【2020年高考必备】衡水独家秘籍之高中期末复习专题五函数与方程问题求解举例

1、衡水独家秘籍之 2019 高中期末复习专题五函数与方程问题求解举例【方法综述】函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系式或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决.方程的思想与函数的思想密切相关，对于函数y=f(x)(如果y=ax2+bx+c可以写成f(x)=ax2+bx+c,即y=f(x)的形式)，当y=0时，就转化为方程f(x)=0，也可以把函数式y=f

2、(x)看作二元方程yf(x)=0，函数与方程这种相互转化的关系很重要，我们应熟练掌 握.下面我们就具体看一下函数与方程的应用举例.【要点回顾】1.函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点的横坐标，实质是 同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f(x)在区间a,b上的图象是一条连续的曲线， 且f(a)f(b)v0，则f(x)在区间(a,b)内有零点，反之不成立.2.函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f(x)=0.3.曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y=f(x)与y=g(x)的交

3、点的横坐标，实际上就是求函数y=f(x)g(x)的零点，即求f(x)g(x)=0的根.【典型例题】1求函数的零点例1.求函数f(x)=x33x+2的零点.解令f(x)=x3x+2=0，(x+2)(x1)2=0. x=2或x=1，3函数f(x)=x3x+2的零点为一2,1.评注 求函数的零点，就是求f(x)=0的根，利用等价转化思想， 把函数的零点问题转化为 方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x轴的交点问题.2判断函数零点的个数x2例2.已知函数f(x)=ax+r(a1)，判断函数f(x)=0的根的个数.x rIx一2解 设f1(x)=ax(a1),f2(x)=-，贝

4、Uf(x)=0的解，即为(x)=f2(x)的解，即为z. I I函数f1(x)与f2(x)的交点的横坐标.x一2在同一坐标系下，分别作出函数f1(x)=ax(a1)与f2(x)=- 的图象(如图所示).x1所以方程f(x)=0的根有一个.评注 利用数形结合的思想解决，在同一坐标系下作出f1(x)与f2(x)两函数的图象，从而观察出两函数的交点个数(即为原函数的零点的个数)3.确定零点所在的区间例3.设函数y=x3与y=一2的图象的交点为(xo,yo)，贝Uxo所在的区间是()A. (0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)f(x)的零点在(1,2)内.答案B评注 本题考查函数零

5、点性质的应用，利用了函数与方程的转化思想， 体现对运算能力和理 解能力的要求.4利用函数零点的存在性求参数范围例4.关于x的二次方程x2+(m1)x+1=0在0,2上有解，求实数m的取值范围.解设f(x)=x2+(m1)x+1,x0,2,又f(0)=10,由题意得解得一3wnW1,解得n0,02,(m- 1j40,= =y yX X= =y y的图象的交点的横坐标即为2 21 1 - - 2 2的零点，f(1)=1故m的取值范围为nW1.评注本题实质是对一元二次方程根的个数的讨论，解题过程中利用了函数与方程的转化、分类讨论思想、方程与不等式的转化等知识，对运算能力和分析问题的能力有很高的要求4

6、.判断方程解的存在性例5.已知函数f(x)=3x32x2+1，判断方程f(x)=0在区间1,0内有没有实数解？分析 可通过研究函数f(x)在1,0上函数的变化情况判断函数是否有零点，从而判定方程是否有解.32解 因为f(1)=3X(1)2X(1)+1= 40,所以f(1)f(0)1 ,f(6)1,f( 6)1得f(6)1f(6)10，即g(6)g(6) 0时g(x)单调递增；当a0时，g(x)单调递减，即函数g(x)为单调函数，故g(x)仅有一个零点.因此方程f(x)=1仅有一个根故选A.答案A评注 在区间a,b上单调且图象连续的函数y=f(x)，若f(a)f(b)0时，f(x)=x3x，则函

7、数g(x)=f(x)x+3的零点的集合为()A. 1,3 B.3,1,1,3C. 2 一，1,3 D.2 一，1,3【答案】D【解析】/是定义在上的奇函数，当x时，令 V ,则 ,()() (),()令()，当 时，解得，或，解得当 V 时,在区间上有解，则的取值范围是()C.D.函数 ()故选：D.的零点的集合为4若关于x的方程的一个根在区间内，另个根在区间A.内,【答案】【解析】则实数 的取值范围为2=7x-(m+13 x m2,设函数f(x)(0,1) 上，另一根在区间V ,(1,2),即实数m的取值范围是(-4,故选：A.5.设函数当时,当函数方程V ，解得：-4vm2,-2);，给出

8、下列四个命题:是奇函数;时，方程只有一个实数根;可能是上的偶函数;最多有两个实根其中正确的命题是(A.BC.D.【答案】A【解析】当时，函数，则函数曰 K疋奇函数，故正确当，时，函数在上是增函数，且值域为，则方程只有一个实数根，故正确若函数是上的偶函数，则，即，不存在等式在上成立，故错误当，时，方程有二个实根：，/ ,因此，方程最多有两个实根错误综上所述，正确的命题有故选6.已知函数，则方程在内方程的根的个数是()A. 0 B.1 C.2 D.3【答案】D_.若函数f(x)恰有2个零点，则 入的取值范围是 _，则由图象可得时,有两个交点,有两个根.时，由图象可得有一个交点,有一个根.综上，方程

9、内方程的根的个数是，故选D.7.已知入R,函数f(x)=，当入=2时，不等式f(x)0的解集是【解析】(n)要使在区间上恒成立，需满足【答案】(1,4)【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是当时，,此时,即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得综上，的取值范围为&已知函数，若f(0)=-2,f(1)=1，则函数g(x)=f(x)+x的零点个数为.【答案】3【解析】由已知当xw0时f(x)=-x2+bx+c,由待定系数得：解得c=-2,b=-4:)，令f (x)+x=0,分别解之得xi=2,X2=-1,X3=-2，即函数共有3个零点.故答案为：3.9.已知函数.(I)若函数 在区间和 -上各有一个零点，求 的取值范围;(n)若在区间上恒成立，求 的取值范围.【答案】；(2)-.【解析】(I)因为函数 在区间和 -上各有一个零点，所以有所以的取值范围为：-解得-解得：无解或-或 无解 所以-所以的取值范围为：- -.10.如图所示，定义域为上的函数是由一条射线及抛物线的一部分组成利用该图提供的信息解决下面几个问题(1)求的解析式；(2)若 关于的方程有一个不冋解，求 的取值范围；(3)若-，求x的取值集合【答案】(1)_-；(2)-；(3