线性代数复习题

1、一、n 阶行列式1、n阶行列式定义，n阶排列的逆序数，展开式的项数及判断某一项的符号，行列式性质及推论。2、n阶行列式元素 的代数余子式 的概念及计算。n行列式按一行展开定理及推论。 展开定理。3、行列式计算（利用性质、按一行展开定理、 展开、利用已知行列式值，并含计算分块矩阵及一些特殊方阵的行列式）。二、 n维向量1、向量定义及其运算。（向量的线性运算即加法和数乘、向量的内积的定义和运算规律）2、向量组的线性组合。一组（或一个）向量可由另一组向量线性表出、两组向量等价。定义和判定定理及有关结论。3、向量组的线性相关性（定义、判定向量组线性相关或线性无关，及相关的定理和推论）。4、向量组的秩及

2、极大线性无关组。（定义、相关结论、求秩及极大线性无关组）5、标准正交向量组（正交向量组必是线性无关的）及施密特标准正交化（这是将一组线性无关的向量化为标准正交向量组的有效方法）。6*、n维向量空间 ：定义、维数、一组基、 中向量在一组基下的坐标。三、线性方程组（下述矩阵 为 矩阵）1、线性方程组有解的判定： 1）齐次线性方程组 有非零解 2）线性方程组 有解2、线性方程组解的性质：三条3、线性方程组解的结构1） 中 时，基础解系通解：2）非齐次方程组 ，当 时， 为方程组一个特解， 为其导出组的一个基础解系，则通解为4、线性方程组具体求解方法1）讨论非齐次线性方程组 解的存在性。将增广矩阵 经

3、过行初等变换化阶梯形，从而可得知与 ，当且仅当 时 有解。2）齐次线性方程组 求通解的方法：（1） 阶梯形，求出一般解。（2）求基础解系，并写出通解3）非齐次线性方程组 求通解的方法：（1） 阶梯形，求出一般解。（2）求出一个特解。（3）写出导出组的一般解，并求导出组的一个基础解系。（4）写出通解。四、矩阵1、矩阵运算及其运算法则：加法、数乘、乘法（没有交换率、没有消去率、由 得不出 或 ）、转置、求逆。2、n阶矩阵A的伴随矩阵 （定义）。 性质：1） 2） 3） 4） 5）A 为n阶矩阵：3、可逆矩阵： 1）矩阵A可逆的定义 2）A可逆，求 的方法： 3）矩阵A可逆的充分必要条件 4）化简及

4、求解矩阵方程 4、矩阵的秩： 1）定义，由定义知 2）矩阵的秩等于它行（列）向量组的秩。 3）矩阵的秩的求法：矩阵经初等变换化阶梯形。 4）A 为 矩阵，B为 矩阵，且 AB=0， 则 。 5）矩阵运算后秩的变化：数乘、转置、求逆、加法、乘法。5、方阵运算后的行列式关系： A,B均为n阶方阵， 。6、矩阵的初等变换。 1）矩阵的行（列）三种初等变换。 2）矩阵经初等变换，秩不变。 3）初等矩阵。（1）定义。（2）初等矩阵在将矩阵作初等变换转化为矩阵乘法的等式时的特殊作用。 7、矩阵的分块运算： 矩阵与向量组的转化，矩阵方程和线性方程间的转化。8、特殊矩阵（定义及性质）： 零矩阵、单位矩阵、数量

5、矩阵、上（下）三角矩阵、对角矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵。9、两矩阵间的关系： 1）n阶矩阵A与B相似：定义（ ）、性质。 2）n阶矩阵A与B互为可逆矩阵。（AB=I） 3）n阶矩阵A与B合同：定义（可逆矩阵C使 ）10、求n阶矩阵A的 ： 1）若存在可逆矩阵U，使则 2） 则 五、矩阵的对角标准形1、n阶矩阵A特征值与特征向量。 1）定义，及按定义求方阵A的特征值与特征向量的方法。 2）相关结论3）属于A 的不同特征值的特征向量线性无关。2、n阶方阵A能够与对角形矩阵相似的充要条件为A有n个线性无关的特征向量。（若能，求可逆矩阵U，使 为A的对角标准形。） 判断A与对角形矩

6、阵相似的方法： 1）若A的特征值均为单根，则A与对角形矩阵相似。 2）若A的特征值有重根，且 则A与对角形矩阵相似。 A 与对角形矩阵相似，那么A的k重根 对应的线性无关的特征向量个数 3、实对称矩阵的标准形。 实对称矩阵特征值均为实数，不同特征值对应的特征向量正交。 对于n阶实对称矩阵A，存在正交矩阵T使即实对称矩阵必正交相似（或称相似且合同）于实对角矩阵。六、二次型1、二次型定义及其相关概念：二次型的（系数）矩阵，矩阵表达式，二次型的秩，二次型的标准型、规范型，正惯性指数。2、可逆线性变换 （C为实可逆矩阵）。 二次型经可逆线性变换 ，得新的二次型的矩阵B与原二次型矩阵A合同，即有3、二次型化标准形 1）用正交变换