第十八章隐函数定理及其应用_第1页
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1、第十八章 隐函数定理及其应用一. 填空题1. 椭球面在( 1,1,1 ) 处的切平面方程_,法线方程_. 2. 隐函数存在惟一性定理的条件是_条件. 3. 由方程所确定的隐函数的导数为_. 4. 设, 则 . 5. 曲线上任一点处的切线方程为_. 6. 螺旋线在处的切线方程为_,法平面方程_. 7.设 则 8. 在曲面上点_处,法线垂直于平面 9. 利用拉格朗日乘数法是将条件极值化为_极值. 10. 由方程所确定二元隐函数的偏导数为 二.计算题 1.设其中为由方程所确定的隐函数,求 2. 确定正数,使曲面与椭球面在某一点相切(即在该点有公共切平面). 3. 求内接于半径为a的球且有最大体积的长

2、方体. 4在平面上求一点，使它到及三直线的距离平方之和为最小。5.求平面曲线上任一点处的切线方程,并证明这些切线被坐标轴所截取的线段等长.6.设确定隐函数， 求 .7.抛物面被平面截成一个椭圆,求这个椭圆到原点的最长与最短距离.8.验证二元方程在点0的某邻域确定唯一一个有连续导数的隐函数 并求.9. 求出曲线上的点, 使在该点的切线平行于平面.10. 设求填空题答案: 1. 切平面方程 , 法线方程 2. 充分条件. 3. 4. . 5. .6. 切线方程 , 法平面方程 .7. 8. . 9. 无条件.10. .计算题答案: 1.解：由得 , 由得 故 .2. 解：设两曲面在点相切,则曲面在

3、点的切平面 .与椭球面在点的切平面 应为一个平面, 所以 , 即 又 所以 .3. 解：设球面方程为是它的内接长方体在第一卦限内的一个顶点,则此长方体的长、宽、高分别为体积为 令 由 即 解得 代入得为惟一驻点，由题意可知长方体的最大体积存在，所以当长方体的长、宽、高都为时其体积最大。4. 解：设所求点为,则此点到三直线的距离依次为：三距离平方之和为 ,由 求得驻点. 由于驻点惟一,根据问题本身可知,距离平方和最小的点必定存在,故所求点即为.5. 解：令 则 于是,曲线上任一点处的切线方程为：.切线与两轴的交点分别为 , 而.6. 解: 方程两边对求导得, 解得 , 由原方程.故 .7. 解: 令 ,则有 求得方程组的解为 , .由于所求问题存在最大值与最小值, 故由所求得的两个值, 正是该椭圆到原点的最长距离与最短距离.8. 解: 函数与在点( 0, 0 )邻域连续, 且 由隐函数存在定理, 在点0的某个邻域存在唯一一个有连续导数的函数, 使 且 .9. 解: , 设所求点对应的参数为, 则曲线在该点处切向量可取为, 而

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