利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题

1、利用仿射变换解决与椭圆有关的高考试题汤敬鹏（兰州市第五十七中学730070）文谈及利用仿射变换可以解决一些初等几何的问题，可以使问题变得更加简洁、透彻，对笔者启发很大，笔者通过自己的教学实践感觉到利用仿射变换，可以将椭圆的有关问题转化为圆的问题，从而可以借助圆当中的一些性质解决问题，使问题的解决过程大大简化，在利用仿射变换解决相关问题时，主要利用以下几个性质：性质1变换后共线三点单比不变（即变换后三点的两个线段的比值和变换前的比值一样）；性质2变换后保持同素性和接合性（即变换前直线与曲线若相切，变换后仍相切）；性质3变换前后对应图形的面积比不变；现以一些高考试题为例加以说明。例1（2008年全

2、国卷第22题）设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线y=kx(k>0)与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点若，求k的值；求四边形AEBF面积的最大值。分析：此例按照常规解法较为繁杂，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，点A、B、D、E、F分别变换为点A、B、D、E、F， 线段EF恰为圆的直径，根据性质1，D分线段EF的比与D分线段EF的比相同，利用圆当中的相交弦定理求得D点的坐标，再反求出D点坐标，从而很容易求出k值；利用性质3，可以求得四边形AEBF与四边形AEBF的面积关系，由于四边形AEBF面积的最大值较易求出，这样也就很容易求得四边形AEBF面积的

3、最大值。解：依题设得椭圆的方程为作仿射变换，令x=，y=y，则得仿射坐标系xOy，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x2+y2=1，点A、B、D、E、F分别变换为点A、B、D、E、F，且EF为圆的直径，EF=2，A(1,0)，B(0,1)根据性质1ED= DF=ED·DF=AD ·DB AD+DB=AB=AD= DB=或AD= DB=或由定比分点公式可得：D()或D()D点坐标为()或()k=或k=设四边形AEBF的面积为S，四边形AEBF的面积为S，EF与AB的夹角为，则S=（当=时取“=”号，此时F ()）由于椭圆的面积为ab=2，圆的面积为r2=根据性质3有，故S=2SS

4、当且仅当F坐标为()，即k=时取“=”号说明：由上述证明过程可知，当D为AB中点是时四边形AEBF的面积取到最大值，根据性质1，当D为AB中点时四边形AEBF的面积取到最大值。此结论如果利用常规解法是较难获得的，但利用仿射变换却较易获得。例2（2007年宁夏、海南高考理科第19题）在平面直角坐标系xOy中，经过点(0,)且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q求k的取值范围；设椭圆与x轴的正半轴，y轴的正半轴的交点分别为是A、B，是否存常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由。分析：利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，即可利用圆心到直线的距离与半径的关系来刻画直线与

5、圆的位置关系，从而间接地刻画了直线与椭圆的位置关系，这样的处理方式使计算量大大降低。而在第问当中，若=，根据向量加法的几何意义则OM与PQ互相平分，利用仿射变换将椭圆变换为单位圆后，OM变换为OM，PQ变换为PQ，根据性质1，OM与PQ 也互相平分，又由于OM过圆心，那么就可以利用圆中的垂径定理判断出OM与PQ垂直，这将有助于问题的简化。解：作仿射变换，令x=，y=y，则得仿射坐标系xOy，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x2+y2=1，直线l：y=kx+变换为直线l：y=kx+，即kx-y+=0根据性质2可知：直线l与圆x2+y2=1的交点有两个1k2 或经过中的仿射变换，点A、B分别变换为点

6、A(1,0)、B(0.1)，点P、Q分别变换为点P、Q，根据性质2可知P、Q必在圆上，且直线AB的斜率为k1=-1，直线PQ的斜率即直线l的斜率为k根据性质2，若有与共线，则必有与共线设=，根据垂径定理，必有当时，由此可得k=1， 由可知：或，所以没有符合题意的常数k.说明：此题的原解答较繁，特别是第问的解答进行了一定量的向量坐标运算才得到的结论，但如本解答这样利用仿射变换，再结合圆中的垂径定理，则几乎没用代数运算就得到结论，运算量大幅度降低。例3（2006年浙江省高考理科第19题）椭圆(a>b>0)与过点A(2,0)、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=求椭

7、圆的方程；设F1、F2分别为椭圆的焦点，M为线段AF2的中点，求证：ATMAF1T分析：本题第问从结论分析只需证MATTAF1，这需借助于对应边成比例，由于线段AM与AF1的长度均较易求出，因此求出线段AT的长度就尤其重要，在椭圆中线段AT的长度较难求出，但利用仿射变换将椭圆变换为单位圆，AB变为圆的切线AB，切点T变为T，借助圆的切线与过切点的半径垂直这一性质，求出线段AT与线段AB的比值将不是难事，根据性质1，此比值即线段AT与线段AB的比值，从而可以较为轻松地求出线段AT的长度。解：作仿射变换，令x=，y=，则得仿射坐标系xOy，在此坐标系中，上述椭圆变换为圆x2+y2=1，直线AB：+

8、y=1变换为直线AB：+by=1根据性质2，直线AB与圆相切=1 a2+4b2=4 e=a2=2 b2=椭圆的方程为可求得c=如进行仿射变换，点T变换为点T，可得A的坐标为(,0)，B的坐标为(0, )，所以|OA|=|OB|，由于直线AB与圆O相切于点T，所以OTAB，因此T为线段AB的中点，根据性质1，T也必为线段AB的中点|AB|= |AT|=又|AM|=(|OA|-|OF2|)=1- |AF1|=|OA|+|OF1|=2+|AM|AF1|=(1-)(2+)=212-()2=()2=|AT|2又MATTAF1MATTAF1ATMAF1T说明：本题第问标准答案给出的证法是先求出T点坐标，再利用T点坐标去计算ATM与AF1T的正切值，其中还使用了两角差的正切公式，运算量很大，但如本法，由仿射变换很容易就发现T是线段AB的中点，从而很容易地计