离散型随机变量的均值与方差

1、第9节离散型随机变量的均值与方差最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题知 识 梳 理1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2xixnPp1p2pipn(1)均值称E(X)x1p1x2p2xipixnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称D(X)_(xiE(X)2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.2.均值与方差的性质(1)E(aXb)aE(X)b.(2)D(aX

2、b)a2D(X)(a，b为常数).3.两点分布与二项分布的均值、方差(1)若X服从两点分布，则E(X)p，D(X)p(1p).(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(X)np(1p).微点提醒1.若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)E(x1)·E(x2).2.均值与方差的关系：D(X)E(X2)E2(X).3.超几何分布的均值：若X服从参数为N，M，n的超几何分布，则E(X).基 础 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“×”)(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.()(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.()(3)随机变量的方差和

3、标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.()(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.()解析均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.答案(1)×(2)(3)(4)×2.(选修23P68A1改编)已知X的分布列为X101P设Y2X3，则E(Y)的值为()A. B.4 C.1 D.1解析E(X)1×0×1×，E(Y)E(2X3)2E(X)33.答案A3.(选修23P

4、68练习2改编)若随机变量X满足P(Xc)1，其中c为常数，则D(X)的值为_.解析P(Xc)1，E(X)c×1c，D(X)(cc)2×10.答案04.(2018·浙江卷)设0<p<1，随机变量的分布列是012P则当p在(0，1)内增大时()A.D()减小 B.D()增大C.D()先减小后增大 D.D()先增大后减小解析由题可得E()p，所以D()p2p，所以当p在(0，1)内增大时，D()先增大后减小.答案D5.(2019·合肥检测)甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X，Y，其分布列分别为：X0123P0.40.30.2

5、0.1Y012P0.30.50.2若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是_.解析E(X)0×0.41×0.32×0.23×0.11.E(Y)0×0.31×0.52×0.20.9，所以E(Y)<E(X)，故乙技术好.答案乙6.(2017·全国卷)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)_.解析有放回地抽取，是一个二项分布模型，其中p0.02，n100，则D(X)np(1p)100×0.02×0.981.9

6、6.答案1.96考点一离散型随机变量的均值与方差【例1】 (2019·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量(单位：元)，求的分布列与数学期望E()，方差D().解(1)两人所付费用相同，相

7、同的费用可能为0，40，80元，两人都付0元的概率为p1×，两人都付40元的概率为p2×，两人都付80元的概率为p3××，则两人所付费用相同的概率为pp1p2p3.(2)由题设甲、乙所付费用之和为，可能取值为0，40，80，120，160，则：P(0)×；P(40)××；P(80)×××；P(120)××；P(160)×.的分布列为04080120160PE()0×40×80×120×160×80.D()(080)2

8、×(4080)2×(8080)2×(12080)2×(16080)2×.规律方法(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.(2)注意E(aXb)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)的应用.【训练1】 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.解(1)随机变量X的所有可能

9、取值为0，1，2，3，P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0×1×2×3×.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)××.所以，这2辆车共遇

10、到1个红灯的概率为.考点二二项分布的均值与方差【例2】 (2019·顺德一模)某市市民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费，从该市随机调查了100位市民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，并且前四组频数成等差数列.(1)求a，b，c的值及居民月用水量在22.5内的频数；(2)根据此次调查，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应将w定为多少？(精确到小数点后2位)(3)若将频率视为概率，现从该市随机调查3名居民的月用水量，将月用水量不超过2.5立方米的人数记为X，求其分布列及均值.解

11、(1)前四组频数成等差数列，所对应的也成等差数列，设a0.2d，b0.22d，c0.23d，0.50.2(0.2d)×20.22d0.23d0.1×31，解得d0.1，a0.3，b0.4，c0.5.居民月用水量在22.5内的频率为0.5×0.50.25.居民月用水量在22.5内的频数为0.25×10025.(2)由题图及(1)可知，居民月用水量小于2.5的频率为0.7<0.8，为使80%以上居民月用水价格为4元/立方米，应规定w2.52.83.(3)将频率视为概率，设A(单位：立方米)代表居民月用水量，可知P(A2.5)0.7，由题意，XB(3，0

12、.7)，P(X0)C×0.330.027，P(X1)C×0.32×0.70.189，P(X2)C×0.3×0.720.441，P(X3)C×0.730.343，X的分布列为X0123P0.0270.1890.4410.343XB(3，0.7)，E(X)np2.1.规律方法二项分布的均值与方差.(1)如果B(n，p)，则用公式E()np；D()np(1p)求解，可大大减少计算量.(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(ab)aE()b以及E()np求出E(ab)，同样还可求

13、出D(ab).【训练2】 (2019·湘潭三模)某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如表所示：质量(g)5，15)15，25)25，35)35，45)45，55数量(只)6101284(1)若购进这批生蚝500 kg，且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数)；(2)以频率视为概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4个，记质量在5，25)间的生蚝的个数为X，求X的分布列及数学期望.解(1)由表中的数据可以估算一只生蚝的质量为(6×1010×2012×308×404×50)

14、28.5(g)，所以购进500 kg生蚝，其数量为500 000÷28.517 544(只).(2)由表中数据知，任意挑选一只生蚝，质量在5，25)间的概率为，由题意知X的可能取值为0，1，2，3，4，P(X0)，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C，P(X4)，X的分布列为X01234PE(X)0××3×3×4.考点三均值与方差在决策问题中的应用【例3】 某投资公司在2019年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情

15、况发生的概率分别为和；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.解若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为X1300150PE(X1)300×(150)×200(万元).若按“项目二”投资，设获利X2万元，则X2的分布列为：X25003000PE(X2)500×(300)×0×200(万元).D(X1)(300200)2×(150200)2×35 000

16、，D(X2)(500200)2×(300200)2×(0200)2×140 000.所以E(X1)E(X2)，D(X1)<D(X2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥.综上所述，建议该投资公司选择项目一投资.规律方法随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.【训练3】 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水

17、之和，单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40<X<8080X120X>120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机

18、多少台？解(1)依题意，得p1P(40<X<80)0.2，p2P(80x120)0.7，p3P(X>120)0.1.由二项分布，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为pC(1p3)4C(1p3)3p34××0.947 7.(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元).安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y5 000，E(Y)5 000×15 000.安装2台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y5 0008004 200，因此P(Y4 200)P

19、(40<X<80)p10.2；当X80时，两台发电机运行，此时Y5 000×210 000，因此P(Y10 000)P(X80)p2p30.8.由此得Y的分布列如下：Y4 20010 000P0.20.8所以，E(Y)4 200×0.210 000×0.88 840.安装3台发电机的情形.依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y5 0001 6003 400，因此P(Y3 400)P(40<X<80)p10.2；当80X120时，两台发电机运行，此时Y5 000×28009 200，因此P(Y9 200)P(

20、80X120)p20.7；当X>120时，三台发电机运行，此时Y5 000×315 000，因此P(Y15 000)P(X>120)p30.1.因此得Y的分布列如下：Y3 4009 20015 000P0.20.70.1所以，E(Y)3 400×0.29 200×0.715 000×0.18 620.综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台.思维升华1.掌握下述均值与方差有关性质，会给解题带来方便：(1)E(aXb)aE(X)b，E(XY)E(X)E(Y)，D(aXb)a2D(X)；(2)若XB(n，p)，则E(X)np，D(

21、X)np(1p).2.基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解；(2)已知随机变量X的均值、方差，求X的线性函数YaXb的均值、方差和标准差，可直接用均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量服从常用的分布(如二项分布)，可直接利用它们的均值、方差公式求解.易错防范1.在没有准确判断分布列模型之前不能乱套公式.2.对于应用问题，必须对实际问题进行具体分析，一般要将问题中的随机变量设出来，再进行分析，求出随机变量的分布列，然后按定义计算出随机变量的均值、方差.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.已知离散型随机变量X的分布列为X123P

22、则X的数学期望E(X)()A. B.2 C. D.3解析由数学期望公式可得E(X)1×2×3×.答案A2.已知离散型随机变量X的概率分布列为X135P0.5m0.2则其方差D(X)()A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4解析由0.5m0.21得m0.3，E(X)1×0.53×0.35×0.22.4，D(X)(12.4)2×0.5(32.4)2×0.3(52.4)2×0.22.44.答案C3.(2019·宁波期末)一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和n(nN*)个黑球.现从中有放回的摸取

23、4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若D(X)1，则E(X)()A.1 B.2 C.3 D.4解析由题意，XB(4，p)，D(X)4p(1p)1，p，E(X)4p4×2.答案B4.签盒中有编号为1，2，3，4，5，6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为()A.5 B.5.25 C.5.8 D.4.6解析由题意可知，X可以为3，4，5，6，P(X3)，P(X4)，P(X5)，P(X6).由数学期望的定义可求得E(X)3×4×5×6×5.25.答案B5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1

24、分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止.设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)为()A. B. C. D.解析依题意，知X的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为.若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有P(X2)，P(X4)×，P(X6)，故E(X)2×4×6×.答案B二、填空题6.已知随机变量的分布列为123P0.5xy若E()，则D()_.解析由分布列性质，得

25、xy0.5.又E()，得2x3y，可得D()×××.答案7.在一次随机试验中，事件A发生的概率为p，事件A发生的次数为，则数学期望E()_，方差D()的最大值为_.解析记事件A发生的次数可能的值为0，1.01P1pp数学期望E()0×(1p)1×pp，方差D()(0p)2×(1p)(1p)2×pp(1p).故数学期望E()p，方差D()的最大值为.答案p8.一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0、两个面上标有数字1、一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积X的数学期望是_.解析随机变量X的取值为0，

26、1，2，4，则P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X4)，因此E(X).答案三、解答题9.(2019·淮北模拟)某班共50名同学，在一次数学考试中全班同学成绩全部在90分到140分之间.将成绩按如下方式分成五组：第一组：90，100)，第二组：100，110)，第五组：130，140.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.将成绩大于或等于100分且小于120分记为“良好”，120分以上记为“优秀”，不超过100分记为“及格”.(1)求该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数；(2)若从第一、五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.解(

27、1)由频率分布直方图知，成绩在100，120)内的人数为50×0.016×1050×0.038×1027，该班学生在这次数学考试中成绩“良好”的人数为27.(2)由频率分布直方图可知第一组有0.006×10×503个成绩，第五组有0.008×10×504个成绩，即第一、五组中共有7个成绩.由题意，X的可能取值为0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，则X的分布列为X012PE(X)0×1×2×.10.(2016·全国卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘

28、汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列；(2)若要求P(Xn)0.5，确定n的最小值；(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n19与n20之中选其一，应选用哪个？解(1)由柱状图并以频率代替

29、概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22，P(X16)0.2×0.20.04；P(X17)2×0.2×0.40.16；P(X18)2×0.2×0.20.4×0.40.24；P(X19)2×0.2×0.22×0.4×0.20.24；P(X20)2×0.2×0.40.2×0.20.2；P(X21)2×0.2×0.20.08

30、；P(X22)0.2×0.20.04；所以X的分布列为X16171819202122P0.040.160.240.240.20.080.04(2)由(1)知P(X18)0.44，P(X19)0.68，故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元).当n19时，E(Y)19×200×0.68(19×200500)×0.2(19×2002×500)×0.08(19×2003×500)×0.044 040.当n20时，E(Y)20×200×

31、;0.88(20×200500)×0.08(20×2002×500)×0.044 080.可知当n19时所需费用的期望值小于n20时所需费用的期望值，故应选n19.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸得白球个数为X，已知E(X)3，则D(X)()A. B. C. D.解析由题意，XB，又E(X)3，m2，则XB，故D(X)5××.答案B12.某篮球队对队员进行考核，规则是：每人进3个轮次的投篮；每个轮次每人投篮2次，若至少投中1次，则本轮通过，否则不通过.已知队员甲投篮1次投中的概率为，如果甲各次投篮投中与否互不影响，那么甲3个轮次通过的次数X的期望是()A.3 B. C.2 D.解析在一轮投篮中，甲通过的概率为p，通不过的概率为.由题意可知，甲3个轮次通过的次数X的取值分别为0，1，2，3，则P(X0)；P(X1)C××；P(X2)C