高考数学解答题专题攻略——数列

1、2009高考数学解答题专题攻略-数列一、08高考真题精典回顾：1.（全国一22）（本小题满分12分）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：解析：（）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立. （）证明：由可得1.若存在某满足，则由知：2.若对任意都有，则，即成立.2.（全国二20）（本小题满分12分）设数列的前项和为已知，（）

2、设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得4分因此，所求通项公式为，6分（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是12分3.（四川卷20）（本小题满分12分） 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即 （）当时，由知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得二、09高考数列分析与预测：数列是高中数学的重要内容之一，也是高考考查的重点。而且往往还以解答题的形式出现，所以我们在复习时应给予重视。近几年的高考数列试题不仅考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、

3、基本技能和基本思想方法，而且有效地考查了学生的各种能力。解答题大多以考查数列内容为主，并涉及到函数、方程、不等式知识的综合性试题，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目.有关数列题的命题趋势（1）有关数列的基本问题，这类题围绕等差、等比数列的基本知识、基本公式、基本性质命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质。（2）数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点（3）数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻

4、辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查。（4）与导数、平面向量、概率等新知识相结合也不可忽视。复习关键点： (1)理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视。(2)解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与函数、方程、不等式、解析几何等其他知识的综合。(3)重视递推数列和数列推理题的复习。(4)数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决。不管数列与

5、哪一部分知识内容交汇，数列自身的内容仍是考生重点掌握的。对数列自身来讲，主要有以下体型：一、求数列的通项公式，主要方法有：（1）利用与的关系（2）利用递推关系包括累加法，累乘法，构造数列二、求数列的前n项和，主要方法有：（1）倒序相加法（2）错位相减法（3）裂项法（4）分组法三、判断一个数列是等比或等差数列，完全依据等差、等比数列的定义进行证明。这是解决好数列问题的重中之重.三、高考热点新题：1.设是正项数列的前项和，且（1）求数列的通项公式；（2）是否存在等比数列，使对一切正整数都成立？并证明你的结论（3）设，且数列的前项和为，试比较与的大小2.已知数列满足关系：， （1）求证：数列是等比数

6、列；（2）证明：；（3）设是数列的前n项和，当时，是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由。3.已知正项数列满足对一切,有，其中.()求数列的通项公式;() 求证: 当时, .4某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）. （1）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（

7、须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（2）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？5.已知数列满足：，且（1）设，证明数列是等差数列；（2）求数列、的通项公式；（3）设，为数列的前项和，证明.6.设等差数列前项和满足，且，S2=6；函数，且（1）求A； （2）求数列的通项公式；（3）若四、高考热点新题参考答案：1解：（1）得，相减并整理为又由于，则，故是等差数列，故 （2）当时，可解得，猜想使成立下面证明恒成立令 可得（3）则，故说明：本题主要考查数列通项公式的求法，数列和的求法以及不等式的内容。涉及运算能力，逻辑思维能力，猜

8、想能力等。2解：（1） 故是等比数列。 （2） 由及： （3）当时，相加得： 故时，. 3解：()对一切有，即 , () 由及两式相减,得: 是等差数列,且, . 说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解. () 由,知,因此,只需证明. 当或时,结论显然成立.当时,所以,原不等式成立.4.本题主要考查等差数列与等比数列、函数性质等基础知识，考查运算求解能力和数据处理能力，考查函数与方程思想和应用意识.解: (1)依题意知，数列是一个以500为首项，20为公差的等差数列，所以， (2)依题意得，即，化简得，可设，又，可设是减函数，是增函数，又,则时 不等式成立，即4年答：略 5解：(1) ,为等差数列 (2)由(1),从而 (3),当时,不等式的左边=7,不等式成立所有当时, 故只要证, 如下用数学归纳法给予证明:当时,时,不等式成立;假设当时,成立当时, 只需证: ,即证: 令,则不等式可化为:即令,则在上是减函数又在上连续,