空间直角坐标系05524

1、231 空间直角坐标系一、教材知识解析1、空间直角坐标系的定义：从空间某一个定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O-xyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴和z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面和xOz平面。2、右手直角坐标系及其画法： （1）定义：在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，若中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。本书上所指的都是右手直角坐标系。 （2）画法： 将空间直角坐标系画在纸上时，x轴与y轴、x轴与z轴均成135°，而z轴垂直于y轴，y轴和

2、z轴的长度单位相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的长度的一半，这样，三条轴上的单位长度在直观上大体相等。3、空间中点的坐标表示：点在对应数轴上的坐标依次为x、y、z，我们把有序实数对（x，y，z）叫做点A的坐标，记为A（x，y，z）。二、题型解析：题型1、在空间直角坐标系下作点。例1、在空间直角坐标系中，作出M(4,2,5).解：法一：依据平移的方法，为了作出M(4,2,5)，可以按如下步骤进行：（1）在轴上取横坐标为4的点；（2）将在平面内沿与轴平行的方向向右移动2个单位，得到点；（3）将沿与轴平行的方向向上移动5个单位，就可以得到点M（如图）。法二：以O为一个顶点，构造三条棱长分别为4

3、，2，5的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在轴的正半轴、轴的正半轴、轴的正半轴上，则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。法三：在轴上找到横坐标为4的点，过此点作与垂直的平面；在轴上找到纵坐标为2的点，过此点作与垂直的平面；在轴上找到竖坐标为5的点，过此点作与垂直的平面；则平面交于一点，此交点即为所求的点M的位置。【技巧总结】：（1）若要作出点M的坐标有两个为0，则此点是坐标轴上的点，可直接在坐标轴上作出此点；（2）若要作出点M的坐标有且只有一个为0，则此点不在坐标轴上，但在某一坐标平面内，可以按照类似于平面直角坐标系中作点的方法作出此点。（3）若要作出点M的坐标都不为0，则需要按照一

4、定的步骤作出该点，一般有三种方法：在轴上取横坐标为的点；再将在平面内沿与轴平行的方向向左（）或向右（）平移个单位，得到点；再将沿与轴平行的方向向上（）或向下（）平移个单位，就可以得到点M。以O为一个顶点，构造三条棱长分别为的长方体（三条棱长的位置要与的符号一致），则长方体与顶点O相对的顶点即为所求的点M。先在轴上找到点，过作与垂直的平面；在轴上找到点，过作与垂直的平面；在轴上找到点，过作与垂直的平面，则平面交于一点，此交点即为所求的点M的位置。【变式与拓展】11在空间直角坐标系下作出点（-2，1，4）12 在同一坐标系下作出下列各点：A（3，0，0），B（0，0，-3），C（2，3，0），D（

5、4，2，3），E（4，-2，3）题型2、在空间直角坐标系下求出点的坐标表示例2、如图，在正方体中，E，F分别是的中点，棱长为1，求E、F点的坐标。解：法一：E点在点面上的射影为B，B（1，1，0），竖坐标为，。F在在点面上的射影为BD的中点为G，竖坐标为1，法二：，E为中点，F为的中点。故E的坐标为，F的坐标为【技巧总结】：（1）确定空间直角坐标系下点M的坐标时，最常用的方法就是求某些与轴平行的线段的长度，即将坐标转化为与轴平行的线段长度，同时要注意坐标的符号，这也是求空间点的坐标的关键。（2）空间直角坐标系下，点与的中点为【变式与拓展】21 、如图，长方体中，OA=6，OC=8，（1）写出点

6、的坐标。（2）若点G 是线段的中点，求点G的坐标。解：（1）在轴上，且，即竖坐标是5，横坐标和纵坐标都为0，所以点的坐标为（0，0，5）。点在平面上的射影是A，点A在轴上，且横坐标为6，纵坐标为0，竖坐标和相同，所以点的坐标为（6，0，5），同理可得。（2）由于（0，0，5），B（6，8，0），则的中点G的坐标为（3，4，）22、如图，直三棱柱中，M是的中点，Q是BC的中点，试建立空间直角坐标系，写出B、C、M、Q的坐标。解：分别以AB、AC、A所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，（如图），则B（2，0，0），C（0，2，0），M（0，2，1），Q（1，1，0）23、已知P（2，1，3），

7、求M关于原点对称的点，M关于平面对称的点，M分别关于轴、轴对称的点。解：由于点M与关于原点对称，即原点是点M与的中点，所以（-2，-1，-3）；点M与关于平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以（2，1，-3）；M与关于轴对称，则的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为M的相反数，即（2，-1，-3），同理（-2，1，-3）。三、基础练习1、点在空间直角坐标系中的位置是在（）轴上平面上平面上、平面上答案： 解析：由于纵坐标为0，故在平面上2、点P( 1, 4, -3)与点Q(3 , -2 , 5)的中点坐标是（ ）A( 4, 2, 2) B(2, -1, 2) C(2, 1 , 1)

8、 D（4, -1, 2)答案：C3、在空间直角坐标系中，点，过点作平面的垂线，则的坐标为（）答案：D 解析：由于垂足在平面上，故竖坐标为04、在空间直角坐标系中, 点P(2,3,4)与Q (2, 3,- 4)两点的位置关系是（ ） A关于x轴对称 B关于xOy平面对称 C关于坐标原点对称 D以上都不对答案：B 解析：由于横坐标和纵坐标不变，竖坐标为相反数，故关于xOy平面对称5、已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，5，1），C（3，7，5），则点D的坐标为解析：根据中点公式，AC的中点为G（，4，-1），又BD的中点也是G，所以D（5，13，3）6、如图，长方体中，于相交于点

9、分别写出，的坐标解：点C在轴上，且，故C，点在面的射影为B，且竖坐标为3，故，点P在面的射影为矩形OABC的对角线的交点，横坐标和纵坐标是矩形OABC的长和宽的一半，竖坐标和的一样，故P。四、达标训练1、在空间直角坐标系中, 点P(3,4,5)关于yOz平面对称的点的坐标为（ ）A(-3,4,5) B(-3,- 4,5) C(3,-4,-5) D(-3,4,-5)答案：A2、在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），给出下列4条叙述：点P关于x轴的对称点的坐标是（x，y，z）点P关于yOz平面的对称点的坐标是（x，y，z）点P关于y轴的对称点的坐标是（x，y，z）点P关于原点的对称点的坐标是

10、（x，y，z）其中正确的个数是（ ）A3B2C1D0 答案：C3、如右图，棱长为3a正方体OABC，点M在上，且2，以O为坐标原点，建立如图空间直有坐标系，则点M的坐标为答案：4、若三棱锥P-ABC各顶点坐标分别为P（0，0，5），A（3，0，0），B（0，4，0），C（0，0，0），则三棱锥的体积为。答案：105、如右图，为一个正方体截下的一角PABC，建立如图坐标系，求AB中点E的坐标_ 答案：6、已知一长方体的对称中心在坐标原点O，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A（-2，-3，-1），求其他七个顶点的坐标。解：B（-2，3，-1），C（2，3，-1），D（2，-3，-1

11、），7、在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，且边长为，棱PD底面ABCD，取各侧棱的中点E，F，G，H，试建立空间直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标解:由图形知，DADC，DCDP，DPDA，故以D为原点，建立如图空间坐标系Dxyz则因为E，F，G，H分别为侧棱中点，由中点的坐标公式可知，8、四棱锥中，底面是边长为4且的菱形，顶点V在底面的射影是对角线的交点O，VO=3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点的坐标。解：由于菱形的对角线互相垂直，且VO垂直于底面，则VO,AO,BO两两互相垂直，所以以分别以OA,OB,OV所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）菱形ABCD中，AB=4，

12、且，则OA=2,OB=，而A,B,C,D,V都在坐标轴上，且A（2，0，0），B，C(-2,0,0),D,V（0,0,3）232 空间两点间的距离一、教材知识解析1、空间两点的距离公式：一般地，空间中任意两点的距离为2、空间中点的轨迹常见的点的轨迹方程有：（1）方程表示以点为球心，为半径的球。（2）方程在空间坐标系中表示旋转轴为轴的圆柱面，且到轴的距离为。二、题型解析题型一、直接利用两点间的距离公式解决有关问题。例1、求下列两点间的距离：（1）A（1，1，0），B（1，1，1） （2）C（-3，1，5），D（0，-2，3）解：（1） （2）【技巧总结】：使用两点间距离公式时，一定要注意公式中坐

13、标的对应，同时注意符号。【变式与拓展】11 已知A（1，-2，11），B（4，2，3），C（6，-1，4），试判断的形状。解： 因此是直角三角形12 在空间直角坐标系中，解决下列各题：（1）在轴上求一点P，使它与点（4，1，2）的距离为；（2）在平面内的直线上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小，并求出最小值。解：（1）由于点P在轴上，所以设， 或 所以点P的坐标为（9，0，0）或（-1，0，0） （2）由已知可设，则 所以当时，此时点M（1，0，0）13 求到点A(1 , 0 ,1)与点B(3 , -2 , 1)距离相等的点P的坐标满足的条件。解：设点P的坐标为(x ,y , z)

14、 , 则, 化简得4x-4y-3=0即为所求.题型2、空间直角坐标系和两点间距离公式的综合应用。例2、正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM=BN=。当为何值时，MN的长度最短？解：平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEF=AB，平面ABCD。AB、BC、BE两两互相垂直，所以以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系。则所以当时，|MN|最短为，此时，M、N恰好为AC，BF的中点。【技巧总结】：考虑到几何图形中出现了两两互相垂直的三条直线，所以可以以此建立空间直角坐标系，

15、利用两点间距离公式可以求得线段MN的长度，并利用二次函数的最值，求出MM的长度的最小值。体现了空间直角坐标系这一重要工具的应用。【变式与拓展】四棱锥S-ABCD的底面是矩形，AD=2，SA=1，且底面ABCD，若边BC上存在异于B，C的P，使得是直角，求的值最大值。解：以A为原点，射线AB，AD，AS分别为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0）、S（0，0，1）、D（0，2，0）。设是直角，即，当时，的最大值为1。三、基础练习：1、若已知A（1，1，1），B（3，3，3），则线段AB的长为（ ）A4 B2C4D3答案：A2设A（3，3，1），B（1，0，5），C（0，1，0），AB

16、的中点M，则（ ）ABCD答案：C 解析：AB中点的坐标为（2，3），利用两点间距离公式可得。3、点B是点A（1，2，3）在坐标平面内的射影，则OB等于（B ）ABCD答案：B 点A在平面的射影为B（0，2，3），利用两点距离公式可得。4、已知A（1，2，3），B（3，3，m），C（0，1，0），D（2，1，1），则（ ）A>B<C D答案：D 解析：，5、已知点A的坐标是(1-t , 1-t , t), 点B的坐标是(2 , t, t), 则A与B两点间距离的最小值为答案：解析：6、如图，已知正方体的棱长为a，M为的中点，点N在上，且，试求MN的长解：以D为原点，建立如图空间直角

17、坐标系因为正方体棱长为a，所以B（a，a，0），A'（a，0，a），（0，a，a），（0，0，a）由于M为的中点，取中点O'，所以M（，），O'（，a）因为，所以N为的四等分，从而N为的中点，故N（，a）根据空间两点距离公式，可得四、达标训练：1、已知与B（0，10，2）间的距离是17，则的值是（ ）A、6 B、 C、8 D、答案：D 解析：2、设A（3，6，9），B（-2，4，6），C（-7，2，-3），则A，B，C三点（ ）A、共线且点A在线段BC上 B、共线且B在线段AC上 C、共线且C在线段AB上 D、构成三角形答案：D3、已知长方体的边长为AB=3，AD=6，

18、M在上，且，N为的中点，则点M、N间的距离为 （ ） A、3 答案；C 解析：分别以AB、AD、所在的线段为轴的正半轴建立空间直角坐标系，则可得M（2，4，4），N（3，0，3），则4如图，三棱锥ABCD中，AB底面BCD，BCCD，且AB=BC=1，CD=2，点E为CD的中点，则AE的长为（ ） ABCD答案：B 5、已知空间两点A（-3，-1，1），B（-2，2，3），在OZ轴上有一点C，它与A、B两点的距离相等，则C点的坐标是答案：（0，0，）6、点B是A（3，-1，-4）关于轴对称的点，则线段AB的长是答案：10 解析：由题意知B（-3，-1，4），则根据两点间的距离公式求得7、到两定点A（2，3，0）、B（5，1，0）距离相等的点的坐标满足的条件是答案：8、已知A(1,2,-1),B(2,0,2) (1)在轴上求一点P，使|PA|=|P