高等数学同济

1、授 课 教 案课程名称： 高等数学 授课专业： 总 学 时： 开课单位： 制 定 人： 审 核 人： 制定时间： 教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第四章 不定积分 第一节 不定积分的概念与性质教学目标掌握不定积分的概念教学重、难点掌握不定积分的概念教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材，辅助教材1、 教学过程：原函数与不定积分的概念定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有或，那么函数就称为（或）在区间上的原函数。原函数存在定理 如果函数在区间上连续，那么在区间上存在可导函数，使对任一，都有.简单的说就是：连续函数一定有原函数.下面还要说两点第一，如果在区间

2、上有原函数，即有一个函数，使对任一，都有，那么，对任何常数，显然也有 ，即对任何常数，函数也是的原函数。这说明，如果有一个原函数，那么就有无限多个原函数.第二，如果在区间上是的一个原函数，那么的其他原函数与有什么关系？设 是的另一个原函数，即对任一有，于是备注：在第三章第一节已经知道，在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以，（为某个常数）这表明与 只差一个常数.因此，当为任一的常数时，表达式就可以表示的任意一个原函数。也就是说，的全体函数所组成的集合，就是函数族.由以上两点说明，我们引进下述定义定义2 在区间上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间上的不定积分，记作其中记号称为积分

3、号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量.由此定义及前面的说明可知，如果是在区间上的一个原函数，那么在区间上就是的不定积分，即.因而不定积分可以表示的任意一个原函数.例2 求解 ，即是的一个原函数。例3 求解 时，有，所以在内的一个原函数是时，有，所以在内的一个原函数是在上，的原函数是从不定积分的定义，即可知下述关系：由于是的原函数，所以或又由于是的原函数，所以或记作，由此可见，微分运算（以记号表示）与求不定积分的运算（简称积分运算，以记号表示）是互逆的。当记号与连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数.一、基本积分表（是常数），2、 不定积分的性质性质1 设函数及的原函数存在，则 性

4、质2 设函数的原函数存在，为非零常数，则例5 求解例6 求解 例7 求解 例8 求解 练习设计课后习题2 （1-6）教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第四章 不定积分 第二节 换元积分法（第一换元积分法）教学目标应用第一类换元积分法和求函数的积分教学重、难点掌握第一类换元积分法使用条件教学方法及手段探究式， 讲练结合法/板书教学教学准备

5、教材，辅助教材教学过程1、 第一类换元积分法定理1 设具有原函数，可导，则不难看出：第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，也是微分运算的逆运算，目的是将凑成中间变量的微分，转化成对中间变量的积分。例1 求解：例2 求解：   例3 求解： 例4 求解 例5 解 例6 解 注意：例4，例5，例6当被积函数分母是二次三项式时，针对根的情况的不同处理方法。除了以上的类型，利用，有如下例题。例7 求解 ，即例8 求解 例9 求解 例10 求解 ，则利用，有：例11 求解 例12 求解 例13 求解 例14 求解 利用，有：例15 求解 例16 求解 练习设计课后习题2(1-10)教

6、学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师每学期上交教案。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第四章 不定积分 第二节 换元积分法（第一换元积分法）教学目标应用第一类换元积分法和求函数的积分教学重、难点掌握第一类换元积分法使用条件教学方法及手段探究式， 讲练结合法/板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程2、 第一类换元积分法定理1 设具有原函数，可导，则不难看出：第一换元法是复合函数求导法则的逆运算，也是微分运算的逆运算，目的是将凑成中间变量的微分，转化成对中间变量的

7、积分。利用三角函数的微分公式：；。有：例17 求 解 例18 求解 例19 求解 另解 例20 求解 ；利用，有：例21 求解 例22 求解 由以上例题可以看出，第一换元法是一种非常灵活的计算方法，始终贯穿着“逆向思维”的特点，因此对初学者较难适应，学生应熟悉这些基本例题。当然也有一些题，它不属于这些基本题型，但我们也可以通过观察找到解题的途径。例23 解 注意到：例24 解 例25 例26 例27 例28 例29 例30 练习设计课后习题2（11-30）教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师

8、要求写详案。4要求教师每学期上交教案。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第四章 不定积分 第2节 换元积分法（第二换元法）教学目标掌握第二换元法教学重、难点掌握第二换元法教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程： 定理2 设是单调，可导的函数且，又设有原函数，则证明 单调，可导，存在反函数，且是是一个原函数第二换元法，常用于如下基本类型类型1：被积函数中含有（）,可令（并约定）则；可将原积分化作三角有理函数的积分例1 求解 令，则例2 求备注：解 令，则，类型2：被积函数中含有可令 并约定，则； ；可将原积分化为三角有理函数的积分。例3 求 ，解：令 ，则

9、，因此有 其中。例4 求 解 当 时，设 ，则因此又由于，得其中。当时，令，则，因此其中 。综合得 例5 求 解： 练习设计课后习题2 （31-44）教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第四章 不定积分 第三节 分部积分法教学目标掌握分部积分法教学重、难点掌握分部积分法教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：设

10、，则有 或 两端求不定积分，得 或 即 (3-1)或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。例1 求解 ，如果设，有 备注：例2 例3 求 解 再一次用分部积分，有： 注1：由例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为，其余部分取为。由于指数（三角）函数凑进仍是指数（三角）函数的微分，而对求导时，将使幂函数的次数降低。故对此类型一般是将作为把指数（三角）函数当作，其“凑微分”的方法是：，设 ，则有 或 两端求不定积分，得 或 即 (3-1)或 (3-2)公式 (3-1) 或 (3-2) 称为不定积分的分部积分公式。例1 求 解： 例2 求解 把