图形计算器在数学学科中的整合应用

1、图形计算器在数学学科中的整合应用目录一、图形计算器在数学教学中的核心应用21、辅助对概念的理解22、深刻揭示知识的内在联系23、使复杂问题简单化34、提高课堂教学的效率35、可以让学生成为课堂的主人46、做数学，做科学57、为学生插上翅膀：探索和创新活动58、实验归纳教学79、探索归纳教学810、直观验证教学911、加深对函数的理解，挖掘函数思想方法，领悟数学的本质912、有利于掌握函数重点，突破函数难点，构建完整的函数体系1013、有利于解决函数型实际应用问题，逐步培养科学研究的态度和意识1114、提高学习兴趣和教学效率，改变学生被动地位，发挥学生的主体作用1215、图形计算器为学生进行“数

2、学实验”提供了理想的工具与环境1216、有利于学生从函数观点深入探索方程（组）、不等式与函数之间的内在联系1317、利用图形计算器进行程序设计，体验信息时代的程序思维14二、代数演算的功用介绍与应用141、代数演算简介142、代数演算操作说明153、代数计算函数命令184、代数演算范例425、代数演算范例视频58三 数学画板的功用介绍与应用581、数学画板功用简介582、数学画板操作说明593、数学画板应用范例1084、数学画板视频教程和案例视频120四、优秀教学设计案例1201、一次函数（人教版 八上 第十一章第二节 福建龙岩四中 李艳平）1202、平行四边形的性质（华师大版八上 第十六章第

3、一节 四川自贡市汇东实验学校 高力）1283、直角坐标系中的图形（鲁教版七上 5.3 山东威海皇冠中学 于敏香）138五、学生活动案例145活动课题1：用诺亚舟代数演算探究一元二次方程的近似解145活动课题2：用诺亚舟数学画板探究圆周角的性质定理148一、图形计算器在数学教学中的核心应用可以使用图形计算器进行教学改革试验的重点内容有： 平面几何中对图形的研究。包括：三角形、四边形、圆这三类基本图形中，各几何元素，各图形之间的位置关系，全等与相似，面积的计算，图形的各类变换，包括对称变换、翻折变换、旋转变换、等积变换等。初中所学的函数内容中对所学图象的研究，包括：直角坐标系，一次函数，反比例函数

4、，二次函数等函数的图象与性质，简单的图象变换。高中幂函数、指数函数、对数函数中，对函数图象的研究，包括：幂函数、指数函数、对数函数图象的画法，性质的研究，互为反函数的函数图象间的关系，函数奇偶性的几何解释，函数单调性及其应用，函数的最大小值，图象的对称、平移、翻折变换，复合函数以及利用函数图象解方程，解不等式。三角函数、反三角函数中，对正、余弦函数，正、余切函数以及反正弦、反余弦函数图象与性质的研究。尤其是对称性、周期性和图象的平移变换、伸缩变换，以及单位圆和三角函数线。解析几何中，对所学曲线的研究，重点是椭圆、双曲线、抛物线的画法，几何性质，各参数对各曲线形状的影响。直线与圆锥曲线，圆锥曲线

5、与圆锥曲线的位置关系，动点的轨迹，坐标轴的平移，以及极坐标与参数方程等。1、辅助对概念的理解对于数学概念理解的深浅，直接决定了数学学习的优劣。数学成绩不理想的学生中有相当一部分是对于数学概念的理解不够深刻。比如我们对三角形内角和180度,我们通过拖动三角形任意一顶点改变三角形方向,可以很直观理解任意三角形的内角和都为180度.2、深刻揭示知识的内在联系许多知识之间有着千丝万缕的联系，甚至是密切的联系。每一位优秀的教师都在努力地揭示这种内在的联系，图形计算器在这方面也起到积极的作用。 函数与方程的关系,用函数图象去理解方程组的解.比如说二元一次方程组就可以看作是两条直线,方程组的解就是直线的交点

6、. 3、使复杂问题简单化一些比较复杂的问题，往往由于作图、运算等过程比较繁琐，经常会冲淡课堂教学的主要内容，图形计算器在此时能起到很好的助手的作用。比如，我们对杨辉三角形的研究.4、提高课堂教学的效率图形计算器的使用可以提高课堂教学的效率。比如有时需要对系数较大的二次三项式进行因式分解，对一元三次方程求解等，这些内容往往不是教学的重点，却耽误课堂的许多宝贵时间，使用图形计算器的代数功能，可以化解这方面的矛盾，达到提高课堂教学效率的目的。5、可以让学生成为课堂的主人现代教育技术进入普通课堂，师生人手一台图形计算器配合课堂教学。这样的数学课突出学生主体，以及学生在教师引导下的主动参与、自主探索和规

7、律发现的知识形成过程。例如我们利用三个变量来控制二次函数的三个系数,我们可以让学生通过画图象来直观感受相关性质,如开口方向,大小,图象的平移变化等.实例1：三角函数的性质为了方便利用数学画板作图，我们以三角函数公式替换。三角函数的性质(1)a对函数的影响拖动A点改变a的取值，从而改变了函数值的极大与极小值。(2)b对函数的影响拖动B点改变b的取值，从而改变了函数的图象的周期。(3)c对函数的影响拖动C点改变c的取值，从而改变了函数的图象的初相6、做数学，做科学设立数学实验室或数理探索者选修课，以综合理科的研究性或探究性教学为主要特色，通过配合理化探讨的探索活动，重点发展学生数学知识应用，综合理

8、科分析和创新实践能力。实例1：水的降温过程与指数函数(a) 采集数据并连线1 采集数据（1.0000，41.0000），（2.0117，40.3400），（3.0234，39.5900），（4.0351，38.7400），（5.0468，38.1300），（6.0586，37.4100），（7.0703，36.8100）2作图，描点如图，观察分析函数图像可猜想位指数函数，然后选择函数拟合，把点ABCDEFG从左边添加到右边，确定得到图像和函数表达式如图。 7、为学生插上翅膀：探索和创新活动既在数学课堂教学中应用，也让学生带着研究课题在课外活动中自主探索和实践，图形计算器成为学生随时随地探索数学

9、和科学的工具，为学生创造更好的技术条件和强大支持。实例1：一个动点的轨迹问题问题：等腰直角OAB的顶点O在原点，A在定直线y=1上运动，求动点B的轨迹？如图，拖动点A，点B会留下相应的轨迹。基本问题作图：轨迹图：（这里只作出一种情况的轨迹图）探索问题1：如果条件中的定直线改为一个定圆或其他，动点B的轨迹会怎样？把定直线改为定圆，点B轨迹如下图。 探索问题2：如果条件中的等腰直角三角形改为一个等边三角形、正方形或其他，又会产生怎样的结论？把等腰直角三角形改为等边三角形及正方形： 思考问题：从以上的探索过程中，可以有怎样的猜想？如何验证？还有其他的探索吗？首先，增强了学习的趣味性，吸引了学生的注意

10、力，激发了学习热情，确立了学生在学习过程中的主体地位，有利于学生学科知能体系的自主构建。就数学课而言，尤其是高中的数学，许多内容比较抽象，不容易在日常生活中感到它的存在，因此学生容易觉得数学看不见摸不着。而计算器的使用，给了他们一种直观的新鲜感，大大刺激了学生的视觉器官，从而激发学生的学习动机。计算器的使用改变了以往教师讲、学生听的教学模式，让学生自己动手，参与到教学中来，从自己的活动中自主建构知识。由于图形计算器的强大功能真正实现了数形结合，有力地帮助了学生理解许多概念。8、实验归纳教学实验归纳模式是指在课堂教学中，学生在教师的引导下，根据教材内容，利用图形计算器，自主地做数学实验，通过对实

11、验结果的观察、分析和讨论，归纳出规律或结论的教学模式这种教学模式注重学生的动手能力、观察能力、概括归纳能力以及发现知识的策略和方法的培养这种教学模式不仅充分体现了现代教学技术的作用，还使学生认识了 ，数学不仅是一门逻辑科学，也是一门实验科学，这一现代数学观例如三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。1 如图，用多边形工具作一个任意ABC2 用测量工具测出三边长度，以AB边为例进行实验，利用计算工具求AC+BC和AC-BC3 对比观察数据，利用移动点工具任意拖动三角形的顶点改变三角形的形状，同时观察数据变化，验证猜想，然后通过归纳总结并进行数学论证。4 过点C作AB的垂线交AB于点D，通

12、过斜边大于直角边可以进行论证。 9、探索归纳教学数学课的教学目标不仅仅教会学生一些必要的数学知识，更深层次地，应该通过数学课的教学，培养学生的创新意识、创造精神和发现能力。探索归纳发现是创新和发明的基本思维框架。数学教材中，存在着大量的可采用上述框架进行学生思维活动的教学内容。因此在教学过程中应根据教材内容的特点，采用探索归纳模式的教学改革与实验，从而提高学生的创新意识和发现能力。例如，任意一个四边形的中点连线是一个什么图形？作图如下，通过拖动四边形的四个顶点改变四边形的形状来进行探讨，通过观察数据的变化（两组对边分别相等。），总结归纳后可以发现：无论怎样改变四边形的形状，它的中点连线都是一个

13、平行四边形。把图形计算器引入课堂教学，给教学过程中学生的探索与归纳提供了更方便更快捷的条件，更有利于他们猜想与发现。10、直观验证教学数学课比较强调严格的逻辑证明，这对于培养学生的逻辑思维能力是有好处的。但严格的演绎证明也不是万能的，并不是维一的证明方法与思维模式。在教学过程中应从多角度培养学生的思维活动，既要学会由特殊到一般的思维方法，也要学会由一般到特殊的思维形式，猜想出来的结论可以采用演绎的方法进行严格的逻辑证明，也可以采用个例进行验证，虽然个例验证不是严格的数学证明，但也不失思维训练的意义。直观验证的教学模式就是使用图形计算器验证所猜想的结论，实践由一般到特殊的思维过程。例如，平行于三

14、角形一边，交三角形另两边所组成的三角形与原三角形相似。根据两直线平行，同位角相等，及两组对应角相等，两三角形相似可证得这两个三角形相似。11、加深对函数的理解，挖掘函数思想方法，领悟数学的本质 教材的编写有其严密的逻辑体系函数知识的编写遵循着由简单到复杂，由特殊到一般再到特殊的认知规律在传统教学中限于技术手段，往往不能很好地呈现函数知识的形成过程，展现函数知识的内涵，挖掘函数知识蕴含的重要思想方法，领悟数学的本质，虽然学生通过一段时间的学习能解决一些问题，但对函数知识的认识往往是一知半解、残缺不全现在利用图形计算器等信息技术手段，由“静”到“动”，“微观”到“宏观”地展现知识的形成过程，有利于

15、学生构建完整的知识体系例如，到两个定点之和等于一常数的点的轨迹会是一个怎么样的图形呢？利用数学画板作出它的形成的过程，可以形象地进行学习研究。利用信息技术构建的高中数学教学改变传统教学中学生围着老师转的教学模式，学生从以往的听众变成了积极的参与者，真正成为课堂的主体把原来的数学学习过程转变成为自己学习数学的过程，使学生体会到知识产生的过程，从而对数学有更深刻的认识，产生更深刻的求知欲，也进一步激发了学生学习数学的积极性 12、有利于掌握函数重点，突破函数难点，构建完整的函数体系 函数的概念、函数的性质、基本初等函数是函数知识的重点，是函数知识的支撑，这些内容的理解掌握，对函数知识的学习至关重要

16、函数的概念、反函数、复合函数是函数知识的难点，对难点知识的突破，有利于构建完整的知识体系在传统教学中，对重点知识的教学往往不直观、不具体，不是水到渠成，总有强加于人的感觉，揭示不深刻，不利于知识的理解掌握；对难点知识的教学往往说不清道不明，蜻蜓点水，浅尝辄止，不能有效突破利用图形计算器可以直观、形象地揭示知识间的联系，有利于掌握重点突破难点 例如，二次函数，它图象的开口大小，对称轴的位置及函数的顶点位置与参数a,b,C之间存在怎样的关系呢？利用数学画板，做出函数的图象，然后改变它们的赋值，从而能够形象具体地进行理解它们之间的内在联系。1 建立参数，做出函数的图像，然后改变参数的值2 改跟踪函数

17、图像，保持b,c不变变参数a的值，观察轨迹变化同时对应a的数值3 保持个参数a,c的值不变，改变参数b的值，观察轨迹变化同时对应参数b的值。4 保持参数a,b不变，改变参数c的值，观察轨迹变化同时对应参数c的值 利用信息技术构建的高中数学为学生营造了一个“探索数学”，“体验数学”的环境，大家可以做实验，互相讨论，积极思维，互相协作，大胆猜想，踊跃发表自己的观点，参与感比较强，在实验中学习，数学课也不枯燥了信息技术给我们带来了生动形象的数学，以其图像的快捷性和直观性为进一步探索数学提供了必要的条件有利于逐步培养学生科学研究的态度和意识 13、有利于解决函数型实际应用问题，逐步培养科学研究的态度和

18、意识 利用数学知识来解决实际问题的一般方法，是把实际问题加以抽象概括，得出关于实际问题的数学描述，建立相应的数学模型，利用这些模型来研究实际问题 例如，一公司稳定发展期，其中连续三个10年的收入如下：11.3亿，19.5亿，30.6亿，请预测下一个10年的年收入额？图为通过坐标点工具描点，然后利用函数拟合做出拟合函数图像，从而得到预测结果。由图可得出，下一个10年的收入将以53.33亿为基准。实际应用问题的解决关键在于数学模型的建立，函数模型的建立步骤是：确定变量，收集数据；根据收集的数据画出散点图；根据散点图选择恰当的函数；建立函数关系式也就是对变量进行回归分析，得出回归方程，并进行相关性检

19、验这一过程需要大量的运算，甚至无法用纸和笔来解决，使我们对问题的解决变得厌倦甚至放弃而利用图形计算器的函数拟合功能，使得对一些采集的实验数据进行分析，建立适当的数学模型变得轻松、容易传统应用题由于受信息技术条件的约束，背景不丰富，远离时代，和学生的实际结合得不紧密，大量数据需要人为加工，题目还常常有明显的解题途径的暗示（如上例的教材解法），所以学生难以通过解这些题，提高自己数学建模的能力，领会问题解决的思想由于有图形计算器和计算机这些信息技术工具，就使得运算繁杂、作图困难、数据处理难度大的问题，特别是一些具有真实背景的实际问题的解决成为可能借助图形计算器，将实验、尝试、模拟、猜想、检验、调控、

20、运算、推理、证明等作为数学学习的重要方式，更加重视学生的亲身实践活动，促进高层次数学思维，提高数学思考力度让学生“看到”他们以往只能想象的数学，“做”他们以往不可能做的数学，使学生感受到实实在在的数学 14、提高学习兴趣和教学效率，改变学生被动地位，发挥学生的主体作用图形计算器的有效利用，不仅可以大大增强函数学习的直观性，克服思维发展水平的局限，提高学生学习的兴趣和教学效率，而且有利于改变学生的被动接受的学习方式，充分发挥学生的认知主体作用。如利用图形计算器生成各种初等函数图像，通过跟踪功能、自动列表功能、动画显示功能等多种表示方式呈现变量之间的相依关系，真实地再现函数图像的生成过程，加深学生

21、对函数图像特征、函数概念本质及其性质的理解，使得 “多重表示与表示的相互转换” 这一重要函数学习理论的实现成为可能，即同一函数关系可以用四种不同的方式列表、文字描述、图像、解析表达式来刻画。这为具有不同认知风格的学生或同一学生从不同角度理解函数的本质内涵提供了可能。例如，做函数关于的对称图象。如图，在函数图像上任去一点C，然或利用关于一线对称工具做出点C关于直线的对称点D，然后跟踪点D，利用动画工具让点C在图像上运动，那么得到的轨迹图像就是函数的图像关于直线对称的图像。 利用数学画板可以形象生动的“播放”整个形成的过程。15、图形计算器为学生进行“数学实验”提供了理想的工具与环境函数图像是学生

22、认识函数性质的窗口，而图形计算器为学生进行各种类型函数图像特征的探索提供了理想的实验环境。为了探索函数的性质，学生可以借助图形计算器快速生成一些具体函数图像，通过观察图像特征，发现规律，提出猜想，而提出的猜想是否正确，又可以利用图形计算器进行验证，进而做出解释。特别是对于含有参数的函数解析式，参数的变化是如何影响函数图像的变化的？具有怎样的规律？利用传统的教学手段是难以取得理想效果的。图形计算器为进行类似的“探究性实验”提供了理想的平台。教师引导学生对要进行探究的问题设计实验方案，然后根据实验方案借助图形计算器进行实验、猜测、探索等数学发现活动，实现“数学教学是数学活动的教学”，实现函数学习的

23、“再创造”过程，让学生亲身经历运用函数知识建立模型以及探索规律的过程，体验数学思想方法的价值，增强学好数学的信心，培养其科学探究和创新能力。例如，参数a是如何影响幂函数图形的变化的呢？ 16、有利于学生从函数观点深入探索方程（组）、不等式与函数之间的内在联系函数、方程、不等式都是描述现实世界数量关系和变化规律的数学模型，它们之间既有区别又有联系，图形计算器的有效运用，能够使学生体验数形结合、类比、归纳、分类以及由特殊到一般的思想方法在解决问题中的应用。例如，北师大版八年级下册“不等式表示的平面区域”的内容，就可以让学生利用图形计算器进行如下探究：在数轴上，x=1表示一个点；在直角坐标系中，x=

24、1表示什么？在数轴上，x1表示一条射线；在直角坐标系中，x1表示什么？在直角坐标系中，x+y-2=0表示一条直线；在直角坐标系中，x+y-2>0表示什么？x+y-2<0呢？对于后者可以先做出x+y-2=m的图像，并通过图形计算器的参数设置功能分别就m>0和m<0两种情况进行动态模拟，这样x+y-2>0和 x+y-2<0所表示的平面区域就可以直观地呈现在学生面前。在此基础上让学生进一步探究不等式组所表示的平面区域即水到渠成了！总之，图形计算器的函数与方程的绘图功能和自由设置参数的动画显示功能为学生学习函数、方程、不等式和高中的平面解析几何提供了理想的实验环境与

25、工具。 （请提供一个实际的案例，并抓关键性的界面图）例如，我们作出不等式组： x+y-2<0 y-x1>0的区域； 阴影部分为所求区域。17、利用图形计算器进行程序设计，体验信息时代的程序思维学生不仅可以把图形计算器当作学习的工具，在“垂直”与“水平”两个方向上进行数学化，他们还可以通过编程“教”图形计算器如何完成某个任务，构造某些数学对象，或做一些有趣的工作。虽然人们早就认识到，学生从编程活动中能获得有价值的数学经验，但并未受到应有的重视。在图形计算器的教学实验中，有老师让学生通过编程做代数，构造几何图形，做一段音乐与动画，或控制“机器人”运动。在让学生做“编程”的各种理由中，笔

26、者更看重的是：在通过编程构造某个数学对象的过程中，学生能获得对于该对象的更丰富的认识，经历算法思维、直觉思维与形式思维的互相转换与密切联系的过程。这里，关注的并不是“编程”与编程的技巧。“编程”只是一个“载体”。当然，编程过程也为算法思维的发展提供了机会，而这正是“课程标准”非常重视的（例如在高中独立设课）。例如，编程计算1到n的平方和。 二、代数演算的功用介绍与应用1、代数演算简介代数演算源自于计算机代数系统CAS（Computer Algebra Systerm）,其核心技术是利用符号对所涉及到的如线性代数、高等代数、统计学等问题进行计算，覆盖了整数、多项式、解方程、三角函数、统计、微积分

27、、矩阵等功能，涉及的内容贯穿整个中学数学和部分高等数学。它给教学带来的巨大作用是：把学生从大量重复的繁琐的数字计算和符号演算中解放出来，使学生得以把时间和精力集中在概念理解、关系的建立、问题解决和逻辑证明等高层此思维能力的发展上。函数命令只要分成了十个大模块：计算、化简、整数、函数方程、多项式、矩阵向量、三角、微积分、统计、常量，总共包括了126个函数命令。在函数定义时，通过重载的函数镶嵌使用实现了更多的功能。2、代数演算操作说明2.1 代数演算主界面(1) ：计算按钮,执行输入的表达式命令(2) ：打开按钮,打开保存的 .cas文件(3) ：保存按钮,保存计算过的表达式命令(4) ：清屏按钮

28、,清空屏幕(5) ：设置按钮,设置代数演算系统环境(6) ：帮助按钮,打开代数演算整体帮助信息(7) ：关闭按钮,关闭代数演算主界面(8) ： 进入代数演算输入界面2.2 (打开文件)点击打开按钮,可以进入保存.cas文件的默认文件夹,如上图所示.选定其中一个文件,点击确定按钮即可打开文件.但代数演算不允许同时打开多个文件.2.3 (保存文件)点击保存按钮即可保存系统当前状态,如上图所示,其文件格式为.cas类型.同时需要说明的是:(1) 保存的文件名称只能为英文名称.(2) 系统每间隔60秒就会对系统当前状态进行一次自动保存,文件名称为AutoSave.cas,且后面自动保存的文件会覆盖前面

29、自动保存的文件.2.4 (设置系统环境)点击设置按钮即可对代数演算系统环境进行相应的设置,如上图所示,对应每个选择的说明如下:(1) 弧度/角度：确定计算时采用弧度制或者角度制(2) 复数/实数：确定计算时限制在实数域或者复数域(3) 中文/英文：确定输入计算函数界面显示的函数名称是中文还是英文(4) 有效位数：确定计算结果输出时的有效数字位数，设置的有效位数必须位于区间1,999内2.5 (整体帮助信息)在代数演算主界面中点击帮助按钮即可打开系统整体帮助信息,如上图所示.若此时主界面的输入框中包含函数命令,则点击帮助按钮会对应打开该函数的帮助信息.系统整体帮助信息主要包括如下几个部分:(1)

30、 代数演算简介(2) 代数演算函数(3) 代数演算系统环境设置(4) 注意事项(5) 代数演算基本操作2.6 (输入计算函数)在代数演算主界面中点击按钮即可进入输入计算函数界面,如上图所示.具体操作如下:(1) 在输入计算函数界面中若想查看某个函数的帮助信息，可以先通过函数下拉列表选取该函数，然后点击标题栏的获取帮助信息.例如函数expand(多项式展开)首先点击通过多项式的下拉按钮选取函数expand(),此时光标定位于函数expand()的括号中间点击标题栏的即可获得帮助信息此时点击复制例1或复制例2按钮即可将该范例自动复制到输入框中(2) 需要函数名才可进入相应的函数帮助信息,若函数名不

31、完整或不正确则进入最近似的函数帮助,若输入行为空点击帮助则弹出整个系统帮助(3) 若不查看帮助信息,则选取函数之后输入参数,然后点击确定按钮将函数命令输入到主界面中,即可点击计算按钮求解相应的结果3、代数计算函数命令abs计算菜单语法：abs(Expr) 计算参数的绝对值,对复数,则计算模；若参数为由复数组成的数组,则返回由各个元素的模组成的数组例1：abs(-2,1+i,-4) 结果：2,sqrt(2),4例2：abs(-4) 结果：4acos三角菜单语法：acos(Expr) 反余弦函数例1：acos(0) 结果：1/2*pi例2：acos(1/2) 结果：1/3*piacos2asin化

32、简菜单语法：acos2asin(Expr) 将参数表达式中包含的arccos(x)形式替换为 pi/2-arcsin(x),其他部分不作改变,然后返回新的表达式例1：acos2asin(acos(x)+asin(x) 结果：pi/2-asin(x)+asin(x)例2：acos2asin(2*acos(x) 结果：2*(pi/2-asin(x)acos2atan化简菜单语法：acos2atan(Expr) 将参数表达式中包含的arccos(x)形式替换为 pi/2-arctan(x/sqrt(1-x2),其他部分不作改变,然后返回新的表达式例1：acos2atan(2*acos(x) 结果：2

33、*(pi/2-atan(x/sqrt(1-x2)例2：acos2atan(acos(sqrt(1-x2)+acos(x) 结果：pi/2-atan(sqrt(1-x2)/sqrt(-1+x2+1)+pi/2-atan(x/sqrt(1-x2)acot三角菜单语法：acot(Expr) 反余切函数例1：acot(0) 结果：undef例2：acot(1) 结果：pi/4acsc三角菜单语法：acsc(Expr) 反余割函数例1：acsc(1) 结果：pi/2例2：acsc(2) 结果：pi/6asec三角菜单语法：asec(Expr) 反正割函数例1：asec(1) 结果：0例2：asec(2)

34、 结果：1/3*piasin三角菜单语法：asin(Expr) 反正弦函数例1：asin(0) 结果：0例2：asin(1) 结果：pi/2asin2acos化简菜单语法：asin2acos(Expr) 将参数表达式包含的arcsin(x)形式替换为 pi/2-arccos(x),其他部分不作改变,然后返回新的表达式例1：asin2acos(acos(x)+asin(x) 结果：pi/2-acos(x)+acos(x)例2：asin2acos(2*asin(x) 结果：2*(pi/2-acos(x)asin2atan化简菜单语法：asin2atan(Expr) 将参数表达式中包含的arcsin

35、(x)形式替换为 arctan(x/sqrt(1-x2),其他部分不作改变,然后返回新的表达式例1：asin2atan(2*asin(x) 结果：2*atan(x/sqrt(1-x2)例2：asin2atan(asin(sqrt(1-x2)+asin(x) 结果：atan(sqrt(1-x2)/sqrt(-1+x2+1)+atan(x/sqrt(1-x2)assume函数方程菜单语法：assume(Expr) 表达式Expr为(不)等式,用于指定变量的取值范围；当限定的区间为开区间时，CAS进行的为极限运算，即实际上是在端点上也会计算，如果最优结果在端点上，那么即使为开区间，也会返回端点值；一

36、般assume可与fmax()和fmin()一起使用例1：assume(a>0) 结果：限定了a的取值范围为(0,+例2：assume(x<pi/2) 结果：限定了x的取值范围为(-,pi/2)atan三角菜单语法：atan(Expr) 反正切函数例1：atan(0) 结果：0例2：atan(1) 结果：pi/4atan2acos化简菜单语法：atan2acos(Expr) 将参数表达式中包含的arctan(x)形式替换为 pi/2-arccos(x/sqrt(1+x2),其他部分不作改变,然后返回新的表达式例1：atan2acos(atan(x) 结果：pi/2-acos(x/s

37、qrt(1+x2)例2：atan2acos(atan(x)/cos(x)结果：(pi/2-acos(x/sqrt(1+x2)/cos(x)atan2asin化简菜单语法：atan2asin(Expr) 将参数表达式中包含的arctan(x)形式替换为 arcsin(x/sqrt(1+x2),其他部分不作改变,然后返回新的表达式例1：atan2asin(atan(x) 结果：asin(x/sqrt(1+x2)例2：atan2asin(atan(x)*cos(x) 结果：asin(x/sqrt(1+x2)*cos(x)basis矩阵向量菜单语法：basis(Lst(vector1,.,vector

38、n)返回由参数向量组的基构成的矩阵,每一行表示一个基向量例1：basis(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)结果：-3,0,3,0,-3,-6例2：basis(2,3,4,6,7,8,10,12) 结果：-3,0,0,-3canonical多项式菜单语法：canonical(a*x2+b*x+c) 配方法,将二次三项式a*x2+b*x+c转化为规范形式,即为例1：canonical(2*x2-12*x+1) 结果：2*(x-3)2-17例2：canonical(5*x2-6*x+1) 结果：5*(x+(-3)/5)2+(-4)/5ceil计算菜单语法：ceil(Expr)

39、若参数为实数时,返回不小于参数的最小整数；若为复数,返回的复数实部和虚部均由不小于参数实部和虚部的最小整数例1：ceil(-4.2) 结果：-4例2：ceil(4.3+2.4*i) 结果：5+3*icharpoly矩阵向量菜单语法：charpoly(Mtrx)特征多项式例1：charpoly(1,2,3,4) 结果：x2-5*x-2例2：charpoly(1,2,3,1,3,6,2,5,7) 结果：x3-11*x2-7*x+2comb统计菜单语法：comb(Intg(n),Intg(p) 组合数C(n,p)例1：comb(4,2) 结果：6例2：comb(10,3) 结果：120conj计算菜

40、单语法：conj(Cplx) 返回复数的共轭形式例1：conj(1+i) 结果：1-i例2：conj(1+2*i)2) 结果：-3-4*iconvert化简菜单语法：convert(Expr,Cmd)根据第二个参数Cmd指定的形式转换表达式Expr,可以指定的形式和其对应的运算如下：1) sin ：实质上是调用trigsin()来转化参数表达式2) cos ：实质上是调用trigcos()来转化参数表达式3) tan：实质上是调用halftan()来转化参数表达式4) exp、ln：实质上是调用trig2exp()来转化参数表达式5) polynom：将参数表达式转化为多项式形式6) parf

41、rac：将参数表达式转化为分式形式例1：convert(cos(x)2+1,sin) 结果：1-sin(x)2+1例2：convert(series(sin(x),x=0,6),polynom) 结果：x+(x3)/-6+(x5)/120+x7*0correlation统计菜单语法：correlation(Mtrxn*3) 相关系数,设(X,Y)是一个二维随机变量,且Var(X)>0,Var(Y)>0,则称为X与Y的相关系数参考函数covariance()和variance()举例说明：correlation(1,2,1,1,4,7)计算Cov(X,Y)= 11/3 ,V

42、ar(X)= 2 ,Var(Y)= 62/9对于函数correlation(),计算二维随机变量的相关系数,矩阵Mtrx的维数为n*3,第一,二列分别表示随机变量X,Y,第三列表示权重.若第三列为空,则不指定权重,默认都为1例1：correlation(1,2,1,1,4,7) 结果：33/(6*sqrt(31)例2：correlation(3,2,1,7)结果：-1cos三角菜单语法：cos(Expr) 余弦函数例1：cos(0) 结果：1例2：evalf(cos(pi/60) 结果：0.998629534755cot三角菜单语法：cot(Expr) 余切函数例1：cot(pi/2

43、) 结果：0例2：cot(pi/4) 结果： 1covariance统计菜单语法：covariance (Mtrxn*3) 协方差,通常用如下形式来计算协方差,特别有cov(X,X)=var(X)对于函数covariance(),计算二维随机变量的协方差,矩阵Mtrx的维数为n*3,第一,二列分别表示随机变量X,Y,第三列表示权重.若第三列为空,则不指定权重,默认都为1；举例说明计算过程如下：covariance(2,1,8,3,1,6,3,7,5)X=2,3,3,Y=1,1,7,XY=2,3,21.它们对应的权重为：8,6,5则例1：covariance(1,2,1,1,4,7) 结果：11

44、/3例2：covariance(2,1,8,3,1,6,3,7,5) 结果：240/361cross矩阵向量菜单语法：cross(Vect(a),Vect(b) 向量外积,三维向量a=a1,a2,a3,b=b1,b2,b3,其外积函数cross()的返回值为,若参数向量a或b的最右端元素缺省,则默认为0,且只能缺省最右端元素a3或b3例1：cross(1,2,3,4) 结果：0,0,-2例2：cross(1,2,3,4,5,6) 结果：-3,6,-3csc三角菜单语法：csc(Expr) 余割函数例1：csc(pi/2) 结果：1例2：csc(pi/3) 结果：1/(sqrt(3)*2csol

45、ve函数方程菜单语法：csolve(Eq1 and Eq2 and., LstVar) 在复数域范围内求解方程(组),返回其解。求解单个变量时,若用户没有指明,则系统默认为x；求解多个变量或者未知量不是x时,必须指明未知量例1：csolve(x4-1=0,x) 结果：i,-i,1,-1例2：csolve(x4-y4=0,x+y=2,x,y)结果：1+i,1-i,1,1,1-i,1+idegree多项式菜单语法：degree(poly)返回多项式的最高次数,若参数为多项式表达式,则先化简后再返回多项式的最高次数；若参数以向量形式来表示多项式,则直接返回向量维数减1的值例1：degree(x3+x

46、)结果：3例2：degree(1,0,1,0)结果：3det矩阵向量菜单语法：det(Mtrx) 返回参数矩阵的行列式,其中矩阵必须为方阵例1：det(1,2,3,4) 结果：-2例2：det(1,2,3,1,3,6,2,5,7)结果：-2diff微积分菜单语法：diff(Expr,Var) 返回表达式关于变量Var的导数,若Var缺省,则默认为x；若Var为多个变量,则依次对每个变量求偏导数；若想对变量Var求高阶导数，可使用$，例如：表达式x3+x2+1对x求3阶导数，命令格式为：diff(x3+x2+1,x$3)例1：diff(x3-x) 结果：3*x2-1例2：diff(x*y+z*y

47、,y,z) 结果：1divisors整数菜单语法：divisors (Intg(n)返回能整除参数n的正整数所组成的向量例1：divisors(36) 结果：1,2,4,3,6,12,9,18,36例2：divisors(49,100) 结果：1,7,49,1,2,4,5,10,20,25,50,100dot矩阵向量菜单语法：dot(Vect1,Vect2)计算向量数积,即两个向量对应元素的乘积之和例1：dot(1,2,2,3)结果：8例2：dot(1,2,3,3,4,5)结果：26dsolve函数方程菜单语法：dsolve (Eq,FncVar) 求解微分方程,系统默认自变量为x例1：dso

48、lve(y''+y=0,y) 结果：c_0*cos(x)+c_1*sin(x)例2：dsolve(y''+y=sin(x),y(0)=1,y'(0)=2,y) 结果：(-x+2)/2*cos(x)+5/2*sin(x)egv矩阵向量菜单语法：egv(Mtrx) 返回参数矩阵的特征向量,矩阵的每一列为一个特征值对应的特征向量。例如egv(-2,-2,1,-2,1,-2,1,-2,-2)的结果为：1,-3,-3,-2,0,-3,1,3,-3,表示矩阵的特征向量为：1,-2,1,-3,0,3,-3,-3,-3。例1：egv(-2,-2,1,-2,1,-2,1,

49、-2,-2)结果：1,-3,-3,-2,0,-3,1,3,-3例2：egv(1,1,3,1,3,1,3,1,1) 结果：1,1,-1,0,1,2,-1,1,-1eigenvals矩阵向量菜单语法：eigenvals(Mtrx)返回参数矩阵的特征值例1：eigenvals(-2,-2,1,-2,1,-2,1,-2,-2)结果：3,-3,-3例2：eigenvals(1,1,3,1,3,1,3,1,1) 结果：-2,5,2euler整数菜单语法：euler(Intg(n) 欧拉函数,即对于一个正整数n,计算小于n且和n互质的正整数的个数例1：euler(11) 结果：10例2：euler(6) 结

50、果：2evalc 计算菜单语法：evalc(Expr) 返回参数表达式化简成re+i*im的形式之后的结果例1：evalc(-3+4*i+exp(i) 结果：cos(1)-3+(i)*(sin(1)+4)例2：evalc(1/(x+y*i) 结果：x/(x2+y2)+(i)*(-y)/(x2+y2)evalf 计算菜单语法：evalf(Expr) 返回参数表达式的近似值例1：evalf(2*sin(1) 结果：1.68294196962例2：evalf(sqrt(2)+pi) 结果：4.555806215962889exact 计算菜单语法：exact(Expr) 返回参数转化成分数形式之后的

51、结果例1：exact(1.5) 结果：3/2例2：exact(1.4141) 结果：14141/10000exp函数方程菜单语法：exp(Expr) 计算表达式Expr以e为底的指数函数值例1：exp(0) 结果：1例2：exp(1) 结果：eexp2trig化简菜单语法：exp2trig(Expr) 使用欧拉公式(见例1)把表达式Expr中的复指数(e,i)形式转换成三角函数形式例1：exp2trig(exp(i*x) 结果：cos(x)+(i)*sin(x)例2：exp2trig(exp(-i*x) 结果：cos(x)+(i)*(-(sin(x)expand多项式菜单语法：expand(Expr)多项式展开例1：expand(x+y)*(z+1) 结果：z*y+x*z+y+x例2：expand(x+3)4) 结果：x4+12*x3+54*x2+108*x+81factor多项式菜单语法：factor(Expr)多项式因式分解例1：fac