2020届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试题(解析版)

1、第1 1页共 2121 页2020 届浙江省浙南名校联盟高三上学期第一次联考数学试题一、单选题1 1.已知集合A = xx2兰1,B=x Igx。，则A|B=()A.A.0,11B.B.0,1C.C.0,1DJ- 1,101【答案】B B【解析】先分别计算集合 A A 和 B B，再计算ARB【详解】A=x x2兰1 = x-1兰x兰1B = & lg x兰1 = & 0 x兰1。A - B = 1 x 0：x冬11故答案选 B B【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型2 2 _2 2 .已知双曲线C:笃-当=1玄0,b0的离心率为2，其右焦点为F22.3,0,a b则双曲

2、线C的方程为()2222222 2xA.A.y=1xB.B.y=1C.-y=1x y D.D.3993412124【答案】A A【解析】直接利用离心率和焦点公式计算得到答案 【详解】双曲线2 2C:=1a0,b0的离心率为2,其右焦点为F22、3,0a b则a得到a二、3,b = 32 32 2双曲线方程为：-=139故答案选 A A第2 2页共 2121 页【点睛】本题考查了双曲线方程，属于基础题型 3 3 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）【解析】根据三视图还原立体图形，再计算体积【详解】 如图所示：底面为直角边长为 2 2 的等腰直角三角形，高DE =2114故V222=

3、-323【点睛】 本题考查了三视图和体积的计算，通过三视图还原立体图是解题的关键X y -1,4 4 .已知实数x,y满足x-y-2-O,则的最小值为（）心，XA.A.4【答案】D D233C.8 84D.-D.-3第3 3页共 2121 页【答案】C C 【解析】画出可行域，将 丄看作点到原点的斜率，计算得到答案x【详解】 如图所示: 画出可行域y=吐二k,看作点到原点的斜率x x -0311根据图像知，当x , y时，有最小值为-223本题考查了线性规划，将y看作点到原点的斜率是解题的关键x要条件【答案】A A【解析】 分别判断充分性和必要性，得到答案【详解】当0cxyv1时，得到0c|x

4、 y 1（x0,y式0）两边同时除以y得到丨x兰点,充分A.A. -3-3B.B.3C.C.13D.-D.-5 5设x,y R,则0：xy : : 1”是1x0”的(A.A.充分不必要条件B.B.必要不充分条件C.C.充分必要条件D.D.既不充分也不必第4 4页共 2121 页11 1当x0,排除CD，得到答案x【详解】In xIn xf(X)=, f (x)= =f (x ), f (x)为奇函数，排除Bx-xIn x当XA1时，f(x)=A0恒成立，排除CDx故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键第 5 5 页共 2i2i 页7 7.设o：x：

5、2，随机变量 的分布列如下:0 0i2P0.50.5 - xx则当x在 o,-内增大时（）I 2丿A.A.E减小，D减小B.B.E增大，D增大C.C.E增大，D减小D.D.E减小，D增大【答案】B B【解析】分别计算E和D的表达式，再判断单调性. .【详解】E =0 0.5 1 (0.5-x) 2x二x 0.5, ,当x在DI：0.5 (x 0.5 -0)2(0.5 x) (x 0.5-1)2x(x 0.5 - 2)2- -x22x丄45（i D = -（x-1）25，当x在0,-内增大时，D 增大故答案选 B B【点睛】本题考查了E 和D的计算，函数的单调性，属于综合题型. .8 8.设点M

6、是长方体ABCD-ABQiDi的棱AD的中点，AAi= AD=4，AB =5，点P在面BCCiBi上，若平面DiPM分别与平面ABCD和平面BCCiBi所成的锐二面 角相等，则P点的轨迹为（）隅内增大时, ,2第6 6页共 2121 页A.A.椭圆的一部分B.B.抛物线的一部分C.C.一条线段D.D. 一段圆弧【答案】C C【解析】S根据公式cos得到SMDP1-SCPM1，计算得到P到直线C1M1的距离为定值，得到答案【详解】设P在平面ABCD的投影为Pi，平面DiPM与平面ABCD所成的锐二面角为:M在平面BCCiBi的投影为BC中点Mi，平面DiPM与面BCCiB所成的锐二面角cos也S

7、,D1PMS,MDP1S.CPMtcc11即SMDPSCPM1得到2 5C1M1h,h= . 5SD1PMSD1PM22即P到直线CiMi的距离为定值，故P在与CiMi平行的直线上又点P在面BCCiBi上，故轨迹为一条线段. .故答案选 C C【点睛】S本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过cos可以简化运算,SAP =xAB yAC，其中x y -i，则2x y的最大值为（贝ycos：S.MDPtS.qpM是解题的关键 9 9 已知正三角形ABC的边长为2,D是边BC的中点，动点P满足uurPD i，且A.A.i3B.-B.-2C.C.25D.-D.-22第7 7页共 2121 页【答案】

8、D Dy-x = aAP =xAB yAC得到3,y + x = i _b(b兰0)【解析】 以uurPD-i得到a2 b2乞i,由3兀52x y tsi n( )得到答262第8 8页共 2121 页【详解】时有最大值，此时x=1,y，有最大值5322故答案选 D D【点睛】本题考查了向量的运算，通过建立直角坐标系的方法可以弱化技巧, 模能力和计算能力 11 _*1010 .已知数列laj满足an 12anan +D.D.当B =2时，则an 1 3n 20anhlUULT设P（a,b），则PD 1得到a2b2乞1设a =tcos b-tsiCtJAP二xAB yAC得到（a,b -、3）

9、=x（-1,- . 3） y（1,-、.3）y _x = a73y x =1 b（b乞0） I3313 7312x y （x y） （y -x）b a222221sin cos：）2二3 _tsin（丁）52A.A.当01上，且PQa的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值等于 _,当椭圆的离心率取到最大值时，记椭圆的右焦点为F,贝U PQ + QF的最大值等于 _【答案】15 2一322 2 2 2【解析】x +y -6y+8 = 0化简为x2+(y_3)2=1,PQ的最大值为 5 5 等价于AQ3的最大值为 4 4，根据对称轴得到关系式X2岂-1-1 解得答案 1-a2利用椭圆性质得到PQ

10、+|QF =|PQ +4-QFi，再根据三角形边的关系得到答案. .【详解】2 2 2 2x y -6y 8=0化简为x2(y-3)2=1，圆心A(0,3). .PQ的最大值为 5 5 等价于AQ的最大值为 4 42设 Q(x,y)Q(x,y)，即x (y-3) 16，又y1 a 1 a化简得到(1 - a2)y2-6y a2- 7 _0(-1 _ y _1)当y =-1时，验证等号成立33对称轴为x2满足x2乞-1,a乞2故1 a乞21-a1-a2 2 “,1.32ca -1e22_12e ：aaa42故离心率最大值为2PQ +|QF| = PQ| +4|QF,|M|AQ+1+4 QF勻AF

11、1+5 = 5 + 2V5当A,F1,P,Q共线时取等号第 1111 页共 2121 页当a = 2时，离心率有最大值，此时椭圆方程为x27yT，设左焦点为F1故答案为和5 2、3-1第1313页共 2121 页【点睛】 本题考查了椭圆的离心率，线段和的最值问题，利用椭圆性质转化PQ +|QF| = PQ +4-QF是解题的关键，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. .4 4 44rrf-rr23 r r1616 已知非零向量a,b,c，满足a=2,ab = j3b,2，则对任意实数t,c - tb的最小值为_ 1【答案】-4一片专兀d【解析】 根据向量夹角公式计算a, b夹角为-，以a坐在

12、直线为x轴，建立直角坐标，6 63221r r计算得到c对应的点在(x-)2+y2=上，c tb表示的是圆上一点到直线上一点的24距离，计算得到答案 如图所示：以a所在直线为x轴，建立直角坐标系则a = (2,0)，设c = (x, y)23 r r3221c a c-2得到x2y2=3x-2即(x ) y：2y24r rc-tb表示的是圆上一点到直线上一点的距离3n11此距离的最小值为：d = si n 262 4r b-T raIT rb racos日=2 b cos日=,cos1故答案为丄4-1第1414页共 2121 页【点睛】第1515页共 2121 页本题考查了向量的运算，直线到圆

13、距离的最值，意在考查学生的转化能力和计算能力1717.设函数f (X)= x6x?+ax+b，若对任意的实数a和b，总存在xfo,3,使得f x0- m，则实数m的最大值为_ .【答案】2 2【解析】 将函数变形为f (x )= x36x2+9x - (9 a)x b，设g(x)二x36x29x,h(x) =(9 -a)x - b，画出函数图像，当a=9,b = -2时取最值，得到答案 【详解】f (x )= x3_6x2+ax +b = x3_6x2+9x - 1(9 _a)x -b 设g(x) = x3_6x29x, g (x) = 3x2_12x 9 = 3(x _1)(x _ 3)g(

14、x)在(0,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，g(0)=g (3) = 0设h(x) = (9 -a)x -b根据图像知：当a =9,b = -2时，最大值的最小值为 2 2 故实数m的最大值为 2 2答案为 2 2【点睛】本题考查了函数的存在性问题，变形函数，画出函数图像是解题的关键，意在考查学生 的综合应用能力画出函数图像:等价于求f xx - m第1616页共 2121 页三、解答题f兀、fl1818.函数f(x) = 2sin(cox+申)丨0,0 c二的图象过点 ,J2，且相邻的2)12丿最高点与最低点的距离为戸.(I)求函数f x的解析式；(n)求f x在10,2 1上的单调

15、递增区间. .15【答案】(I )f(x)=2si n(：x )；(n)0-和,2. .444诵析】(I)利用勾股定理得到 2，将点代入图像得到二， 得到答案 H31(n n )f(x)=2sin(二X)，函数的单调区间为2k x辽2k,kZ，代入k得444到0,21 1 上单调区间. .【详解】解：(I)函数 f f (x)(x)的周期T =2、.17-16=2, - =TTJT又0：一，. 24兀f (x)二2sin(二x)431(n)令2kx 2k ,k，Z解得2k x一2k , k Z24244Qx 0,215f x在0,2 l上的单调递增区间是0,和,244【点睛】本题考查了三角函数

16、的解析式，三角函数的单调区间，属于常考题型，需要熟练掌握佃如图，四棱锥P-ABCD中，AP_ 平面PCD,AD II BC,DAB =,21AP=AB=BC=2AD,E为AD的中点，AC与BE相交于点O. .把坐标(2代入得cos；：第1717页共 2121 页(n)求直线AB与平面PBD所成角的正弦值. .【答案】(I)详见解析;【解析】(I)先证明BE_面APC得到BE_PO，再证明PO_AC得到PO _平 面ABCD. .(n)以0为原点，分别以OB,OC,OP为x轴，y轴，z z 轴的建立直角坐标系. .计算平4 4面 PBDPBD 的法向量为n =(1,3,1),再利用向量夹角公式得

17、到答案. .【详解】解：(I)由已知AP_平面PCD，可得AP _ PC,AP _ CD,由题意得，ABCD为直角梯形，如图所示，BCPDE，所以BCDE为平行四边形，所以 BEBE / CDCD，所以AP _ BE. .又因为BE _ AC，且AC AP二A,所以BE_面APC,故BE _ PO. .在直角梯形中，AC=2AB，因为AP_面PCD，所以AP _ PC,所以L PAC为等腰直角三角形，O为斜边AC上的中点,所以PO _ AC. .且ACI BE = O,(I)求证:PO_ 平面ABCD;第1818页共 2121 页所以PO_平面ABCD（n）法一：以O为原点，分别以OB,OC,

18、OP为x轴，y轴，z z 轴的建立直角坐标系. .不妨设BO =1A(0,1,0)，B(1,0,0)，P(0,0,1)，D(2,0)，nPB=0，n BD =0法二：（等体积法求A到平面 PBDPBD 的距离）VA _PBD二Vp丄BD设AB=1，计算可得PF =1，PD3，BD.5，SAPBD11SAPBDhSAABDPO，33解得h =22211si n e =一V22AB 11设 n n =(x,=(x, y,z)y,z)是平面PBDPBD 的法向量 满足所以-xz = 0-3x y =0则令x =1，解得n= (131)2 224MABnsinT =11第1919页共 2121 页本题

19、考查了线面垂直，线面夹角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力第2020页共 2121 页2020. .已知等比数列laj的公比q 1，且印a342,839是aa5的等差中项,2n数列的通项公式 0 = - - -(,n e N*. .an -1ian 1-1(I)求数列 a a / / 的通项公式；(n)证明：b1b J| b /2n 1-1，nN*. .【答案】(1 1)a* =2； (n)详见解析. .【解析】(I)直接用等差数列，等比数列的公式计算得到(n)0nnd2 1-1-：2-1直接利用裂项求和得到2 -1亠;2 -1Sn= 2n1 -1,得证. .【详解】a1a5=2a318,

20、所以，an=2n. .b _ 2n_ _2(. 2n_12n-1)2n_1+血十_1(2n_1+J2n+_1)(J2n_1 _ J2n41_1)2nC-J2n1-1) 2(、片一”二12n_1 _2n十+1_2n2nn -1(I)由a39是a1,a5的等差中项得所以a a3a3a318 =42,解得a3-8,8由a1a = 34，得8qq=34,解得q2=4或q2因为q 1，所以2. .(n)法 1 1 :由(I)可得bn2n,nN. .-2n- V v2n 1-1)“2n1-1 -2n-1，第2121页共 2121 页d d Hl bn十22-1 - .21-1)第2222页共 2121 页

21、C 23一22一1) L. 2n 1一1一,2n一1二,2n 1_1 _1：，2n 1-1. .法 2 2:我们用数学归纳法证明（2 2）假设n = k（k三N*）时不等式成立，即b +|l+bk cJ2k* 1 .那么，当n二k 1时，2* 1b +b2+川+bk+b“v J2k* -1 +一fJ2k1+j2k421,.-k彳2k 1(丄2k 1二1二_2k 2二1)_2 -1(：2一即当n二k 1时不等式也成立根据（1 1）和（2 2），不等式b +b2+lll+bn收卅_1，对任意n N*成立 【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的 灵活掌握

22、. .2121.已知点A Xo，y在抛物线y2=4x上，P,Q是直线y =x，2上的两个不同的点,且线段AP, AQ的中点都在抛物线上由（I）可得bn二2n.2n-1、2n1-1(1)当n =1时,二 一2k 2_1不等式成立;第2323页共 2121 页(i)求y的取值范围;(n)若APQ的面积等于 6.26.2，求yo的值. .【答案】(【)yo4或yo: 0；(n)y0=2 _2、.2 2【解析】(i)设P(a,a 2),Q(b,b 2),A(仏，y0),AP的中点4- C解得答案. .积公式得到答案【详解】2(i)设P(a,a 2),Q(b,b 2),节A(匹,yo),4则AP的中点M

23、 (4a匹a)，代入y2=4x8 22 2得：a -(4 -2y)a -y4y4 =o2 2同理可得：b - (4-2yo)b - yo4yo4 =o22所以，a, b是方程x(4-2yo)x-yo4 yo，4=o的两个根.=(4-2y。)2-4(-y；4y。4) =8y：-32yo解得：yo4或yo：o2yo:2)代入抛物线得到二次方程2 2X (4-2yo)X-yo4 yo4=0,先计算A到PQ的距离d二y2-4yo84；2，再计算PQ=心2-4y。，代入面第2424页共 2121 页|普-y。2|_y；-4yo8d 4d2由韦达定理可知：2a b = 4 - 2 yo,ab一- yo4yo4则|PQ2|a -b|；2 ,.(a b)2-4ab = 4、y2-4y。2SAP2|PQ|i価(n)点A到PQ的距离4.2第2525页共 2121 页令,y0-4y=t，则有：t38t-24 =0, 即：(t -2)(t22t 120，解得t =2,即y0_4y。-4 =0，解得:y0=2_2. 2本题考查了抛物线，面积问题，将问题转化为二次方程解的个数问题是解题的关键，简化了运算 a2222.设f xx-bln x，其中a,bR，函数f x在点1,f 1处的切线方程为e