202X届高考数学一轮复习第三章导数3.1导数的概念及运算课件

1、考点一导数的概念与几何意义考点一导数的概念与几何意义A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考1.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为 .2x答案答案 x+2y-2=0解析解析本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.y=cos x-,y=-sin x-,y|x=0=-,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-,切线方程为y-1=-(x-0),即x+2y-2=0.2x12121212方法总结方法总结 求曲线在某点处(注意:该点必为切点)切线的方法:求导函数;把该点横坐标代入,求

2、出该点处导数值,即为切线的斜率;用点斜式写出切线方程.2.(2017天津文,10,5分)已知aR,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1, f(1)处的切线为l,则l在y轴上的截距为 .答案答案1解析解析本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距.由题意可知f (x)=a-,所以f (1)=a-1,因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a),所以切线l的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l在y轴上的截距为1.1x易错警示易错警示不能正确求解函数的导数,导致不能正确求解切线l的斜率.3.(2017天津文,19,14分)设a,bR,|a|

3、1.已知函数f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf(x).(1)求f(x)的单调区间;(2)已知函数y=g(x)和y=ex的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线.(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)ex在区间x0-1,x0+1上恒成立,求b的取值范围.解析解析(1)由f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,可得f (x)=3x2-12x-3a(a-4)=3(x-a)x-(4-a).令f (x)=0,解得x=a或x=4-a.由|a|1,得a0,可得f(x)1.又因为f(x0)=1, f (x0)=0,故x0为f(x)的极

4、大值点,由(1)知x0=a.由于|a|1,故a+10,可得f(x)1.根据(1)可知f(x)f(a)=1在a-1,a+1上恒成立.由f(a)=1,得b=2a3-6a2+1,-1a1,利用导数即可求出b的取值范围.0000()e ,()e .xxg xg x评析评析 本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、利用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查用函数思想解决问题的能力.4.(2013天津文,20,14分)设a-2,0,已知函数f(x)=(1)证明f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增;(2)设曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线

5、相互平行,且x1x2x30.证明x1+x2+x3-.332(5) ,0,3,0.2xaxxaxxax x13解析解析(1)设函数f1(x)=x3-(a+5)x(x0),f2(x)=x3-x2+ax(x0), f 1(x)=3x2-(a+5),由a-2,0,从而当-1x0时,f 1(x)=3x2-(a+5)3-a-50,所以函数f1(x)在区间(-1,0内单调递减. f 2(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1),由于a-2,0,所以当0 x1时, f 2(x)1时, f 2(x)0.即函数f2(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.综合,及f1(0)=f2

6、(0),可知函数f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+)内单调递增.32a(2)由(1)知f (x)在区间(-,0)内单调递减,在区间内单调递减,在区间内单调递增.因为曲线y=f(x)在点Pi(xi, f(xi)(i=1,2,3)处的切线相互平行,从而x1,x2,x3互不相等,且f (x1)=f (x2)=f (x3).不妨设x10 x2x3,由3-(a+5)=3-(a+3)x2+a=3-(a+3)x3+a,可得3-3-(a+3)(x2-x3)=0,32a30,6a 3,6a 21x22x23x22x23x解得x2+x3=,从而0 x2x3. 设g(x)=3x2-(a+3)x+a

7、,则gg(x2)g(0)=a.由3-(a+5)=g(x2)a,解得-x1-+,33a36a36a21x253a253a33a设t=,则a=,因为a-2,0,所以t,故x1+x2+x3-t+=(t-1)2-,即x1+x2+x3-.21x253a2352t 315,332316t 12131313评析评析 本题主要考查导数的运算及其几何意义,利用导数研究函数的单调性,考查分类讨论思想、化归思想、函数思想.考查综合分析问题和解决问题的能力.考点二导数的运算考点二导数的运算1.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=exln x, f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 .答案答案

8、e解析解析本题主要考查导数的运算.f(x)=exln x,f (x)=ex,f (1)=e1(ln 1+1)=e.1lnxx2.(2016天津文,10,5分)已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为 .答案答案3解析解析f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组1.(2019课标文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为()A.x-y-1=0 B.2x-y-2-1=0C.2x+y-2+1=0 D.x+y-+1=0答案

9、答案 C本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.由题意可知y=2cos x-sin x,则y|x=-2.所以曲线y=2sin x+cos x在点(,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-),即2x+y+1-2=0,故选C.小题速解小题速解由题意得y=2cos x-sin x,则y|x=-2.计算A、B、C、D选项中直线的斜率,可知只有C符合.故选C.2.(2019课标理,6,5分)已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则()A.a=e,b=-1 B.a=e,b=1C.a=e-1,b=1 D.a=e-1,

10、b=-1答案答案 D本题考查导数的几何意义,常见函数的导数,导数的运算法则,通过对常见函数的导数的求解考查学生对公式的运用能力.考查了数学运算的核心素养.y=aex+ln x+1,y|x=1=ae+1,2=ae+1,a=e-1.切点为(1,1),将(1,1)代入y=2x+b,得1=2+b,b=-1,故选D.解题关键解题关键正确理解导数的几何意义是解决本题的关键.3.(2018课标,6,5分)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x答案答案 D本题主要考查函数的奇偶性及

11、导数的几何意义.f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,a-1=0,得a=1,f(x)=x3+x,f (x)=3x2+1,f (0)=1,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,故选D.解后反思解后反思求曲线的切线方程需注意的几个问题:(1)首先应判断所给点是不是切点,如果不是,需要设出切点坐标.(2)切点既在原函数的图象上,也在切线上,可将切点坐标代入解析式,从而建立方程(组).(3)在切点处的导数值是切线的斜率,这是求切线方程至关重要的条件.4.(2019课标理,13,5分)曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为 .答案答案 y=3x解析解析本题考查导数

12、的几何意义;考查学生的运算求解能力;考查的核心素养是数学运算.y=3(x2+3x+1)ex,曲线在点(0,0)处的切线斜率k=y|x=0=3,曲线在点(0,0)处的切线方程为y=3x.解题关键解题关键掌握导数的运算法则与导数的几何意义是求解的关键.5.(2019江苏,11,5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是 .答案答案(e,1)解析解析本题考查利用导数求曲线的切线方程,考查学生的运算求解能力,考查的核心素养为数学运算.设A(x0,y0),由y=,得k=,所以在点A处的切线方程为y-ln x0

13、=(x-x0).因为切线经过点(-e,-1),所以-1-ln x0=(-e-x0).所以ln x0=,令g(x)=ln x-(x0),则g(x)=+,则g(x)0,g(x)在(0,+)上为增函数.又g(e)=0,ln x=有唯一解x=e.x0=e.点A的坐标为(e,1).1x01x01x01x0exex1x2exex方法总结方法总结求曲线y=f(x)过点(x1,y1)的切线问题的一般步骤:设切点为(x0, f(x0);求k=f (x0);得出切线的方程为y-f(x0)=f (x0)(x-x0);由切线经过已知点(x1,y1)求得x0,进而得出切线方程.6.(2018课标,13,5分)曲线y=2

14、ln x在点(1,0)处的切线方程为 .答案答案2x-y-2=0解析解析本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x得y=.因为k=y|x=1=2,点(1,0)为切点,所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.2x7.(2018课标,14,5分)曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .答案答案-3解析解析 设f(x)=(ax+1)ex,则f (x)=(ax+a+1)ex,所以曲线在点(0,1)处的切线的斜率k=f (0)=a+1=-2,解得a=-3.8.(2016课标,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)

15、的切线,则b= .答案答案1-ln 2解析解析直线y=kx+b与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),由y=ln x+2得y=,由y=ln(x+1)得y=,k=,x1=,x2=-1,y1=-ln k+2,y2=-ln k.即A,B,A、B在直线y=kx+b上, 1x11x 11x211x 1k1k1, ln2kk11, lnkk12ln,1ln1kkbkkkbk1ln2,2.bk 评析评析 解决本题的关键是知道切点既在曲线上,又在切线上.9.(2016课标,16,5分)已知f(x)为偶函数,当x0时, f(x)=e-x-1-x,则曲线y

16、=f(x)在点(1,2)处的切线方程是 .答案答案 y=2x解析解析当x0时,-x0),点(1,2)在曲线y=f(x)上,易知f (1)=2,故曲线y=f(x)在点(1,2)处的切线方程是y-2=f (1)(x-1),即y=2x.评析评析 本题主要考查利用函数的性质求解析式,同时综合考查了导数的几何意义.属难题.10.(2015课标,14,5分)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线过点(2,7),则a= .答案答案1解析解析由题意可得f (x)=3ax2+1,f (1)=3a+1,又f(1)=a+2,f(x)=ax3+x+1的图象在点(1, f(1)处的切线方程为

17、y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.11.(2019北京理,19,13分)已知函数f(x)=x3-x2+x.(1)求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程;(2)当x-2,4时,求证:x-6f(x)x;(3)设F(x)=|f(x)-(x+a)|(aR),记F(x)在区间-2,4上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值.14解析解析本题考查函数图象的切线,函数的极值、最值,考查学生的逻辑思维能力、运算求解能力,以及运用函数的基本性质分析、解决问题的能力.(1)由f(x)=x3-x2+x得f (x)=x2-2x+

18、1.令f (x)=1,即x2-2x+1=1,得x=0或x=.又f(0)=0, f=,所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-,即y=x与y=x-.(2)令g(x)=f(x)-x,x-2,4.由g(x)=x3-x2得g(x)=x2-2x.令g(x)=0,得x=0或x=.g(x),g(x)的情况如下:1434348383827827836427143483x-2(-2,0)04g(x) + - + g(x)-60-080,3838,436427所以g(x)的最小值为-6,最大值为0.故-6g(x)0,即x-6f(x)x.(3)由(2)知,当a3;当a-3时,M(a)F(-2)=

19、|g(-2)-a|=6+a3;当a=-3时,M(a)=3.综上,当M(a)最小时,a=-3.12.(2019课标理,20,12分)已知函数f(x)=ln x-.(1)讨论f(x)的单调性,并证明f(x)有且仅有两个零点;(2)设x0是f(x)的一个零点,证明曲线y=ln x在点A(x0,ln x0)处的切线也是曲线y=ex的切线.11xx解析解析本题考查利用导数判断函数的单调性,求函数零点以及导数的几何意义.考查学生分析、解决问题的能力,考查逻辑推理能力和运算求解能力,体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)f(x)的定义域为(0,1)(1,+).因为f (x)=+0,所以f(x)在(0,1

20、),(1,+)单调递增.因为f(e)=1-0,所以f(x)在(1,+)有唯一零点x1,即f(x1)=0.又00,故函数y=ln x不具有T性质;y=f(x)=ex的导函数为f (x)=ex,则f (x1)f (x2)=0,故函数y=ex不具有T性质;y=f(x)=x3的导函数为f (x)=3x2,则f (x1)f (x2)=90,故函数y=x3不具有T性质.故选A.1x121x x12exx21x22x疑难突破疑难突破函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键.评析评析 本题为创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的

21、条件,属于偏难题.2.(2015课标,16,5分)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .答案答案8解析解析令f(x)=x+ln x,求导得f (x)=1+, f (1)=2,又f(1)=1,所以曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.因为直线y=2x-1与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,设切点为P(x0,y0),则y=2ax0+a+2=2,得a(2x0+1)=0,a=0或x0=-,又a+(a+2)x0+1=2x0-1,即a+ax0+2=0,当a=0时,显然不满足此方程,x0=-,此时a

22、=8.1x0|x x1220 x20 x12评析评析 本题主要考查导数的几何意义,能够利用点斜式求出切线方程是解题关键.3.(2018课标,13,5分)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 .答案答案 y=2x解析解析本题主要考查导数的几何意义.因为y=,所以y|x=0=2,又(0,0)为切点,所以曲线在点(0,0)处的切线方程为y=2x.21x 4.(2015陕西,15,5分)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为 .1x答案答案(1,1)解析解析函数y=ex的导函数为y=ex,曲线y=ex在点(0,1)处的切线的斜率k1=e0

23、=1.设P(x0,y0)(x00),函数y=的导函数为y=-,曲线y=(x0)在点P处的切线的斜率k2=-,则有k1k2=-1,即1=-1,解得=1,又x00,x0=1.又点P在曲线y=(x0)上,y0=1,故点P的坐标为(1,1).1x21x1x201x201x20 x1x5.(2014课标,21,12分)设函数f(x)=aexln x+,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=e(x-1)+2.(1)求a,b;(2)证明:f(x)1.1exbx解析解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+), f (x)=aexln x+ex-ex-1+ex-1.由题意可得f(1)=2, f

24、(1)=e.故a=1,b=2.(2)由(1)知, f(x)=exln x+ex-1,从而f(x)1等价于xln xxe-x-.设函数g(x)=xln x,则g(x)=1+ln x.所以当x时,g(x)0.故g(x)在上单调递减,在上单调递增,从而g(x)在(0,+)上的最小值为g=-.设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).ax2bxbx2x2e10,e1,e10,e1,e1e1e2e设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).所以当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.1e评析评析 本题主要考查导数的几何意

25、义、利用导数研究函数的单调性及最值问题,考查等价转化思想及逻辑推理能力.考点一导数的概念与几何意义考点一导数的概念与几何意义三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019安徽宣城八校联考期末,6)若曲线y=aln x+x2(a0)的切线的倾斜角的取值范围是,则a=()A. B. C. D. ,3 2 124383432答案答案 B因为y=aln x+x2(a0),所以y=+2x2,因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是,所以斜率k,因此=2,所以a=.故选B.ax2a,3 2 332a382.(2018江西重点中学盟校第一次联考,3

26、)函数y=x3的图象在原点处的切线方程为()A.y=x B.x=0 C.y=0 D.不存在答案答案 C函数y=x3的导数为y=3x2,则函数y=x3的图象在原点处的切线斜率为0,所以在原点处的切线方程为y-0=0(x-0),即y=0,故选C.3.(2019安徽江南十校3月综合素质检测,5)曲线f(x)=在点P(1, f(1)处的切线l的方程为()A.x+y-2=0 B.2x+y-3=0C.3x+y+2=0 D.3x+y-4=012lnxx答案答案 D因为f(x)=,所以f (x)=,所以f (1)=-3,又f(1)=1,所以所求切线方程为y-1=-3(x-1),即3x+y-4=0.考点二导数的

27、运算12lnxx232lnxx 1.(2018河南南阳期末,5)已知各项均为正数的等比数列an,a3a5=2,若f(x)=x(x-a1)(x-a2)(x-a7),则f (0)=()A.8 B.-8 C.128 D.-12822考点二运动图像、追及相遇问题考点二运动图像、追及相遇问题答案答案 B令f(x)=xg(x),其中g(x)=(x-a1)(x-a2)(x-a7),则f (x)=g(x)+xg(x),因为an是等比数列,所以f (0)=g(0)=-a1a2a3a7=-,又因为a3a5=2及an各项均为正数,所以a4=,故f (0)=-8.故选B.74a24a222.(2018安徽黄山一模,1

28、4)已知f(x)=x3+3xf (0),则f (1)= .13答案答案1解析解析由题意可得f (x)=x2+3f (0),令x=0,可得f (0)=02+3f (0),f (0)=0,则f(x)=x3,f (x)=x2,f (1)=1.133.(2019天津十二区重点学校联考(一),10)已知函数f(x)=(x2-a)ln x, f (x)是函数f(x)的导函数,若f (1)=-2,则a的值为 .答案答案3解析解析f(x)=(x2-a)ln x,f (x)=2xln x+,f (1)=1-a=-2,解得a=3.2xax1.(2018天津静海一中模拟,8)已知f(x)+f (x)=x+1,且f(

29、0)=1, f(x)ax+1有且仅有一个整数解,则正数a的取值范围是()A.a+ B.+a+C.1+a2+ D.+a2+ 1e12212e12212e23313e21e21e2e1221eB B组组2017201920172019年高考模拟年高考模拟专题综合题组专题综合题组时间:60分钟分值:100分一、选择题(共5分)答案答案 Af(x)+f (x)=x+1,f(x)=x+1-f (x),f (x)=1-f (x),代入上式得f(x)=x+f (x),f (x)=1+f (x),由和知,-f (x)=f (x).设f (x)=me-x,mR,代入得f(x)=x+me-x,又f(0)=1,故m

30、=1,f(x)=e-x+x,则f (x)=-e-x+1,当x0时, f (x)0时, f (x)0,f(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增.设g(x)=ax+1(a0),则g(x)在R上单调递增,且g(0)=1,若要使f(x)g(x)只有1个整数解,则此整数解必为1,故即解得0且a1), f (x)为f(x)的导函数,且满足f (1)=1,则a= .答案答案 e解析解析由f(x)=logax(a0且a1),得f (x)=,f (1)=1,a=e.1lnxa1lna评析评析 本题考查了导数的运算和导数值,属于基础题.3.(2019天津十二校联考二模,10)已知函数f(x)=ex(

31、2-ln x), f (x)为f(x)的导函数,则f (1)的值为 .答案答案 e解析解析由题意得f (x)=ex(2-ln x)+ex,则f (1)=e(2-ln 1)+e(-1)=e.1x4.(2017天津河北一模,12)已知f(x)=ex-e,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程是 .答案答案 y=ex-e解析解析f(x)=ex-e,f (x)=ex,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线的斜率k=f (1)=e,又f(1)=0,曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=ex-e.5.(2017天津和平二模,14)已知f(x)是奇函数,当x0,则-x0,f

32、 (x)=-+2,x0,则f (1)=1, f(1)=2,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.1x6.(2018天津一中3月月考,10)已知函数f(x)=2f (1)ln x-x,则f(x)的极大值为 .答案答案2ln 2-2解析解析函数f(x)=2f (1)ln x-x,则f (x)=2f (1)-1(x0),f (1)=2f (1)-1,故f (1)=1,得到f (x)=-1=(x0),令f (x)0,解得0 x2,令f (x)2,则函数f(x)在(0,2)上为增函数,在(2,+)上为减函数,故f(x)的极大值为f(2)=2ln 2-2.1x2

33、x2xx三、解答题(共70分)7.(2017天津河西二模,20)设函数f(x)=x3-ax(a0),g(x)=bx2+2b-1.(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值;(2)当a=1-2b时,若函数f(x)+g(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;(3)当a=1-2b=1时,求函数f(x)+g(x)在区间t,t+3上的最大值.13解析解析(1)由已知得f (x)=x2-a,g(x)=2bx.因为曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,所以f(1)=g(1),且f (1)=g(1),即-a=b

34、+2b-1,且1-a=2b,解得a=,b=.(2)设h(x)=f(x)+g(x),当a=1-2b时,h(x)=x3+x2-ax-a,h(x)=x2+(1-a)x-a=(x+1)(x-a),令h(x)=0,得x=-1或x=a(a0).当x变化时,h(x),h(x)的变化情况如下表:1313131312ax(-,-1)-1(-1,a)a(a,+)h(x)+0-0+h(x)极大值极小值所以函数h(x)的单调递增区间为(-,-1),(a,+);单调递减区间为(-1,a),因为a0,所以h(x)在区间(-2,-1)上单调递增,在区间(-1,0)上单调递减,要使函数h(x)在区间(-2,0)内恰有两个零点

35、,则解得0a,所以a的取值范围是.(3)设h(x)=f(x)+g(x),当a=1-2b=1时,h(x)=x3-x-1.由(2)可知,当a=1时,函数h(x)的单调递增区间为(-,-1),(1,+);单调递减区间为(-1,1).当t+3-1,即t-4时,h(x)在区间t,t+3上单调递增,( 2)0,( 1)0,(0)0,hhh1310,313所以h(x)在区间t,t+3上的最大值为h(t+3)=(t+3)3-(t+3)-1=t3+3t2+8t+5;当t-1且-1t+31,即-4t-2时,h(x)在区间t,-1)上单调递增,在区间-1,t+3上单调递减,所以h(x)在区间t,t+3上的最大值为h

36、(-1)=-;131313当t-1且t+31,即-2t-1时,t+32且h(2)=h(-1)=-,所以h(x)在区间t,t+3上的最大值为h(-1)=-;当-1t1,h(x)在区间t,1)上单调递减,在区间1,t+3上单调递增,所以h(x)在区间t,t+3上的最大值为h(t)与h(t+3)中的较大者,由h(t+3)-h(t)=3(t+1)(t+2)知,当-1t1时,h(t+3)h(t),所以h(x)在区间t,t+3上的最大值为h(t+3)=t3+3t2+8t+5;当t1时,h(x)在区间t,t+3上单调递增,所以h(x)在区间t,t+3上的最大值为h(t+3)=t3+3t2+8t+5.综上,当

37、t-4或t-1时, f(x)+g(x)在区间t,t+3上的最大值为t3+3t2+8t+5;当-4t时,易得e-x-x+1,即x1-e-x,所以g(x)=ex-2ax-1ex-1-2a(1-e-x)=e-x(ex-1)(ex-2a),当ex2a,即0 xln(2a)时,g(x)0,g(x)在(0,ln(2a)上为减函数,g(x)1时,直线QA的斜率恒小于2,求实数a的取值范围.解析解析(1)当a=1时, f(x)=x2+x-ln x,f (x)=2x+1-=(x0),令f (x)=0,得x=或x=-1(舍),x0时, f(x)与f (x)的变化情况如下表:1x(1)(21)xxx12xf (x)

38、-0+f(x)极小值10,2121,2函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)证明:g(x)=a2x2-f(x)=ln x-ax,g(x)=-a(x0),g(1)=1-a,直线l的斜率kl=1-a.ll,且l在y轴上的截距为1,直线l的方程为y=(1-a)x+1.令h(x)=g(x)-(1-a)x+1=ln x-x-1(x0),h(x)=-1=,当x(0,1)时,h(x)0,当x(1,+)时,h(x)0,函数h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减,当x=1时,h(x)取得极大值,极大值为h(1)=-2,在(0,+)上,h(x)取得最大值h(1)=-2,h(x)-20),1,210,21x1x1xx无论a取何实数,函数g(x)的图象恒在直线l的下方.(3)A(1,-a),Q(x0,ln x0-ax0),kQA=-a,当x01时,-a2,即ln x0-(a+2)(x0-1)1),则r(x)=-(a+2),x1,00,r(x)在(1,+)上单调递增,有r(x)r(1)=0,不满足题意;当-2a-1时,0a+20,当x时,r(x)r(1)=0,不满足题意;000ln1xaxax00ln1xx 00ln1xx 1