六综合技能部分

1、综合技能部分(I )折叠问题1.如图1,正厶ABC的边长为2a, CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点现将 ABC沿 CD翻折成直二面角 A DCB (如图2).的位置关系，并说明理由;(I)试判断翻折后直线 AB与平面DEF(n)求二面角 BAC D的余弦值（图2）2.已知等腰梯形 PDCB中(如图1) , PB=3,DC= 1 , PB=BC =2 , A 为 PB 边上一点，且 PA= 1 ,将PAD沿AD折起，使面 PAD丄面ABCD (如图(I) 证明：平面 PAD丄PCD ；2）.(n)试在棱 PB上确定一点 M，使截面 AMC ,把几何体分成的两部分VPDCMA ：

2、VMACB 2 ：1 ?(川)在M满足(n)的情况下，判断直线PD是否平行面AMC.3 .已知矩形 ABCD中，AB= 2AD= 4, E为CD的中点,AE将三角形 AED折起，使DB= 2 3如图，OH分别为AE、AB的中点.求证：直线0H/面BDE求证：面 ADEL面 ABCE求二面角0- DH一 E的余弦值.(II )探索性问题4. 如图在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PDL底面ABCD过D与PB垂直的平面分别交PB PC于 F、E。(1) 求证：DEI PC;(2) 当PA/平面EDB时，求二面角 E BD C的正切值。AiDA5. 如图，矩形 ABCD和梯形B

3、EFC所在平面互相垂直，BE/ CF且BEv CF,JL/ BCF= , AD= 3 , EF=2.2(I)求证：AE /平面DCF;AbBE()设= k 当鼻取何值时 一面角 A EF C的大小讳二？6 如图所示，在直三棱柱 ABC AEG中，AB = BB,AG丄平面A,BD,D为AC的中点.(I)求证：B1C/ 平面 A1BD ;(n)求证：BiG 平面 ABBA ；(川)设E是CC-i上一点，试确定E的位置使平面ABD _平面BDE，并说明理由.7.如图所示，在正方体 ABCDABCiDi中，E为AB的中点(1)若F为AA的中点，求证：EF /面DD1C1C ;Ai(2)若F为AA,的

4、中点，求二面角A- EC - D1的余弦值;AEB(3 )若F在AA,上运动时(F与A、A不重合)，求当半平面 D1EF与半平面 ADE成一的角时，线段 AF与FA的比.48.如图，已知空间四边形 ABCD中，BC二AC,AD=BD , E是AB的中点.求证：(1)(2)(3)AB _平面CDE 平面CDE _平面ABC .若G为.ADC的重心，试在线段AE上确定一点F,使得GF/平面CDE9.如图，在四棱锥 P-ABCD，则面PADL底面 ABCD侧棱PA=PD=2，底面ABCD直角梯形，其中BC/ ADABL ADAD=2AB=2BC=2, 0为 AD中点.(1) 求证：POL平面ABCD

5、(2) 求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3) 线段AD上是否存在点 Q使得它到平面 PCD的距离为亠3 ?若存在,2(第 9题图)求出竺的值；若不存在，请说明理由QD10.已知斜三棱柱 ABC ABC的底面是直角三角形，/C=90°,侧棱与底面所成的角为a ( 0°V a V 90°),点B1在底面上的射影D落在BC 上.(I)求证：()当ACL平面 为何值时,(出)若=arccosBBGC;AB丄BG,且使D恰为BC中点？13，且AC=BC=AA寸,求二面角 C AB- C的大小.3(III )多面体已知 AB丄平面 ACD DE/AB, ACD是正三角形

6、， AD=DE=2AJB且1F11.如图，是CD的中点；(1) 求证：AF/平面BCE(2) 求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.E第12题12.如图，等腰梯形 ABEF中，AB/ EF , AF BF , 0为AB的中点，矩形ABCD 互相垂直.(I)求证：AF _平面CBF ;(H)设FC的中点为M，求证：0M (川)求三棱锥C - BEF的体积.AB =2, AD 二 AF=1 ,所在的平面和平面 ABEF/平面DAF ;13 .已知在多面体 ABCDE中，AB丄平面 ACD , DE / AB, AC = AD = CD = DE = 2 , F为CD的中点.(I)(n)(川)

7、求证：AF丄平面CDE ;求平面 ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小; 求点A到平面BCD的距离的取值范围.C综合技能部分参考答案 (I )折叠问题(I)T在图2中，E、F分别为AC BC中点， AB/EF1.解：而 AB 学面 DEF EFu 面 DEF AB 面 DEF(n)在图2中，作DG_AC,垂足为G,连BG.易证 BDG为Rt BGD为二面角B - AC - D的平面角a "' 3a * 3 在 BDG 中，BD 二 a,DG 二2aa . BG = BD2 DG22/DG Vacos 乙 BGD2BG <7a2=21 (也可用向量法解)711h

8、2 1 h =3 231 (1+2) 1S ABC PA1 1 二一3'3221 hh1要使 Vpdcma :Vmacb =2:1,即(；-：)：； =2:1,解得 h2 3322. (I)证明：依题意知： CD _ AD.又；面PAD _面ABCD二DC丄平面PAD.又DCu面PCD 二平面PAD丄平面PC(II )由(I )知 PA _ 平面 ABCD平面PABL平面 ABCD在PB上取一点 M 作MNLAB贝U MNL平面 ABCD 设MNh1则 VMBC =§S.ABC hVP /BCD ：亠3 _即M为PB的中点.(川)连接 BD交AC于0,因为AB/CD, AB=

9、2, CD=1由相似三角形易得 BO=2OD又因为AE和BO是相交直线面 ADE | 面 ABCE 由(2)知OA OH OD两两垂直，分别以 OA OH OD为所以，DO_面ABCE又OD在面ADE内x、y、z轴建立空间坐 O不是BD的中心又 M为PB的中点在厶PBD中, OM与 PD不平行 OM所以直线与PD所在直线相交又OM 平面AMC：直线 PD与平面 AMC不平行.3.解：(1)证明TOH分别为AE AB的中点 OH/BE,又 OH不在面 BDE内 直线 OH/面 BDE(2)O 为 AE的中点 AD= DE, DQ_ AE/ DO= 2 , DB=2, 3 , bO= 32+12=

10、10- DB2 =DO2 BO2 DO _ OBD(0, 0, 、2),标系，则 A(2 , 0, 0) , H(0,2 , 0) , E(-、2 , 0, 0),向量 DH =(0, J2, - HE =(-、_2-J2,0)HE = 0设平面DHE的法向量为n=(x , y, z)，则n DH = 0 n 、2y -、2z =0 即 y=z,x=-z- .2x - .2y =0平面DHE的法向量为n= (z , -z , z),不妨没z>0又OA=G 2,0,0)是平面DOH的法向量,|< 2LI. 3z3由图二面角C DH- E为锐角，所以，二面角O- DH- E的余弦值为一

11、33)探索性问题4 .解：(1)证明：幕PB _平面DEF PB _ DE(II又；PD _平面ABCD又BC _ DC BC _ 面 PDCDE 平面PDC从而DE!平面PBC(2)连AC交BD于O,连由PA/平面EDB及平面DE _ PCEOEDBH 平面 PACT EO 知 PA/EO O是正方形ABCD勺对角线AC的中点 E为PC的中点又 DE PC PD DC设PD=DC=a取DC的中点 H 作HG/CO交BD于 G贝U HGL DB EH/PD . EH 平面 CDB由三垂线定理知 EGL BD故.EGH为二面角E BD C的一个平面角。易求得 EH =PD =a HG =OC =

12、- a2 2 ' 2 2D.tan. EGH =岂 -二面角E BD-C的正切值为' 2GH 25 .解：(I )解法一：T 四边形ABCD是矩形, AB/ DC又 BE / CF , ABA BE=B 平面 ABE/平面 DCF .解法二：过 E作EG/ BC交FC于G,连结DG , BE/ CF ,四边形BCGE是平行四边形 ，四边形ADGE&是平行四边形 ， AE/ DG . 又 AE 丁 平面 DCF, DG 平面 DCF ,(II )解法一： 过E作GEL CF交CF于G由已知 EG / BC/ AD 且 EG=BC=AD EG=AD= 3 ,又 EF=2,

13、GF=1 .四边形 ABCD是矩形， DCL BC .BCF , FCL BC,又平面 AC丄平面 BF,平面 ACA平面 BF=BC FC丄平面分别以CB又 AE二平面 ABE - AE/ 平面 DCF . AE/ 平面 DCF .设BE=m由A (.3,T二 AE =(0 , - ' m ,z EG/ BC/ AD,且 EG=BC=A,FEAC , FC丄 CD .CD CF为轴建立空间直角坐标系.AB得 AB= m .BE0) ,E(3,T,m) , EF =_ T n =(x , y ,T-n =0 ,得*设平面AEF的法向量T T 由 AE - n=0, EF0, m),F(

14、O , 0, m+1),(3,0,1 ).令 y =、3又CD =可得平面z),J；my mz = 0-.3x z = 0AEF的一个法向量 n=(,(0 ,' m,_ | CD n |CD| n |3n cos30)是平面CEF的一个法向量即3 m .4 23 m<3J.y 亠 Z = 0一 i 3x z = 0、3 ).3解得=32当的值为3时，二面角2解法二：过 E作GEL CF交CF于G由已知.3 EG= . 3 ,又 EF=2, sin / EFG4 .2A EF C的大小为3EG/ BC/ AD,且 EG=BC=AD四边形ABCD是矩形,又平面 AC丄平面BF ,平面

15、 ACA平面 BF=BC AB丄平面 BF . 过B作BML FE交EF于M 连结 AM则/ AMB为二面角 A EF C的平面角,ji / AMB.3AB由已知，设BE=m贝U AB=- m ,BE BM= BE- sin / MEB =BE- sin在 Rt ABM中，tan : AB3 BM/ EFG= m .2- 3, m2Dn3Tl当的值取3时，二面角A EF C的大小为3 .6. (I)证明：如图，连接 AB与AB相交于M，则M为AB的中点，连结 MD，又D为AC的中点，.B1C/ MD .又 BQ 二平面 ABD , B1C /平面 ABD (n) ； AB=BiB四边形 ABB

16、A 为正方形，.A,B _ AR ,又丁 AG 丄面 ABD，二 AC1 丄 AB，二 AB 丄面 AB1C1，二 AB 丄 B1C1 , 又在直棱柱 ABCABG中BB _ B1C1 , BG _平面ABBA.(川)当点E为C1C的中点时，平面 ABD _平面BDE ,D、E 分别为 AC、GC 的中点，.DE / AC)，： AC1 平面 ABD ,，” DE丄平面ABD，又DE u平面BDE ,平面 ABD _平面BDE .7.解析：(1)证明：如图，连接 A1B,AiBiCiE为AB的中点，F为AA的中点EF / AB又 AB / D1CEF / D1CEF / 面 DD1C1C(2)

17、设二面角A-EC-U的大小为二，设正方体的棱长为 2，由(1A知F , D,C, E四点共面，且1四边形EFDC为等腰梯形，又S梯形efdq3 21 2 291N，S梯形 ADCE 23兀cos -二S梯形ADCES梯形EFD1C2面角A - EC - D1的余弦值为 。3(3)建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2, AF =x 0 ： x ： 2，则D 0,0,0 ,A 2,0,0 ,E 2,1,0 , D1 0,0,2 ,F 2,0, x ,设面DEF的法向量为，n=x1, y1,乙D1E = 2, 1, -2 ,EF = 0, -1 , x2% +力 _2乙=0-y1 xzi = 0

18、取 z, =2，则 n = 2-x，2x，2半平面D1EF与半平面ADE成一角4ji.cos=4DD1 nDD14I222J(2x) +(2x).5x2 -4x 8平面CDE _平面ABC .AG 2x 二4，即 FA 二4, AF =2 -么二6 3线段AF与FA的比为25555注：本题的方法多样，不同的方法请酌情给分。BC =AC”AD 二 BD| 8.证明：(1)二CE丄AB同理，DE 丄 ABAE =BEAE = BE又 CE "DE 二 E AB _ 平面 CDE .(2) 由(1 )有 AB _ 平面 CDE 又AB 二平面 ABC ,(3) 连接AG并延长交CD于 H,

19、连接EH,贝UGHAF在AE上取点F使得乂一FE9. (I)证明：在厶PAD中 PA=PD O为AD中点，所以 POL AD 又侧面PADL底面 ABCD平面 PAD '平面ABCDADPO二平面PAD所以PCL平面 ABCD(n )解 以O为坐标原点，OC>OD>OP-，则GF II EH，易知GF/平面1CDE的方向分别为x轴、y轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系A(0,-1,0),B(1,-1,0),C1,0,0),O-xyz,依题意，易得D(0,1,0),P(0,0,1),所以 CD=( -1,0),PB=(1-1,1).所以异面直线 PB与CD所成的角是余弦值为=

20、0,则(川)解假设存在点Q使得它到平面PCD勺距离为上32由(n)知CP(1,0,1),CD十1,1,0).设平面PCD的法向量为I x0 % = 0,所以即冷,=0,-X。y。=0,取X0=1,得平面PCD勺一个法向量为n=(1,1,1).设 Q(0, y,0)( 1 兰 y 兰1),CQ =(1, y,0),由=nCQLnl_ 忑，得n'于'73i5，解y=-2或y=?（舍去），1 3此时AQ = ,QD =,所以存在点Q满足题意，此时2 2AQQD10 .解：（I）： B 1D丄平面 ABC AC U 平面 ABCBiD丄 AC,又 AC丄 BC,BCn BiD=D AC

21、丄平面 BBCC.（n ） AC丄平面BBCC，要使AB丄BG，由三垂线定理可知,只须BC丄BC,平行四边形BBCiC为菱形， 此时，BC=BB.又 BiD丄BC,要使D为BC中点，只须 BiC= B1B,即 BBC为正三角形，二/ BBC=60°. B iD丄平面ABC且D落在BC上, / BiBC即为侧棱与底面所成的角.故当a =60°时，AB丄BC,且使 D为BC中点（川）过 Ci作CE丄BC于E,贝U CiE丄平面ABC 过E作EF丄AB于F, CF,由三垂线定理，得 CF丄AB./ GFE是所求二面角 CiAB- C的平面角.设 AC=BC=AAa,i22在 Rt

22、 CCE 中，由/ CBE=a =arccos , CE=33d22 J 2a. 在 Rt BEF中，/ EBF=45 , EF= BE= a.23/ CFE=45° 故所求的二面角 C-AB-C为 45° .11.解：取CE中点P,连结FP BP,（III ）多面体1/ F 为 CD的中点， FP/DE，且 Fp DE21又 AB/DE，且 AB DE. AB/FP，且 AB=FP2又；AF 二平面 BCE, BP 平面 BCE, AF/ 平面 BCE（2）由（1），以F为坐标原点，FA FD, FP所在直线分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系 F - xyz,设

23、AC=2 则 C(0,-1,0), B(- .、3,0,1), E(0,1,2).设n - (x, y,z)为平面 BCE的法向量,-”-J3x + y 十 z = 0-则 n CB=0, n CE =0,即目0,令z=1,则门=(0,-1,1)2y +2z = 0.显然，m =（0,0,1）为平面ACD的法向量。设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为:,则cos |Jm nl=4，即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45 | m | | n |、2212 .证明：(I)；平面 ABCD _ 平面 ABEF , CB _ AB,平面 ABCD 平面 ABEF =AB ,.CB _ 平面 AB

24、EF , AF 二平面 ABEF , . AF _ CB又 AF _ BF，且 BF - BC = B , BF , BC 平面 CBF , AF _ 平面 CBF1 1(n)设DF的中点为N，则MN / CD，又AO / CD，则MN / AO , MNAO为平行四边 2形，.OM / AN又AN二平面DAF , OM :平面DAF(川)过点E作EH _ AB于H,则.EBH,o i3 73故 S BEF 122413. (I)证明：T AB丄平面ACD, DE 丄 AF .又 t AC=AD=CD ,，二 OM / 平面 DAFEH , EF = AB2HB =1 , 2BC 312ACD

25、 ,T AF 平面 ACD ,= 60°，所以3 Sbef AB/ DE , DE丄平面 F为CD中点，.VC _BEF AF 丄 CD .t DE 二平面 CDE , CD 二平面 CDE , CD A DE = D , AF 丄平面 CDE .(n)解法一：T AB / DE, AB/ 平面 CDE , DE 二平面 CDE AB/平面 CDE，设平面 ABC A平面 CDE = l，贝U l / AB.即平面ABC与平面CDE所成的二面角的棱为直线 l.t AB_平面 ADC，丨_平面 ADC .l_AC, l_DC . . ACD为平面ABC与平面CDE所成二面角的平面角.t AC= AD = CD , . ACD = 60 ,平面ABC和平面CDE所成的小于90的二面角的大小为(n)解法二：如图，以 F为原点，过F平行于DE的直线