换法。例2：求向量组的秩及极大无关组。)0 , 2 , 2, 1 (),14, 7 , 0 , 3(),2 , 1 , 3 , 0(),4 , 2 , 1, 1 (4321),(4321A01424271220311301422001101330130112rr4220133001101301400010000110130100001000011013013)(),(4321Arr是一个极大无关组。421,（记录法与逐个考察法就不介绍了。）列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在列摆行变换将矩阵化为梯形阵后，秩即求出来了。这时，只要在同一高度上取一个向量，即可得到极大无

9、关组。同一高度上取一个向量，即可得到极大无关组。如上例，如上例，也是一个极大无关组。431,）线性相关？并，（），（），（），（为何值时，向量组：例113152232323122111134321求秩及一个极大无关组。, 43)(4Ar时，线性相关。4321,是一个极大无关组。321,)0 , 1 , 1 (),0 , 1 , 1 (),0 , 0 , 1 (321011011001321A01201100113rr010011001232rr是一个极大无关组。32,矛盾矛盾反例：反例：但，行摆行变换不行！但，行摆行变换不行！我们已经看到：用矩阵可以解决向量组的问题，实际上，用向量组也可以解决矩阵的问题。一个最典型的例子是：)(),(min)(BrArBArnssm这是一个非常这是一个非常重要的关于秩重要的关于秩的不等式！的不等式！设有n两个维向量组与s,21,21s若s21