直线和圆锥曲线的位置关系

1、聚焦考点 直线和圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系是历年高考命题的热点；试题具有一定的综合性，覆盖面大，不仅考查“三基”掌握的情况，而且重点考查学生的作图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算，以及运用数学知识分析问题和解决问题的能力。在近几年的高考中，每年风格都在变换，考查思维的敏捷性，在探索中求创新。具体来说，这些问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点，如直线被圆锥曲线截得的弦长、弦中点问题，垂直问题，对称问题。与圆锥曲线性质有关的量的取值范围等是近几年命题的新趋向。纵观近几年高考和各类型考试，可以发现：1研究直线与圆锥曲线位置关系的问题，通常有两种方法：一是转化

2、为研究方程组的解的问题，利用直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题（包括公共点个数、与交点坐标有关的问题）转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；二是运用数形结合，迅速判断某些直线和圆锥曲线的位置关系。2涉及弦长问题，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦问题，利用差分法较为简便。3充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用。灵活应用数形结合的思想、函数思想、等价转化思想、分类讨论思想解题。热点透析题型1：直线与圆锥曲线的交点个数问题例1已知双曲线C:2x2y2=2与点P(1，2)(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别

3、有一个交点，两个交点，没有交点.(2)若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.解:(1)当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y2=k(x1),代入C的方程，并整理得(2k2)x2+2(k22k)xk2+4k6=0 .(*)()当2k2=0,即k=时，方程(*)有一个根，l与C有一个交点()当2k20,即k时=2(k22k)24(2k2)(k2+4k6)=16(32k)当=0,即32k=0,k=时，方程(*)有一个实根，l与C有一个交点.当0,即k,又k,故当k或k或k时，方程(*)有两不等实根，l与C有两个交点.当0，即k时，方

4、程(*)无解，l与C无交点.综上知:当k=,或k=，或k不存在时，l与C只有一个交点；当k,或k,或k时，l与C有两个交点；当k时，l与C没有交点.(2)假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x12y12=2,2x22y22=2两式相减得:2(x1x2)(x1+x2)=(y1y2)(y1+y2)又x1+x2=2,y1+y2=22(x1x2)=y1y1即kAB=2但渐近线斜率为,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.分析第一问考查直线与双曲线交点个数问题，归结为方程组解的问题.第二问考查处理直线与圆锥曲线问题的第二种方法“点差

5、法”.易错点提醒:第一问，求二次方程根的个数，忽略了二次项系数的讨论.第二问，算得以Q为中点弦的斜率为2，就认为所求直线存在了.技巧与方法:涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.热身训练1直线与双曲线的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围。（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。【解】（1）将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程后，整理得。 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同的两点，故解得k的取值范围为（2）设A、B两点的坐标分别为、，则由式

6、得假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点，则由得：，即。整理得。把式及代入式，化简得。解得或（舍去）。存在使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。题型2：有关弦长问题【例2】如图所示，已知椭圆与抛物线有公共焦点，M是它们的一个交点，若，且。（1）求椭圆及抛物线的方程；（2）是否存在过F的直线l被椭圆及抛物线截得的弦长相等，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由。【解】（1）的焦点，准线：，p=2c。设，由，得，由，得，c=2。，代入，解得，椭圆方程为，抛物线方程为。（2）设直线l的方程为，与联立，得。将l的方程与椭圆方程联立，得：由。存在直线l，其方程为：或。题型

7、3：与中点弦有关的问题【例3】已知双曲线方程。（1）过M（1，1）的直线交双曲线于A、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。（2）是否存在直线l，使为l被双曲线所截弦的中点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。【解】本题涉及弦的中点问题，可以选用差分法解决。（1）设，则，则有-得。，。若，由知，则点A、B均不在双曲线上，与题设矛盾，。 。直线AB的方程为，即x-2y+1=0。双曲线的一条渐近线方程为，而，直线x-2y+1=0与双曲线交于两点，x-2y+1=0为所求。（2）假设过N的直线l交双曲线于，则有， 。两式相减，得。依题意，。双曲线的一条渐近线方程为，而，直线l与双曲线

8、没有公共点，以为弦中点的直线不存在。题型4：对称问题【例4】在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为的直角顶点，已知，且点B的纵坐标大于零。（1）求向量的坐标；（2）求圆关于直线OB对称的圆的方程；（3）是否存在实数a，使抛物线上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，理由；若存在，求a的取值范围。【说明】这是一个非常好的、综合性强的题目要认真研究。【解】（1）设，则由，得，解得，或，得。故。（2）由，得B（10，5），于是直线OB的方程为：。由题设可知，圆的标准方程为：。得圆心（3，-1），半径为。设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y），则，得。故所求圆的方程为。（3）设为

9、抛物线上关于直线OB对称的两点，则，得，即为方程的两个相异实根。于是由，得。故当时，抛物线上总有关于直线OB对称的两点。【评析】对称性问题是高考的热点，一般包括点对称与直线对称，要重视此类问题的常规解法，如本题主要考查两个方面：一是中点在对称轴上；二是利用垂直关系，通过联立方程组求解。一般情况下，对称问题都可以转化为点的对称来加以解决。热身训练1若抛物线上总存在关于直线对称的两点，求的范围.解法一:（对称曲线相交法）曲线关于直线对称的曲线方程为.如果抛物线上总存在关于直线对称的两点，则两曲线与必有不在直线上的两个不同的交点(如图所示)，从而可由:.代入得有两个不同的解，.解法二:（对称点法）设

10、抛物线上存在异于于直线的交点的点，且关于直线的对称点也在抛物线上.则 必有两组解.(1)-(2)得:必有两个不同解.，有解.从而有有两个不等的实数解.即:有两个不等的实数解.，.解法三:（点差法）设抛物线上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是抛物线（即）内的点.从而有.由(1)-(2)得:由.从而有.热身训练2试确定的取值范围，使得椭圆上有不同两点关于直线对称.解:设椭圆上以为端点的弦关于直线对称，且以为中点是椭圆内的点.从而有.由(1)-(2)得:由由在直线上从而有.热身训练3已知直线过定点A(4,0)且与抛物线交于P、Q两点，若以PQ为直径的圆恒过原点O，求的值.解:可设直线的方程为代入

11、得.设，则.由题意知，OPOQ，则即 此时，抛物线的方程为.题型5：圆锥曲线中几何量的范围问题【例5】已知常数a0，向量m=（0，a），n=（1，0），经过定点A（0，-a）以m+n为方向向量的直线与经过定点B（0，a），以n+2m为方向向量的直线相交于点P，其中。（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若，过E（0，1）的直线l交曲线C于M、N两点，求的取值范围。【解】（1）设P点的坐标为（x，y），则，又n，m，故mn，nm。由题知向量与向量mn平行，故。又向量与向量nm平行，故。两方程联立消去参数，得点P（x，y）的轨迹方程是，即。（2），故点P的轨迹方程为，此时点E（0，1）为双曲线的焦点。

12、若直线l的斜率不存在，其方程为x=0，l与双曲线交于，此时。若直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+1，代入化简得。直线l与双曲线交于两点，且，即。设两交点为，则。此时。当-1k1或k-1时，故。综上所述，的取值范围是。热身训练1如图，已知某椭圆的焦点是F1(4，0)、F2(4，0)，过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件:|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦AC中点的横坐标；(3)设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.命题意图:本题

13、考查直线、椭圆、等差数列等基本知识，一、二问较简单，第三问巧妙地借助中垂线来求参数的范围，设计新颖，综合性，灵活性强.知识依托:椭圆的定义、等差数列的定义，处理直线与圆锥曲线的方法.错解分析:第三问在表达出“k=y0”时，忽略了“k=0”时的情况，理不清题目中变量间的关系.技巧与方法:第一问利用椭圆的第一定义写方程；第二问利用椭圆的第二定义(即焦半径公式)求解,第三问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围解:(1)由椭圆定义及条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=3.故椭圆方程为=1.(2)由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|

14、yB|=.因为椭圆右准线方程为x=,离心率为，根据椭圆定义，有|F2A|=(x1),|F2C|=(x2)，由|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列，得(x1)+(x2)=2,由此得出:x1+x2=8.设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=4.(3)解法一:由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上.得 得9(x12x22)+25(y12y22)=0,即9=0(x1x2)将,(k0)代入上式，得94+25y0()=0:(k0)即k=y0 (当k=0时也成立).由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y04k=y0y0=y0.由点P(4，y0)在线段BB(B

15、与B关于x轴对称)的内部，得y0,所以m.解法二:因为弦AC的中点为P(4,y0)，所以直线AC的方程为yy0=(x4) (k0) 将代入椭圆方程=1,得(9k2+25)x250(ky0+4)x+25(ky0+4)2259k2=0所以x1+x2=8, 解得k=y0. (当k=0时也成立)(以下同解法一).最新考题探究直线与圆锥曲线的位置关系综合考查了直线与圆锥曲线的有关概念、定义与性质以及运算能力、转化能力，是高考命题的重点和热点。在高考试题中年年会出现，且试题的难度比较大，经常在“压轴题”中出现，集中体现了对知识和能力的考查，其中直线与圆锥曲线相交及圆锥曲线中的相关弦问题是考查的重点。【考题

16、】（07四川文21）(本小题满分12分)求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.（）若r是第一象限内该数轴上的一点，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于同的两点A、B，且ADB为锐角（其中O为坐标原点），求直线的斜率的取值范围.解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力（）易知，设则，又，联立，解得，（）显然不满足题设条件可设的方程为，设，联立，由，得又为锐角，又综可知，的取值范围是【评析】向量与解析几何的交汇是近两年高考数学题的“流行色”，由于向量兼具“数”和“形”的双重特征，因此用向量实现数形的转化与沟通较容易，而解

17、析几何又正是用代数方法研究几何问题的数学分支，相似的理念、共同的目标使得向量与解析几何的联袂一拍即合，相得益彰。名师温馨提示1有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应该注意数形结合；2有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理，设而不求；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算；3有关弦的中点问题，应注意灵活运用“差分法”，设而不求，简化运算。4有关垂直关系问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，整体处理。5有关圆锥曲线关于直线l的对称问题中，若A、A是对称点，则应抓住线段AA的中点在l上及这两个关键条件解决问题。6有关直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，一般采用“假设反证法

18、”或“假设验证法”。课后实战训练1椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点所在直线的斜率为，则的值是（）ABCD（目的：理解中点弦的斜率与圆锥曲线方程中系数的关系）【答案】（A）【解析】设则，两式相减得，所以2设抛物线与过焦点的直线交于两点，则的值是（）ABC3D-3（目的：借助向量、利用韦达定理理解抛物线焦点弦的特性） 【答案】（B）【解析】3若直线与椭圆相交于两点，当变化时，的最大值是？（目的：掌握弦长公式的应用，理解直线与椭圆相交弦的弦长随的变化情况）【答案】【解析】4在抛物线上求一点，使该点到直线的距离最短，该点的坐标是_。（目的：学会借用直线与圆锥曲线位置关系来讨论曲线上的点到直线距离的最值问题）【答案】【解析】设直线是与直线平行且与抛物线相切的直线，求得，切点为，即为所求的点。5已知对，直线与椭圆恒有公共点，则实数的取值范围是（）ABCD（目的：理解方程中含有一个参数的直线的特征，能够用直线上的特殊点判断直线与圆锥曲线的关系）【答案】 【解析】直线恒过点，当点在椭圆上或椭圆内时此直线恒与椭圆有公共点。6已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0）直线y=x1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，则此双曲线的方程