齐次和非齐次线性方程组的解法定稿

1、线性方程组解的结构(解法)-、齐次线性方程组的解法【定义】r(A)= r < n，若AX = 0 (A为m n矩阵)的一组解为 &, &,L，缶r ,且满足:1，2L , n r线性无关；(2) AX = 0的)任一解都可由这组解线性表示则称&, &,L，& r为AX = 0的基础解系.称X ki & k2 & L kn r En r为AX = 0的通解。其中k，k?,，心为任意常数).齐次线性方程组的关键问题就是求通解，而求通解的关键问题是求基础解系.【定理】若齐次线性方程组 AX = 0有解，则(1)若齐次线性方程组 AX =

2、0 (A为m n矩阵)满足r(A) n ,则只有零解；(2)齐次线性方程组有非零解的 充要条件是r(A) n.(注：当m n时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式A 0.)注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于n r(A).2 、非齐次线性方程组 AX B的同解方程组的导出方程组(简称“导出组”)为齐次线性方程组AX 。所对应的同解方程组。由上述定理可知，若 m是系数矩阵的行数(也即方程的个数) ，n是未知量的个数，则有：(1) 当m n时，r(A) m n ,此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就

3、一定有非零解；(2)当m n时，齐次线性方程组有非零解的 充要条件是它的系数行列式A 0;(3)当m n且r(A) n时，若系数矩阵的行列式|A 0,则齐次线性方程组只有零解；(4)当m n时，若r(A) n ,则存在齐次线性方程组的同解方程组；若r(A) n ,则齐次线性方程组无解。1、求AX = 0 (A为m n矩阵)通解的三步骤(1) A 行 C (行最简形)；写出同解方程组 CX =0.(2)求出CX =0的基础解系&, &,L，& r ; 写出通解Xk1 &k2 & L kn r3r其中k1, k2,，kn-r为任意常数2X13X2X35x40

4、,3X1X22X3X40,【例题1】解线性方程组4X1X23x36x40,X12X24x37x40.解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵12472315071014164377生43显然有r(A)则方程组仅有零解，即x1X2X3X40.解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数(即n)(注意：方程组的个数不等于未知量的个数(即m n),不可以用行列式的方法来判断)，从而可计算系数矩阵A的行列式:3270 ,知方程组仅有零解，即X1X2X3X40.注：此法仅对n较小时方便X1X2X3X4X50,3x12x2X3X43x50,X22x32x46X50,5x14x23X33x4X50.【例题2】解线性方

5、程组解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵13A 0512141123112311 ( 5)31(3)61r210001111122212221666r2r2 r2(1)r1r31) r4r210000100120012005600可得r(A)则方程组有无穷多解,同解方程组为令X3X4令X30,X4令X30,X4X1X20,1,0,X5X5X32x3X42X4X10,X1X5X15X5, (其中6x5.%为自由未知量)1,X21,X25公2;2;6,121211，20，30100所以，原方程组的通解 为 X560.01k11k22k33(k1 ，k2 ，k3R )二、非齐次线性方程组的解法求 AX

6、 = b 的解(Am n, r(A) r )用初等行变换求解，不妨设前r 列线性无关c11c12 Lc1 r Lc22 Lc2r Lc1n d1c2n d2OMMM(AMb)crr Ldr 1 0其中cii0(i1,2,L ,r), 所以知(1) dr 10 时 , 原方程组无解.(2) dr 10,r n时，原方程组有唯一解(3) dr 10,r < n 时 , 原方程组有无穷多解其通解为X 0 kl & k2 & Lkn r & r , kl, k2 ,L ,kn r为任意常数。其中：&, &,L，& r为AX = b导出组AX = 0

7、的基础解系，0为AX = b的特解,【定理1】如果是非齐次线性方程组 AX=b的解，是其导出组AX=0的一个解，则是非齐次线性方程组AX=b的解。【定理2】 如果0 是非齐次线性方程组的一个特解，是其导出组的全部解，则0 是非齐次线性方程组的全部解。由此可知：如果非齐次线性方程组有无穷多解，则其导出组一定有非零解，且非齐次线性方程组的全部解0 C1 1 C2 2Cn r n rn r 是导出组的一个基础解系。答: 错,因 r(A)= n, r(A)= n = r(A |答: 错,因 r(A)< n, r(A)= r(A | b) ?答: 对,r ( A)= r(A |b) = n.其中：

8、0 是非齐次线性方程组的一个特解，1 ,【例题3】判断下列命题是否正确，A为mn矩阵.若AX=0只有零解，则AX=bPH一解.(2)若AX=0有非零解，则AX=M无穷多解.若AX=bW唯一解，则AX=0只有零解.(4)若AX=0有非零解,则ATX=0也有非零解答：错,A为 mn, r(A)= m<n, r(A)=m 这时 AX=0 只有零解.例如 A为 3 4, RA)=3 <4,r(A)=3=m(5)若 r( A)= r =m 贝U AX=b必有解.答:又寸，r(A)=r =m= r(Ab).(6)若 r( A)= r =n,贝U AX=b有唯一解答：错，A为mn,当mn时，可以

9、r( A | b) = n+1.唯一解：r(A) r(A) n线性方程组有唯一解x1【例题4】 解线性方程组 2x14x1X22x3X22x3X24X31,4,2.BA/(-AII: 角14 22 2 411112 416 62 2 413 3100r2匕2 42 ) r4-3 2 (3 3 r r1-216 0o o 10 3 01001-312 0001010100Xi可见r(A)r(A)3,则方程组有唯一解，所以方程组的解为X2X31,2, 0.无解:r(A)r(A)线性方程组无解(或若阶梯形方程组出现dr0,则原方程组无解)【例题5】解线性方程组2解：A (A B) 11可见 r(A)

10、 3 r(A)无穷多解：r(A)2x1X1X1X22x2X2X3X32x31,2, 4.r1r1r1 2(r21)r3r2r32 ,所以原方程组无解.r(A) n线性方程组有无穷多解【例题6】解线性方程组X12X12X1X2X2X32x32x43X410X43,1,4.1解：A (A B) 22r110(r12) r22 r3024141002 2 r32 11r2 ( 1)可见r(A)r(A)则方程组有无穷多解，其同解方程组为X2x32x35X4,7X4.（其中X3, X4为自由未知量）令X30,X40,得原方程组的一个特解又原方程组的导出组的同解方程组为XiX2X32x35X4,7x4.（

11、其中X3, X4为自由未知量）令 X3 1 , X4 0 ,得 X11,X2X30,X41 ,得 x15, X27,于是得到导出组的一个基础解系 为所以，原方程组的通解为k1【例题7】 求线性方程组:k2 2k2R).2X1X1X1解：A(A B)X22x2X2X3X4X32x33X4X41,2,3.的全部解.11122)1)23巳 1-3 3一212 ( 12 上 匕 L G 匕2 1312 31132 131004 163 2 33 16 0101001013-2 3-2 1-2001010100可见（A） （A） 3 4 ,所以方程组有无穷多解，其同解方程组为XiX2X33二 X4 ,2

12、3二 X4 ,21X4.2(其中X4为自由未知量)0,可得原方程组的一个特解1010又原方程组的导出组的同解方程组为XiX2X332X4，3-X4，（其中X4为自由未知量）2 41X4.2二,0, ,0,0550令X42 (注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数)，得X 3,X23,X3 1,3于是得到导出组的一个基础解系 为 3 .12所以，原方程组的通解为 X k (k R)X13x23x32X4 X52x1 6X2 X3 3X4 2人4【例题8】求非齐次线性方程组1 234 的全部解。x1 3x2 2x3 x4 x513x1 9x2 4x3 5x4 x5 5解:1 33-261 A1

13、 323 942133021115151330050050052131241241241 30 00 00 0321512000000X2, X4, X5 ,3400原方程组与方程组X13x23x32x4X53 _同解5X3X42X540因为r(A) r(A) 2 5 ,所以非齐次线性方程组有无穷多组解，取自由未知量为取自由未知量X2,X4,X5为0，得原方程组的一个 特解：3 4再求其导出组的基础解系，其 导出组与方程组Xi3x2 3x3 2x4 x502 345同解5x3 x4 2x5 0310 , 20010对自由未知量x2,x4,x5分别取 0 ,100715500125 ， 3510

14、0100，代入上式得到其导出组的一个 基础解系 为:1则原方程组的全部解为：X C1 1 C2 2 C3 3三、证明与判断【例题9】已知1, 2, 3是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系，证明1 , 12, 123也是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系。证：由已知可得：齐次线性方程组 AX= 0的基础解系含有 3个解向量，并且由齐次线性方程组解的性质可知1, 12, 123都是AX= 0的解；因此只要证明 1, 12, 123线性无关即可。设存在数k1,k2,k3使k1 1 k2 ( 12 ) k3 ( 123) 0 成立。整理得：(kk2k3)1 (k2k3)2k330(1)已知1,

15、 2, 3是齐次线性方程组 AX= 0的一个基础解系，即得1, 2, 3线性无关，则由(1)得k1 k2 k30k2 k3 0 ,解得：k1 k2 k3 0 所以1, 12, 123线性无关。k30即1, 12, 123也是齐次线性方程组 AX= 0的一个基础解系。【例题10】已知&, &, &, &是齐次线性方程组 AX= 0的一个基础解系，若讨论t满足什么条件时，1, 2, 3, 4是齐次线性方程组 AX= 0的一个基础解系解：首先，1, 2, 3, 4是齐次线性方程组 AX= 0的解，只须证 1, 2, 3, 4线性无关由已知有:1t0001t0001tt

16、 0 01因为:1， 2,3, 4线性无关1 t 0 001 t0001tt0011 t 0001 t0001 t所以当时,1， 2， 3,4是齐次线性方程组AX= 0的一个基础解系【例题11】已知n阶矩阵A的各行元素之和均为零，且r (A)= n-1,求线性方程组 AX=0的通解.解：由r(A)= n-1知AX=0的基础解系有一个非零解向量又 ai1 ai2 Lain0, i 1,2,L , n , 即 ai1 1 ai2 1 L ain 10X k(1,1,L ,1)T, (k为任意常数)为所求通解【例题12】设X,冲，Xt是非齐次线性方程组 AX =b 0的解向量,证明： 对于 %=k1

17、X+k2 X2+kt X当k1 +k2+kt=1时，为是AX=b的解；当k1 +k2+kt=0时，是AX=0的解.证：AX=A( k1 X+k2 X2+ktX)= k1 AX+k2 AX+ktAX=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：当 k1+k2+kt=1 时，AX =b当 k1 +k2+kt=0 时，AX=0的时候，解向量组的由此可见，非齐次方程组的解对于线性组合并不一定封闭，只有组合系数的和等于1线性组合才是非齐次方程组的解【例题13】已知1, 2为AX的两个不同解，&, &是AX = 0的一个基础解系.k1，k2为任意常数.则AX的通解为(A) k1

18、&k2( a(B)K& k2( & a)(C)K 自k2 ( 1(D)K& k2( 12)【例题14】设3是四元非齐次线性方程组 AX= b的三个解向量,且矩阵 A的秩为3,1. 2,3, 4T,230, 1, 2, 3 T，求 AX= b 的通解。解：因为A的秩为3,则AX= 0的基础解系含有 4-3= 1个解向量。由线性方程组解的性质得:232 1( 21 )( 3 ，是 AX= 0 的解,则解得AX= 0的一个非零解为：23 2 12,3,4,5 T。231,由此可得AX= b的通解为:1, 2, 3, 4T c2, 3, 4,5TO【例题15设A是4阶方阵,(W0)是4X1矩阵,r(A)2,3, 4是AX = 的解,且满足 124208,233 13321 01试求方程组AX = 的通解.解：先求AX的一个特解12 04再求AX =的一个基础解系12(13(2 23)021，32(3 327015因为4R(A)2,&, &线性无关，所以&, &是AX =0的一个基础解系.故方程组AX =的通解是k1 a1204k10213