最新数学必修5知识点(很完整)

1、精品文档第一章解三角形1、三角形三角关系：A+B+C=180 ; C=180° -(A+B);2、三角形三边关系：a+b>c; a-b<c3、三角形中的基本关系：sin( A + B) =sin C, cos(A +B) = cosC, tan(A+B) = tanC,AB C A B . C A B C sin= cos ,cos= sin , tan= cot -2222224、正弦定理：在MBC中，ab、c分别为角AC的对边,R为AABC的外接圆的半径，则有asinb csin 三 sinC=2R 精品文档5、正弦定理的变形公式:化角为边：a=2RsinA, b=2

2、RsinB, c = 2RsinC；化边为角：sin =_ bcsin B =,sinC =；2R2R2R a:b:c=sinA:sin B :sin C ;a b csin sin 巳 sin Ca _ bsinsin 巳csinC6、两类正弦定理解三角形的问题:已知两角和任意一边，求其他的两边及一角已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）7、余弦定理：在 A ABC 中，有 a2 =b2 +c2 -2bccosA ,b2 = a2 +c2 -2accosB , c2 = a2 + b2 -2abcosC .22222.2

3、2.228、余弦定理的推论 ：cos A =- , cosB = , cosC =.2bc2ac2ab（余弦定理主要解决的问题：1.已知两边和夹角，求其余的量。2.已知三边求角）9、余弦定理主要解决的问题 ：已知两边和夹角，求其余的量。已知三边求角）10、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式设a、b、c是 ABC的角A、B、C的对边，则：若 a2 +b2 =c2,则 C =90, ；若 a2 +b2 >c2,则 C <90' ；若 a2 +b2 <c2,则 C > 90 .注：正余弦定理的综合应用：如图所

4、示：隔河看两目标A、B,但不能到达，在岸边选取相距 J3千米的C、D两点，并测得/ ACB=75O, / BCD=45, / ADC=30,/ADB=45（A、B、C、D在同一平面内）,求两目标 A、B之间的距离。解：(1)(2)(3)_a2 sin.ff sinCS二2sin( 3 + C)b2 sinCsin J2sin(C + A)c2 sin A sin B2sin(4 + B)(4)S=2RzsinAsinBsinCa (月为外接圆半径)(5)5=也4R精品文档11、三角形面积公式:S = -aho =-bhb=-chc "八h八 儿分别表示唳b、匕上的高);222S= -

5、absnC= - bcsinA= - 0匚sin8：222(6)S= >1 p(p a) (p b) p c)； 12、三角形的四心：垂心一一三角形的三边上的高相交于一点重心一一三角形三条中线的相交于一点（重心到顶点距离与到对边距离之比为2:1 ）外心一一三角形三边垂直平分线相交于一点（外心到三顶点距离相等）内心一一三角形三内角的平分线相交于一点（内心到三边距离相等）附加：特殊用的三角函数址角度口0*30*第“601120 °135 51500180 g270°360 "a的邺度a第6了4ip3i2jt ?3 .75, 6了2sin aQl叵7l立2v 一1

6、20- 10COS 口i亘在 y12012立正 -I01tan ff0呈1V7-V74 百300第二章数列1、数列：按照一定顺序排列着的一列数.2、数列的项：数列中的每一个数.3、有穷数列：项数有限的数列.4、无穷数列：项数无限的数列.5、递增数列：从第 2项起，每一项都不小于它的前一项的数列（即：an+i>an）6、递减数列：从第 2项起，每一项都不大于它的前一项的数列（即：an+i<an）7、常数列：各项相等的数列（即：an+i=an） .8、摆动数列：从第 2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列.9、数列的通项公式：表示数列an的第n项与序号n之间的关系的公

7、式.10、数列的递推公式：表示任一项斗与它的前一项an,（或前几项）间的关系的公式.11、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数 称为等差数列的公差.符号表示 ：an书-an = d。注：看数列是不是等差数列有以下三种方法：an an=d（n “,d为常数）2 an =an书+an/（n 22） an =kn+b （ n,k 为常数12、由三个数a, A, b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，则A称为a与b的等差中项.则称b为a与c的等差中项.13、若等差数列an的首项是a1,公差是d ,则an =a +（n 1 ）d .14、通

8、项公式的变形： a =a/（n-m）d ； q = a -（n-1H ； d = an-a ； n = &+1 ； d = a-amffn-1dn- m15、若an是等差数列，且 m + n = p + q（m、n、p、qWN）,则sm+纵 = a）*aq；若 an是等差数列，且 2n = p +q （ n、p、q w N*）,则 2al = ap + 4.n ai ann n-116.等差数列的前n项和的公式：Sn =2；Sn = na+2d -sn=aia2lllan17、等差数列的前n项和的性质：Swan若项数为2n（nWN ）,则 邑=1® 不十），且%-%=nd,-

9、= .Sf 禺an 1精品文档.一、 * _右项数为2n1（nw N ）,则S2n=（2n1 月n，且 Sf 一年 = aSrn（其中S奇=nan ,S偶=n -1 问）.18、如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，则这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比.符号表示：an±=q （注：等比数列中不会出现值为0的项；同号位上的值同号）an注：看数列是不是等比数列有以下四种方法:an =anq（n之2,q为常数，且.0）为 a n an + a n _1 （ n 2 2 , a n an +a n _1 #0）D an =cqn （ c,q为非零常数）

10、.正数列an成等比的充要条件是数列 logx an （xAl）成等比数列.19、在a与b中间插入一个数 G ,使a , G , b成等比数列，则G称为a与b的等比中项.若G2 = ab,则称G为a与b的等比中项.（注：由 G2=ab不能彳#出a , G, b成等比，由a, G, b= G2 = ab）20、若等比数列an的首项是a1,公比是q ,则an=a1qn，21、n-m通项公式的变形： an = amq；-n -1 a1 = anqan;a1n -manqa m22、若an是等比数列，且m +n = p + q*p、q 匚 N）,则 am a = ap aq ；右an是等比数列,精品文档

11、r c2且 2n = p +q （ n、 p、q w N）,则 an = a23、等比数列an）的前n项和的公式：na q =1a 1 Ya1 -anqI. i-qi -q. s1=a1+a2+lll + anq=1s1 = a1（n = 1）=<_sn Sn/（n*2）24、对任意的数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：an注:an q1 +（n -1 d =nd +（%Y ） （ d可为零也可不为零一为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）,若d不为0,则是等差数列充分条件）等差an前n项和Sn=An2%n = 1 d n2-ai-d n 一9可以为零也可不为零一为等差的充要条

12、件一若d为2 2 2零，则是等差数列的充分条件；若d不为零，则是等差数列的充分条件.非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列.（不是非零，即不可能有等比数列） 附：几种常见的数列的思想方法:1 .等差数列的前n项和为Sn ,在dY0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法: 一是求使an之0,anL0'成立的n值；二是由Sn =# +-3利用二次函数的性质求n的值.2 .数列通项公式、求和公式与函数对应关系如下：数列通项公式对应函数等差数列m口 =+ (题 l)d = d司 +-d)尸-赤+8 （d=。时为一次函数）等比数列n-1 夫?厘理=京10= 1 q（指数型函数

13、）数列前n项和公式对应函数数列前n项和公式对应函数等差数列% =曲 +2" = 2 甩 + 叫 一 2”1y=时为二次函数）等比数列1-(71 -(71y二曰反与+B （指数型函数）我们用函数的观点揭开了数列神秘的“面纱”，将数列的通项公式以及前n项和看成是关于n的函数，为我们解决数列有关问题提供了非常有益的启示。求此数列前n项和可依照等比数列前n项和3 .如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,的推倒导方法：错位相减求和111.例如：1 一 ,3一,.(2n1)一，242n公差是4 .两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一

14、个相同项, 两个数列公差d1, d2的最小公倍数a 一5 .判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：（1）定义法：对于n>2的任意自然数，验证an - an（-an-）an为同一常数。（2）通项公式法。（3）中项公式法：验证2an卡=an + anq （a2+=anan七）n e N都成立。Zm之06 .在等差数列 an 中，有关S的最值问题：（1）当a1 >0,d<0时，满足的项数m使得Sm取最大值.（2）©m 由 E 0,am <0，当ai<0,d>0时，满足J m 的项数m使得sm取最小值。在解含绝对值的数列最值问题时，注意转化思想的应

15、1am中至0用。附：数列求和的常用方法1 .公式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 r、_ 、_一 c ，一一 2 .裂项相消法：适用于，>其中 an是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列jan卡,1例题：已知数列an的通项为an=，求这个数列的刖 n项和Sn.n(n 1)111解：观察后发现：an= Sn = da2一 1、,.an.1 1n n 1（1 一2） （2 一3）（n 一常）:1，n 13 .错位相减法：适用于anbn 其中 an 是等差数列，bn 是各项不为0的等比数列。例题：已知数列an的通项公式为an=n 2n,求这个数列的

16、前 n项之和sn。解：由题设得：Sn =a1 . a2a3 . an123n=1 2 2 23 2 n 2即 sn=1 21 +2 22 +3 23 十十 n 2n把式两边同乘2后得2sn = 1 22 +2 23 +3 24 +' "+n 2n+ 用-，即：sn=1 21 +2 22 +3 23 +,+口 2n / / / ff率 T善善*安*JJ?2sn = 1 22 +2 23 +3 24 +'''+n 2n+ 得-Sn =1 2+22 +23 + +2n -n 2n +2(1 2n)1 -2n 1n 1=2-2-n 2二(1 -n)2n 1 -

17、2 & =(n-1)2n1 24 .倒序相加法：类似于等差数列前n项和公式的推导方法.5 .常用结论1) : 1+2+3+.+n =n(n 1)2)1+3+5+.+(2n-1) = n23) 13十23十十n4) 1222 32n2 =1n(n 1)(2n 1)65111n(n 1) n n 111 1="(-n(n 2)2 nc、 11/11、/、6)=(-) (p < q)pq q - p p q项目、等差数列an等比数列an定义an 掰an = dan书' 二q an通项公式an =4 + (n -1 )dnan = aqan =am +(n - m)dn

18、-man = amq前n项和n(a1 +an )jST )Sn =c= na1 +cd22Sn ='nai(q=1)T：)_M 学 qi等差（比）中项2an 十a, * an 史2an十二an ar附加：重点归纳等差数列和等比数列（表中m, n, p, q w N十）公差（比）d = an -am（m。n）n - mqn“am性质m+n=p+q= am+an=ap+aqm + n = p + q= am，an = ap，aqm+n=2p= am+an =2apm+n = 2p= am an =ap2Sm,S2mSm,S3mS2mH 成等差数列，公差为m2d （ Sn是前n项和）TmTm

19、TmJH成等比数列，公Tm T2mm2比为q（Tn是前n项积）am,am#,am.III仍然皮段数列，其公差为kdam,am«am却,111仍然让比数列，其公比为qkkan +b是等差数列bak是等比数列（b#0）单调性d>0,L ;d <0,L ;d =0,常数列ai >0 时，q >lL , 0 < q < 1,L ;ai c0 时，q >lL , 0 cqM 1,l_ ;q=1为常数列；q < 0为摆动数列2.等差数列的判定方法：（a,b,d为常数）.定义法：若 an书an=d.等差中项法：若 2an=an+an_21=a为等差数

20、列r.通项公式法：若 an =an+b.前n项和法：Sn =an2 +bnJ3.等比数列的判定方法：（k, q为非零常数）an - _.定义法：若 =q、an.等比中项法：若an-=anand2> = %为等比数列.通项公式法：若an =kqn.前n项和法：Sn=kkqn第三章不等式-、不等式的主要性质：(1)对称性： a >b- b <a(2)传递性：a > b, b >c=i a >c(3)加法法则：aAb=a+c：>b+c；(4)同向不等式加法法则：a >b,c>da+cb+d5 5) 乘法法则： a ：>b,c >0=

21、ac > bc; a > b,c < 0= ac < bc(6)同向不等式乘法法则：a>b>0,c>d>0=> aobd(7)乘方法则：a >b>0=> an >bn(nw N *且门 >1)(8)开方法则：a Ab >03 "a > n/b(n w N * 且n >1)11(9)倒数法则：a Ab,ab>0= <a b元二次不等式 ax2 + bx + c >0和ax2 + bx + c < 0(a # 0)及其解法A>0& =0 <0二

22、次函数y =ax2 +bx +cy =ax2 + bx + c= a(x m)(x x2)VLLy =ax2 + bx +c =a(x -x1 )(x - x2)2y = ax + bx + c1(a >0)的图象tr1LD X1=KZX-Tt二次方程2_i_ 1_i_八ax + bx + c = 0(a >0 )的根后两相异实根x1 ,x2(x1 <x2)后两相等实根bx1 x2 一2a无实根ax2 + bx + c > 0 (a >0)的解集4|x < x1 或x >x2 R_ 2 ,一 八ax +bx+c<0(a > 0)的解集x|x

23、1 < x <x2 006 . 一元二次不等式先化标准形式（a化正）7 .常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式。口诀：在二次项系数为正的前提下：“大于取两边，小于取中间”三、均值不等式Tab称为正数a、b的几何平均数.a,b是正数，那么1、设a、b是两个正数，则 a上称为正数a、b的算术平均数，22、基本不等式（也称均值不等式）： 若a >0均值不等式：如果 a+b至2 JOb即ab 2 JOB（当且仅当a=b时取"="号）. 注意：使用均值不等式的条件：一正、二定、三相等3、平均不等式：（a、b为正数），即、a ' b ab22,之一一（

24、当a = b时取等）11a ba2 b24、常用的基本不等式： a2 +b2之2ab a,bw R ；ab <(a,bw R )；2否,Ja+b ；/ 小 a2+b2、fa + bF/，一 ab M （a >0,b >0 ）;之 （a, b= R）.2225、极值定理：设 x、y都为正数，则有：2若x+y = s （和为定值），则当 x = y时，积xy取得最大值 且.若xy = p （积为定值），则当 x=y时,4和x + y取得最小值2 Jp .四、含有绝对值的不等式1 .绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x -x2 |是指数轴上x1,x2两点间的距离

25、； 代数意aa 0义：|a |=« 0a =0-a a <02、如果a a 0,则不等式:| x |> a <=> x >a 4?；x < -a；|x|至 a <=> x > a 4?；x < -a|x|<a <=> 一a<x<a ；| x |<a <=> -a < x <a4、解含有绝对值不等式的主要方法：解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号五、其他常见不等式形式总结：g(x)f(x)g(x) -0 g(x) :0分式不等式的解法：先移项通分标准化，则f(

26、x)-H>0 f(x)g(x)>0； g(x)指数不等式：转化为代数不等式a f(x) >ag(x)(a >1) f(x)g(x)； af(x) >ag(x)(0<a <1) f (x) < g(x)对数不等式：转化为代数不等式f(x) 0f(x) 0lOga f (x) >lOga g(x)(a>1)U <g(x)>0loga f ( x) A loga g( x)(0 < a < 1) U g(x)>0f (x)> g(x)f (x)<g(x)_ _高次不等式：数轴穿线法口诀：“从右向左，

27、自上而下；奇穿偶不穿，遇偶转个弯；小于取下边，大于取上边” 2 2例题：不等式(x 3x+2)(x4) E0的解为()x 3A. 1<xwi 或 x>2B. x<- 3 或 1wxW2C. x=4 或3<xW 1 或 x> 2D. x=4 或 x< 3 或 1 w xW 2六、不等式证明的常用方法：作差法、作商法 七、线性规划1、二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式.2、二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组.3、二元一次不等式(组)的解集：满足二元一次不等式组的x和y的取值构成有序数对(x, y),所有这样的有序数对(x, y )构成的集合.4、在平面直角坐标系中，已知直线Ax+By+C=0,坐标平面内的点 P(x0,y0).若 B>0, Ax。+By0+C >0,则点 P(x0,y0 )在直线 Ax+By+C = 0 的上方.若 B