相似图形讲义

1、相似图形（一）知识点一 比例线段 1把的值叫做线段的比，若，则称线段成比例线段。 2，其中分别叫第一、第二、第三、第四比 例项，称为外项，称为内项；外项的积等于内项的积。 3，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 注意：比例尺的关键点分子为1；单位统一例题1 下列各组中的四条线段成比例的是( )A.a =，b =3，c =2，d = B.a =4，b =6，c =5，d =10C.a =2，b =，c=2，d = D.a =2，b =3，c =4，d =1例题2 在比例尺为1500000的地图上，A、B两地的距离是64 cm，则这两地间的实际 距离是_Km 例题3 在一张地图

2、上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m，那 么这张地图的比例尺为_.知识点二 比例的性质 1、基本性质：； 反比性质：； 更比性质：； 合比性质：； 等比性质：，则 比例中项：若，则称是的比例中项2、 比值K：若，可令,则有： 注意：解题时扣紧分式的恒等变形，如约分；并灵活应用比值K。（一）线段的比1.两条线段的比的概念：两条线段的比就是两条线段长度的比例：(1)线段a的长度为3厘米，线段b的长度为6米，所以两线段a,b的比为36=12,对吗？不对，因为a、b的长度单位不一致，.注意在量线段时要选用同一个长度单位. 解： 解：设x=2k，y=3k，z=4k (二)比

3、例尺=图上距离实际距离. 例1. 已知：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距离为1cm，则该地图的比例尺为_。现量得该地图上太原到北京的距离为6.4cm，则两地的实际距离为_（用科学记数法表示）。相距50千米的C、D两地在该地图上的距离为_。 解： 答案：1：8000000；5.12×102km；0.625cm（三）比例的基本性质：如果，那么ad=bc A. a:b=m:nB. a:m=b:nC. a:m=n:bD. a:n=b:m （四） 合比性质、等比性质： . 解： 例：已知，且2a+b+3c=21，求a,b,c的值（五）相似多边形 1. 对应角相等，对

4、应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比等于相似比。例. （1）如图，两个矩形是否相似？ 解： （2）下列判断正确的是（D ） A. 两个平行四边形一定相似B. 两个矩形一定相似 C. 两个菱形一定相似D. 两个正方形一定相似 （3）下列各图形中，一定相似的是（D ） A. 两个平行四边形B. 两个直角三角形 C. 底角相等的两个等腰梯形D. 有一个角为60o的两个菱形 106o （5）已知四边形ABCD四边形ABCD，且AB：BC：CD：DA=7：6：5：4，若四边形ABCD周长为44，则A

5、B=_，BC=_，CD=_，DA=_。 解：四边形ABCD的四边长的比也为7：6：5：4，分别设为7x，6x，5x，4x   例10. （2）两个相似三角形对应边上的高的比为4：9，它们的周长比为_，面积比为_。 （3）两个相似多边形地块的相似比为3：4，面积差为28m2，则它们的面积分别为_。 解：（1）面积比等于相似比的平方，相似比=1：3 （2）4：9；16：81 （3）面积比为9：16，设两个相似地块分别为9x，16x （六）相似三角形1、相似三角形,就是形状相同,但大小不一样。定义：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。所有的边数相同的正多边形都相似（正三

6、角形，正方形，正五边形等等）2、相似三角形的判定方法有（1）两角对应相等，两三角形相似。 （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 （3）三边对应成比例，两三角形相似。3、相似三角形的性质：1. 相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比（相似三角形的对应边的比，叫做相似比）。2. 相似三角形周长的比等于相似比。3. 相似三角形面积的比等于相似比的平方。例11. 解： G、H分别在AC、AB上，BC=15cm，BC边上的高AD=10cm，求正方形的面积。 （2） 设正方形边长为x 例题4 若ac=bd，则下列各式一定成立的是( )A.B. C.D.例题5 已

7、知,则下列式子中正确的是（ ）A. ab=c 2d 2 B. ad=cb C. ab=（a+c）（b+d） D. ab=（ad）（bd）例题6 已知，且，求的值。例题7 已知，求的值知识点三 黄金分割 1、黄金分割点：若点P分线段AB得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项， 则称点P是线段AB的黄金分割点；2、黄金比值： 叫做黄金比值。 注意：记住黄金比值，及其近似值0.618例题8 已知点M将线段AB黄金分割(AMBM)，则下列各式中不正确的是( )AAMBM =ABAM B.AM =AB C.BM =AB D.AM 0.618AB例题9 已知P、Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB10

8、cm，则PQ长为（ ） A、 B、 C、 D、 课堂练习1. 已知，设，那么A、B、C的大小顺序为 （ ） A、A>B>C B、A<B<C C、C>A>B D、A<C<B2若，则下列等式中，不正确的是（ ） A、 B、 C、 D、3若，则（ ） A、1:2 B、1:4 C、1:6 D、1:84若，则的值为（ ） A、-2 B、2 C、3 D、-35已知，且，则（ ） A、11 B、12 C、 D、96若，且，则的值是（ ） A、5 B、-5 C、20 D、-207若，则等于（ ） A、12 B、 C、- D、8已知AB=1，且，则BC的长为（ ）

9、 A、 B、 C、 D、9已知P是线段AB的黄金分割点，且，则AB的长为（ ） A、2 B、 C、2或 D、以上都不对10若，则等于 11已知，则 12如果，且，那么 13已知，则 14把长为5的线段进行黄金分割，则较短的线段长是 15若,且2ab+3c=21.则abc = 课后作业1. 若4x=5y,则xy . 2. 若，则 .3. 已知，则的值为 . 4. 已知，那么 .5.若3，且b+d+f4，则a+c+e .6.若(x+y)y83，则xy . 7. 若，那么 .8. 等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 .9. 如果xyz135，那么 10. 已知点C是线段AB的黄金分割点, AC，

10、且ACBC，求线段AB与BC的 长。比例性质及比例线段一、知识点与方法概述：1、比例的性质：基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d.合比性质：等比性质：如果，那么.2、（成）比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项.3、黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC>BC)，且使AC是A

11、B和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割, 点C叫做线段AB的黄金分割点. 注意：1、AC»0.618AB；2、0.618叫做黄金比；3、一条线段有两个黄金分割点.4、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的线段对应成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两边（或两边的延长线）相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.（三角形一边平行线的性质）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.（三角形一

12、边平行线的判定定理）5、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等.根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况（如图1-图5）:推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.已知：在梯形ACFD中，AB=BC求证：DE=EF推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边.已知：在ACF中，AB=BC 求证：AE=EF6、三角形的中位线定理：三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。已知：如图，D、E分别为AB、AC的中点求证：，

13、7、梯形的中位线定理梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半。已知：梯形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点求证：，.8角平分线定理：角平分线上的点到角的两边距离相等。逆定理：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。9.线段垂直平分线定理：线段的垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。逆定理：到线段两个端点的距离相等的点，在线段的垂直平分线上。二、典型例题：1. 如图，CE是DABC的中线，. 若EF=18cm，则BG= cm；若CD=9cm，则AF= cm.2. 如图，DABC中，E为BC上一点，CD平分交AE于点D，且CDAE，交AB于F。若AF=2cm，则AB= cm.3. 已知：如图，DABC中，AB:BC:CA=3:2:4,AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，求DDEF的周长.4. 已知：如图，DABC中，BD、CE分别是、的平分线，于H，于F，若AB=14厘米，AC=9厘米，BC=18厘米，求FH的长.5. 已知：如图，梯形ABCD中，高是h，中位线长m，求两底的长.6. 已知：，设，那么A、B、C的大小顺序是 .7. 已知：，则= .8. （2002·天津）已知：是正数，且，下列四个点中，在正比例函数的图像上的点的坐标是（ ）A（1，） B.(