第五章 导数的应用

1、第五章 导数的应用为了更深刻研究函数的形态，本章着重研究函数的中值定理及其应用。要研究函数在整体（区间）上的某些性质，中值定理起了重要的作用，特别是导数的许多重要应用都是建立在中值定理基础之上。基本内容：基本概念：函数之极值概念，函数的最大最小值概念及曲线的凹凸性、拐点、渐近线、曲率等概念。基本运算：用罗必塔法则求函数极限、函数的泰勒展开式、求函数的极值及最值，函数图形的描绘。基本理论：中值定理、函数具有增减性的必要条件及判别函数增减性的充分条件，函数具有极值的必要条件及判别函数极值的充分条件，判别曲线凹性及拐点的定理。具体应用：描绘函数图形。本章重点：拉格朗日、柯西、泰勒中值定理，及用导数判

2、定函数的增减、凹性、极值等。本章难点：拉格朗日、柯西、泰勒中值定理证明，及描绘函数图形和应用问题。课标导航1会叙述四个中值定理，并会证明罗尔中值定理、拉格朗日中值定理；2会用罗必塔法则求各种不定式的极限；3熟练地掌握基本初等函数的泰勒展开式（主要指五种），并利用以上公式展开一些初等函数；4会用导数求极值及作函数图形（判别增减、凹性、渐近线等）；5能解决简单的应用问题（最大值、最小值问题）。一、知识梳理与链接（一）基本概念1驻点：导数等于零的点称为函数的驻点（或稳定点、临界点）。2拐点：曲线的凹弧与凸弧的连接点（或分界点）称为拐点。3不定式：在自变量的某个变化过程中，函数的极限为、型，我们把、型

3、称为不定式。其中常用的是、这两种类型，至于都可以经过适当的变形化为、型。4罗尔中值定理的几何意义：函数表示的曲线在开区间内至少存在一点处的切线平行于轴。5拉格郎日中值定理的几何意义：函数表示的曲线在开区间内至少存在一点的切线平行于曲线在闭区间两端点的弦所在的直线。6曲线凹凸性的概念设函数在区间上连续，如果对上任意两点，恒有，那么称在上的图形是凹的（凹弧）；如果对上任意两点，恒有，那么称在上的图形是凸的（凸弧）。7极值的概念设函数在点的某邻域内有定义，如果对去心邻域内任意一点，有，则称是函数的一个极大值（或极小值）；点称为函数的一个极大值点（或极小值点）函数的极大值和极小值统称为函数的极值；极大

4、值点和极小值点统称为函数的极值点（二）定理、公式、法则、方法1中值定理【费马引理】设函数在点的某邻域内有定义，并且在点处可导，如果对任意的，有，那么【罗尔定理】如果函数满足：（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导（3）则在开区间内至少存在一点，使得【拉格郎日中值定理】如果函数满足：（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导则在开区间内至少存在一点，使得【推论】设函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上是一个常数。【柯西中值定理】如果函数满足：（1）在闭区间上连续（2）在开区间内可导，且则在开区间内至少存在一点，使得【泰勒中值定理】如果函数在点的某邻域内有直至阶导数，则对该邻域内任何点，有泰勒公式

5、：其中：【马克劳林公式】 2罗必塔法则设是或型，若满足：（1）当（或）时，均存在，且 （2）则=3取得极值的必要条件如果函数在点处可导，且在处取得极值，则4函数增减性的判定法如果，则函数在上是单调增加；如果，则函数在上是单调减少。5函数凹凸性的判定法如果，则函数在上的弧段为凹的；如果，则函数在上弧段为凸的；6函数拐点的判定法如果，且在点的左、右两侧变号，则点称为曲线的拐点。7曲线在点的曲率计算公式 8求函数的极值的方法【第一判别法】（1）在函数的定义区间内求函数的一导数，并求出其全部的驻点和不可导的点；（2）考察以上点左、右两侧的符号；（3）若异号，则为极值点。若左正、右负，为极大值点，为极大

6、值；若左负、右正，为极小值点，为极小值.【第二判别法】若函数在点具有二阶导数，且， 那么，当时，函数在点取得极小值；当时，函数在点取得极大值.【注意】时，函数在点可能取得极值，也可能不取得极值。9求函数的最值的方法在函数的定义区间上求出其全部的驻点和不可导的点；计算这些点的函数值及；比较这些函数值的大小，哪个大就是函数的最大值，哪个小就是函数的最小值。10函数图形描绘的方法（1）确定函数的定义域，考察其周期性、奇偶性，求出函数与坐标轴的交点；（2）求与，算出、的实根及不可导的点；（3）利用上述的点把定义域分成若干个小区间，确定这些区间内与的符号，从而判定函数图形的单调性、凹凸性、极值和拐点；（

7、4）考察函数图形的渐近线如果，则直线是曲线的垂直渐近线；如果，则直线是曲线的水平渐近线；如果，则直线是曲线的斜渐近线。（5）在直角坐标系下，定出以上各点，画出渐近线，依据函数的图形的单调性、凹凸性、极值和拐点将点用光滑的曲线连接起来，即得所求函数的图形。二、友情提醒与内容强化解读1中值定理这些中值定理使得对改变量的研究转为对导数的研究，这种研究形式的转变并不是一种无聊的游戏，它是数学学科最有力的杠杆之一。中值定理是研究函数值与导数之间关系的定理，有了中值定理才能利用导数全面地研究函数的各种性态，必须正确地理解四个中值定理中的条件和结论，以后才能准确地应用它们。所谓中值定理并非指一个定理，而是指

8、罗尔、拉格朗日、柯西、泰勒四个中值定理。这些定理都有一个共同的特点，就是函数在一定条件下，在给定的区间中间，至少存在着一点，使得在此点的函数值具有这样或那样的性质，通常称之为中值定理。2中值定理的结论中可能不止一个，但至少有一个；中值定理的条件是充分的非必要的，缺少一个都不行，缺少了就可能导致结论不成立。中值定理结论中的只说明在开区间内至少存在即可，未指出的求法。以罗尔中值定理为例加以说明若函数满足罗尔中值定理三个条件，则至少存在一个，有，即可能不止一个，但至少有一个。如满足罗尔中值定理三个条件，满足的有，即有两个值0和，都能使.函数它不满足罗尔中值定理的条件（1），而满足（2）和（3），得不

9、出定理的结论，因为在（0，1）内任一点都有，找不到使.函数，它在上满足罗尔中值定理的条件（1）和（3），在处不满足（2）所以不存在使，事实上，在时，；在上，.函数，它在上满足罗尔中值定理的条件(1)和(2)，但不满足(3)，所以不存在使，事实上，在上，.中值定理的三个条件是充分的，而不是完全必要的，如果三个条件有一个不满足，定理结论仍有可能成立。例如不满足罗尔中值定理的条件(1)和(3)，但存在一点，使得.3若把罗尔中值定理中的条件（1）去掉，把条件（2）改为在区间上可导，定理结论仍然成立，因为在区间上可导，则在区间上必连续，在内也可导，事实上修改后的条件包含了定理中条件（1）和（2）.4作辅

10、助函数加以证明定理，是高等数学中一种高明手法，应该注意揣摩，例如拉格朗日中值定理，也可作辅助函数来证明，象；又象等。（1）如果拉格朗日中值定理中的，就成为罗尔中值定理，故罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例；（2）拉格朗日中值定理改写为时，有，右端是的准确值，往往比微分更有价值，拉格朗日中值定理又称为有限增量定理，因有限，故当有限时也有限。（3）虽然由拉格朗日中值定理可得 ，但这不能取代柯西中值定理，因，未必相等，即在内不一定存在同一个，使得.如在0,1上拉格朗日中值定理成立的，在0，1上拉格朗日中值定理成立的.（4）柯西中值定理包括拉格朗日中值定理，只要取即为拉格朗日中值定理。5泰勒公式微分

11、式是“以直代曲”的一阶近似，而泰勒公式则研究的是“以曲（多项式）代曲（函数）”的高阶近似。运用泰勒公式应要求两曲线满足：（1）有公共点（2）在有公共切线（3）直到阶导数值相等（在点的某邻域内有直至阶导数）.可构造出，两者的误差(即余项)为，即（拉格朗日型余项）或（皮亚诺型余项）若有界，则，根据它按规定精度选择适当多的项进行近似计算，误差估计尤为重要。在运用泰勒中值定理时，除了要求函数在点的某邻域内具有直到阶导数外，还要特别注意余项是否是比为高阶无穷小，即（当时），只有满足（）时，展开成多项式才是有效的，用以后的话说，级数才收敛于，泰勒无穷级数不考虑余项是不能用的。6四个中值定理之间的关系如下罗

12、尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广；拉格朗日中值定理是泰勒中值定理的特殊情况，泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广。7罗必塔法则求、型的极限，初学者颇感束手，罗必塔法则简便易行，为此类问题开辟通道。（1）利用罗必塔法则求、型的极限时，有时需要接连运用几次即可完成。（2）当自变量趋于有限数时，罗必塔法则的条件不要求、一定在连续，使适应性更高更广。在用柯西中值定理推导此法则时，对可去间断点要补充定义，这对结果无影响，因极限过程并不须达到点。（3）在大多数情况下，求导数之比的极限比求

13、函数之比的极限容易，因为用代替,正是分子分母均“以直代曲”，然后取极限的结果。（4）法则对于的单侧极限也是适用的。（5）任何事情都是相对的，并不是绝对的，罗必塔法则也是如此。如：等本法则就失效了。这并不奇怪，因为法则说当有极限时有极限，反之并没有去保证。为此使用本法则时必须每步都要检查是否符合条件，以防止误用。8不能够用罗必塔法则来证明重要极限如果使用了罗必塔法则，那么有结果当然是正确的，但在以上使用罗必塔法则的过程中，用到了求导公式，而这个公式正是建立在极限的基础上，故利用罗必塔法则来证明这个极限在逻辑上犯了循环论证的错误。9因为对数列来说不存在导数，所以不能直接用罗必塔法则求、型的数列极限

14、，但、型的数列极限可以间接地使用罗必塔法则来求它的极限。构造、型的函数极限，其中，如果该极限满足罗必塔法则的条件，那么先利用罗必塔法则求出极限，然后利用得出所求的极限。然而当不存在时，不能断定也不存在，这一点值得注意。10函数的单调性函数的单调性判别法直接用途有二：一是判断函数在某区间上的单调性；二是求出函数的单调区间。函数在一点增加（减少），实质上指在点的邻近范围内函数的动态方向，若，可由左、右邻近点处的符号判断；若或，也就是函数在有限个某些孤立点处有，它不影响函数的单调性。例如：的孤立点；又的孤立点不影响它们的单调性。11判别函数增减性的定理是充分条件，如果函数的导数在区间上是正的，即，函

15、数在上单调增加；如果函数的导数在区间上是负的，即，函数在上单调递减.如果在区间内有有限个点，使=0，即在区间内，即使有有限个点使=0，定理结论仍是成立的。证明如下：证：假定>0情况，有，>0，总存在一个，有>0，由拉格朗日中值定理 得 即 同样：，得，即 证毕。作一个特例，如，并不影响的增减性。读者可考虑再深一步：若有无穷多个点（但不充满整个区间）使，定理结论是否成立？12在求函数单调区间的过程中，如果上连续，在解出方程的实根后，不能肯定在区间内的符号是相反的，例如：函数，.， 显然，而在及内符号是相同的。如果要求函数的单调区间，只要令，解这个方程，求出在区间内的全部实数根，

16、并按从小到大的顺序排列为：.确定各个区间的符号，由充分条件，就可判定函数在各个区间内的单调性。13判别函数极值的第一充分条件表明：若经过变号，则一定是极值。然而本判别法的条件是充分的，不是必要的，如果条件减弱，结论有可能成立。例如，函数是极小值虽然，但是不存在，使在与异号。14判别函数极值的第二充分条件，当遇到时，函数在处究竟有没有极值，这里可以提供更进一步的判别法，除了用第一充分条件判别外，还可以用高阶导数的性态来判别，这超出了教学大纲的要求，本处只介绍方法而不予证明。若函数处具有直到阶连续导数，并且，而，则当为奇数时，非极值；当为偶数时，为极小值。当为偶数时，为极大值。例如，在处无极值；例

17、如，在处有极小值；例如，在处有极大值。请就当时，即，读者试证上述结论的正确性。15函数的极值和最值极值是函数的局部的性态，而最值是函数在整个范围内的最大或最小，是整个范围内的性态。函数的不可导点也可能是极值点，在它的左、右两侧可导（即存在），若变号，即改变增减性，则为极值点；如果在它的左、右两侧的符号不变，则必非极值点。函数的极值的第一判别法是个充分条件非必要，即如函数在点处取得极大值，函数在点左侧未必单调递增，在右侧未必递减，像函数，当时，所以在点处有极大值，但时，在处，因此，在点处的任何左邻域及右邻域内，的取值既有正的又有负的，从而在点处的左侧非单调增加，右侧非单调减少。虽然函数的极值的第

18、二判别法比第一判别法简便，但对函数的要求更强，如极值点的一阶导数不存在或二阶导数为零就不能使用本判别法，只能用第一判别法。若讨论的函数在有限或无限区间内只有一个驻点，且从实际问题可知必有最值，则该驻点必是最值点，不需要再与边界值等比较判断之。16如果函数在闭区间满足罗尔定理的条件，那么在开区间内至少存在一点，使得，在这里未必是函数的极值点。例如函数上满足罗尔定理的条件，若令可得. 由在内单调增加知并不是的极值点。事实上，罗尔定理结论中的点在内可以存在多个，其中有的可能是极值点，但未必所有的都是极值点。17拐点若，但点也不一定是曲线的拐点。如，但（0，0）点不是曲线的拐点；在点左、右两侧符号变号

19、，点也不是函数的拐点，而点才是拐点，因为拐点是凹弧与凸弧的连接点，在曲线上。虽然在点左、右两侧符号变号，但拐点起码应是函数的连续点，否则不是。18作图函数的图象使函数的各种性态跃然纸上，令人一目了然，作图时首先要综观全局，了解特征，然后再依步骤动手细求之。三、典型例题分析浏览及解题方法技能技巧解读（一）求函数满足中值定理的值例1 设函数，求满足罗尔中值定理的值解因在1，2上满足罗尔中值定理的三条件：连续、可导，所以存在，满足，同理，存在，满足 即有例2 设函数，求满足拉格朗日中值定理的值解因为在0，1上连续，在（0，1）内可导，由拉格朗日中值定理得 即，而不在（0，1）内，例3设函数，求满足柯

20、西中值定理的值解与在上连续，在（1，4）内可导，且有柯西中值定理得 即【注意】这里所举之例，只是说明若函数满足某中值定理的条件，必定存在，使我们加深对定理的深刻认识，无须把精力集中在求值上面，事实上中值定理的结论有一个共同的特点，即肯定的存在，并未提供如何求的方法。（二）验证中值定理的正确性例1 对函数，验证罗尔中值定理是否正确.解因为，又为初等函数，在上有定义，所以在上连续；在内可导，且所以 在上罗尔中值定理成立。例2 若，拉格朗日中值定理对于函数在上是否正确.解法一，在内，但在处不可导，故此函数在上不能用拉格朗日中值定理。解法二（反证法）若函数在上能用拉格朗日中值定理，而 产生了矛盾，所以

21、当时，函数在区间上不能用拉格朗日中值定理.（三）运用中值定理进行简单的推理证明例 若函数的导数恒为常数，试证明是线性函数【分析】设，若能证明，则是线性函数证明 由于函数可导，所以连续，取内一切值，均满足拉格朗日中值定理条件。任取，在该区间上当然也满足定理条件。故存在，使得，所以有由于是一个固定点，就是一个常数，不妨记为，则.（四）会用罗必塔法则求各种不定式的极限利用罗必塔法则求极限时，要注意将（或）代入式中，看看原式是否为不定式，如果不是，就不能用此法则；在重复使用罗必塔法则时，必须每步都作检查，一旦发现不是不定式，就要停止使用。例1 求解例2 求解【注意】此例的第二步若仍用罗必塔法则就是错误

22、的了。例3求解【注意】此例如果不化简，看成型，直接应用罗必塔法则去做，计算较繁。例4 求解【注意】对于型，有时需要先通分，化成其它不定式，再运用罗必塔法则，往往比较简便。例5 求解【注意】求（型）的步骤为将原式写成把化为或型，再用罗必塔法则，可求得极限为或不存在）；则，或不存在）。这步往往容易丢掉，应特别注意。例6 能否用罗必塔法则解若用罗必塔法则计算 后一个极限不存在，故不能用罗必塔法则求其极限，事实上 【小结】运用罗必塔法则时，应注意以下几点检查所求极限是否属于不定式，只有是、型不定式时方可直接运用罗必塔法则，其它型应先化为、型再运用法则；当不存在时，不能断定也不存在，只能说明此时不能用罗

23、必塔法则（如例6）；应用罗必塔法则一次未成，仍可继续用之，直到成功为止，尚若不是不定式就不能用本法则；在每次使用罗必塔法则时，都应先尽可能化简，然后再考虑是否继续使用法则，有时发觉用其他方法计算极限很方便时，就不必用罗必塔法则了。总而言之，罗必塔法则是求不定式极限的一种很有效方法，但不是万能的，并不是都能用罗必塔法则求出不定式的极限的，如例6，我们要依据具体问题的特点选用恰当的方法。（五）用泰勒公式求极限泰勒公式在许多情况下对于极限的计算是很有用处的.例1 求【分析】这不是不定式，按通常的办法求极限是很困难的，可考虑用函数的马克劳林展开式求之。解令，则当时，原式=，因为分母为二次，所以只要将展

24、开成二次多项式故原式=例2求【分析】此题是不定式型，若用罗必塔法则需反复运用六次方能得出结果，如果用的马克劳林展开式，就简便多了。解故原式=【小结】用泰勒公式求某些极限是很方便的，但关键是确定函数展开成多项式的次数。（六）利用泰勒公式作近似计算例 计算解 令，取 为了估计误差，在各因式中略去，取，将代入则 按题意要求有，即由观察及验算知时，有1000049152 故【注意】泰勒中值定理提供了多项式逼近函数的方法.当时， 即用线性函数去近似（在很小范围内）函数；当时， 即局部用抛物线近似函数等等，在近似计算中广泛应用。（七）证明不等式某些重要的不等式，往往可以通过研究函数的单调性及极值来得到证明

25、。例1 试证：当时，有不等式 .【分析】证明不等式可以逐个证明不等号成立，然后再连起来，欲证，只需证.设 则，单凋递减，而，当时 即又设 则，（由上而知）。单增，而，单增，又因，即综合以上两式可得例2 试证：.证 同例1中分析，对不等号逐个加以证明(1) 设，因为所以在时单调增加。又因，所以，即(2) 设，因为.所以在时单调增加，又因，所以，即由(1)和(2)的讨论，有（八）函数单调性的判断及单调区间的划分（九）函数凹凸性的判断、凹凸区间的划分及拐点的求法（十）描绘函数图形在研究函数性态的基础上，综合运用本章所学的知识，即可描绘函数的图形。例 试作函数的图形【分析】作函数图形，须把函数下列特征

26、反映出来：函数的定义域、图形和坐标轴交点、单调区间、曲线的凸凹性和渐近线。解(1)函数的定义域为和.由直线和直线所围成的带形区域内，没有的图形。（2）曲线通过原点.（3）求单调区间（曲线的升降区间）用对数求导法，求得 令，得驻点当，故；当时，故；当时，故；时，函数取极小植，即点是曲线上比邻近诸点都低的一点。（4）确定曲线的凹向区间仍用对数求导法，求二阶导数得：由的表达式知，在(-,0)和(,+)内，故曲线是处处是凹的，无拐点。（5）确定曲线的渐近线，即曲线无水平渐近线，即为曲线的铅直渐近线。 则即 ，为曲线的一条斜渐近线。又 则图51即 ,为曲线的另一条渐近线。（6）为作图方便，再找一些辅助点。，即为曲线上一点；，即为曲线上的一个点。（7）列表作图00无0无0无图形无极小值【小结】关键是抓住“两个点”与“一条线”，如此不难把函数的图形描绘出来。两个点指的是：极值点曲线升降的分界点；拐 点曲线凹向的转折点。一条线指的是：渐近线曲线的变化趋势或走向。（十一）求最大最小值问题在各种科学中，几乎毫无例外地都要在一定条件下寻求最优的问题，作为特例，只介绍定量方面问题的最优解，而局限于教学内容，又只能介绍求最大最小值方面的问题，就这一微小的范围