统计精算模型第七讲

1、集体风险模型的应用主要内容1.2.3.停止损失再保险的纯保费团体红利模型复合泊松分布在风险模型的应用一、停止损失再保险（限额损失再保险）1、再保险（reinsureance），也称分保，是保险公司在保险合同的基础上通过签订分保合同，转嫁所承担的风险和责任的方式，通俗的说，就是对保险人的保险。常见的再保险形式：l比例再保险（1）成数再保险：原保险人按约定的比例，将每一个风险的保险金额向再保险人分保。（2）溢额再保险：原保险人规定一个最大保险金额作为自留额，当任何一个风险的保险金额小于这一金额时，原保险人自留全部责任。当保险金额超过这一金额时，原保险人和再保险人按照自留额和分出保额的比例来分摊赔款

2、。2：非比例再保险（1）超额赔偿再保险：（Excess of loss treaties）原保险人因同一原因发生的任何一次损失或因同一所导致的各次赔偿额的总和超过约定的自负额，其超出部分由再保险公司负责至一定额度。（2）停止损失再保险：（Stop loss treaties）以原保险人一段时间内（一般为一年）的总损失为基础，且合约中规定了自留额和赔偿限额。再保险公司的赔付额的期望称为停止损失净保费。下面我们来计算停止损失净保费。停止损失再保险的数学模型如下：记S 表示损失额，SR 和SN = S - SR 分别表示再保险人和原保险人承担的总损失额，设d 为自留额，对于停止损失再保险可表示如下（

3、省略了再保险的赔偿限额）S dS d= SSdNS d= 0S = S - S S - dS dRN= (S - d )+净停止损失再保费为 E(S - d )+ 由第二章的公式，E(S - d )+ ) = E(S - d ) 0)= d (x - d ) fS (x)dxor = (x - d ) fS (x)xd 或者E(S - d )+ ) = E(S ) - E(S d )d= E(S ) -(1- FS (x)dx0= d(1- FS (x)dx当理赔S 仅取非负整数值并且d 也是整数时，有：EId =(x - d ) fS (x)x=d +1= fS (d +1) + 2 fS

4、(d + 2) +d -1= ES - d + (d - x) fS (x)x=0= 1- FS (x)x=d 下面介绍几个特殊情况下的 E(S - d )+ ) 的公式：1、定理 设 P(a S b) = 0 ，则对任意 ad0，设 P(S = kh) = fk 0 ， k = 0,1, 2,且对于其它x，P(S = x) = 0 ，则对d = jhE(S - d )+ = h1- FS (m + j)hm=0证明：E(S - d )+ = (x - d ) fS (x)dxxd = (kh - jh) fk k = jk - j -1= h fk k = j m=0= hfkm=0 k =

5、m+ j +1= h1- FS (m + j)hm=0推论： 假设上述定理条件满足，则对d = jh 可以按下面的算法递推计算ES - ( j +1)h+ = E(S - jh)+ - h1- FS ( jh)E (S - 0)+ = E(S )证明：由定理知E(S - ( j +1)h)+ = h1- FS (m + j +1)hm=0= h1- FS (m + j)hm=1= h1- FS (m + j)h- h1- FS ( jh)m=0例 1：设理赔次数 N 服从几何分布，均值为 4，个别理赔额 X 恒等于 40。S 表示聚合理赔额，求 E (S -100)+ 。【解】对于均值为 4

6、的几何分布，可得 p = 0.2FS (0) = P ( N = 0) = 0.2FS (40) = P ( N 1) = 0.36 FS (80) = P ( N 2) = 0.488 E (S ) = 4 40 = 160由递推公式得E (S - 40)+ = E (S ) - 40 1- FS (0) = 128E (S - 80)+ = E (S - 40)+ - 40 1- FS (40) = 102.4E (S -120)+ = E (S - 80)+ - 40 1- FS (80) = 81.92于是= 120 -100 E(S - 80) + 100 - 80 E(S -120

7、) E (S -100)+120 - 80120 - 80= 81.92 +102.4 = 92.162例 2：（SOA，050119）For a stop-loss insurance on a three(i) Loss amounts are independent.group:(ii) The distribution of loss amount for eachis:(iii) The stop-loss insurance has a deductible of 1 for the group.Calculate the net stop-loss premium.xp00.41

8、0.320.230.1解：首先计算每个人的期望损失额E( X ) = 1 0.3 + 2 0.2 + 3* 0.1 = 1设 S 为总损失额，则S1 + X 2 + X3 ， E(S ) = 3E( X ) = 3 。当自留额为 1 时，E (S -1)+ = E(S - 0)+ -1(1- FS (0)= ES -1(1- fS (0)= 3 -1(1- 0.43 )= 3 - 0.936= 2.064练习：计算 E(S - 2)+ 。例 3：考虑某公司的一项牙医保险计划，公司为员工及其家庭成员投保牙医保险，每个已婚员工，不论其家庭人数为多少，他们的保费都一样，保险公司将每个人在该保险年度花

9、费统计如下（货币），为 25xf(x)10.1520.2030.2540.12550.07560.05此外，每个员工一年内的看牙医次数的分布如下npn00.0510.1020.1530.2070.0580.0590.025100.025（1） ：保险公司现在计算每个已婚的员工的一年总花费的分布。（2） ：考虑如果对每个已婚员工的一年总花费进行再保险，自留额对净停止损失保费的影响，分别计算d = 25, 30, 50 的净停止损失保费。解： 使用40.2550.1560.0670.0380.01f (x) = p f *n (x)Sn Xn=0得到 S 的分布如下S012345678fS (s)

10、0.050.0150.0230.0350.0330.0360.400.0440.048FS (0) = 0.05, FS (25) = 0.065, FS (50) = 0.08838, FS (75) = 0.12306E(S ) = E(N ) E( X ) = 2512.58 = 314.5E(S - 25)+ ) = E(S) - 25(1- FS (0) = 314.5 - 25(1- 0.05) = 290.75E(S - 50)+ ) = E(S - 25)+ ) - 25(1- FS (25)= 290.75 - 25(1- 0.065) = 267.375?E(S - 30)

11、 ) =E(S - 25) ) +E(S - 50) )+50 - 2550 - 25?5=290.75 +267.37525= 286.0725团体保险的红利模型保险业务中，尤其是团体保险业务中，常常会设置某种对投保人的红利政策，以使投保人能够公司的部分经营成果，同时鼓励投保人自我防范风险、减少可以避免的损失。下面考虑对实际赔付 S 低于定价假设的部分进行分红的方法，基本的做法是以所收取的保费 G 为基础，按照一定的份额设定一个额度，如果最后所发生的理赔低于这个额度，则把这部分差额作为红利返还给投保人，记此返还额为 D，故红利分配模型为：D(S) = kG - S,S kGS kG0 k 1

12、(*)0,设 S 的分布函数为 FS (x) ，密度函数为 fS (x) ，有kGE(D) = 0 D(x) f另外， d = kG ，容易验证：(x)dx =(kG - x) fS (x)dxS0S kG0,S + D - kG = S - kG,S kG = IkG (S ) ， 0 k 1两边取期望，得E(S) + E(D) - kG = kG (s - kG) f (s)ds = E(IkG )故E(D) = kG - E(S) + E(IkG )例 4 续的理赔分布 S，设保险人所收取的保费为 G=375，如果理赔总量低于 200，保险人将差额的一部分按照（*）的方式作为红利分配给投

13、保人。试计算 ED 。解：设 25 为基本货币，有kG = 8 ，由于E(D) = kG - E(S) + E(IkG )，经计算得 E(I8 ) = 143.988 ，故E(D) = 200 - 314.5 +143.988 = 29.4880例 5：某保单组的保费 G 等于 2，理赔总额的分布函数为 F (x) = 1- e-2x 。S保险人的红利支付函数为D = kG - SS kG0已知 E(D) = 1 e-4k ，则 k 等于（ ）。2A.1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5E.1/6【解】根据 D 的表，kGE(D) =(kG - s) f (s)ds02k=(2k - s

14、)2eds-2 s0= 2k - 1 + 1 e-4k22E(D) = kG - E(S) + E(I) = 2k - 1 - 1 e-22kkG22由因为 E(D) = 1 e-4k ，所以 1 e-4k= 2k - 1 + 1 e-4k2222k - 1 = 0 ， k = 1 。224风险模型的复合泊松分布近似假设有 n 张保单组成的保单组合，每张保单至多发生一次理赔，第nnj 张保单发生概率为qj ，理赔额为 bj。设S = X jj =1= I jbj ，由j =1风险模型知道，S 的均值、方差和数分别为nnE(S ) = E( Xi ) =biqi ，（4.3.5）i=1i=1nn

15、i=1Var(S ) =b q (1- q )2Va（4.3.6）iiii=1nP (z) = 1+ q (zbj -1)(4.3.7)Sjj =1将 PS (z) 两边取对数，并进行展开，得到n (-1)k+1ln P (z) = bq (z-1)k（4.3.8）jSjkj =1 k =1当qj 的值都非常小时，上式可以近似写为nln P (z) = q (zbj -1)Sjj =1= llj (zb -1)njlj =1其中l = q 和l = Sl 。于是nj =1 jjjPS (z) explPX (z) -1，(4.3.9)nP (z) = 1 lzbj(4.3.10)Xljj =1

16、若设S = X1 + XN ，其中 N 服从参数为l 的泊松分布，X 的概率分布为P( X = x) = 1 j:bj =xl(4.3.11)lj根据数的唯一性，S 的分布可用S 的分布来近似，即 S 可近似的看成参数为l 的泊松分布和 X 分布的复合。近似分布的均值和方差分别为nE(S ) = lE( X ) = biqii=1nVar(S ) = lE( X ) =q b22i ii=1与（4.3.5）的精确值比较，均值相同，当方差的估计偏高，差距为Sb2q2 。i i例 4.3.5 某公司为 14 名员工了团体人身保险。保险公司的精算率。每个员工按他的工资水平师选择了如下表来代表该团体的

17、（近似到 1000）进行投保。具体资料如下：员工12345678910赔付15000160002000028000310001800026000240006000014000率0.001490.001420.001280.001220.001230.003530.003940.004840.021820.000520232730314647496417男男男男男男男男男女1112131422263755170001900030000550000.00050.000540.001030.00479女女女女请用复合泊松模型计算总赔付额的近似分布。解： l = qj = 0.04813 ，X 的分为

18、Xx15162028311826P(X=x)0.030960.029500.0265950.0253480.025560.073340.08186Xx24601417193055P(X=x)0.100560.453360.0103890.0103890.011220.02140.0995使用递归公式f (x) = l yf ( y) f (x - y)xrSXSxy=1(0) = el ( f X (0)-1)f (0) = P ( fSNX计算得 S 的分如表 4.3.2。表 4.3.2 S 的近似分布xFS (x)xFS (x)xFS (x)xFS (x)00.9530099200.961

19、8348400.9735771600.999097410.9530099210.9618348410.9735850610.999098620.9530099220.9618348420.9736072620.999099430.9530099230.9618348430.9736133630.999099540.9530099240.9664473440.9736346640.999099550.9530099250.9664473450.9736393650.999099660.9530099260.9702022460.9736513660.999099770.9530099270.97

20、02022470.9736541670.999099780.9530099280.9713650480.9736708680.999099890.9530099290.9713657490.9736755690.9991022100.9530099300.9723490500.9736956700.9991091110.9530099310.9735235510.9736971710.9991156120.9530099320.9735268520.9737101720.9991179130.9530099330.9735328530.9737102730.9991341量 Bj 时，这时 X j = I j Bj ， X j 的当每张保单的理赔额是随数为PX (z) = 1-jj