【2020年】上海市普陀区高考数学一模试卷及答案

1、上海市普陀区高考数学一模试卷一 填空题（本大题共 1212 题，1-61-6 每题 4 4 分，7-127-12 每题 5 5 分，共 5454 分）1._（4 分）设全集 U=1, 2，3, 4, 5，若集合 A=3, 4，5，则？uA _.2- （4分）若一二-一二，贝 U -I-I- : 匕=_ .3._ （4 分）方程log2（2 -x） +log2（3- x） =log2l2 的解 x=_.4._（4 分丫的二项展开式中的常数项的值为 _.A5._ （4 分）不等式| 打的解集为.|K-1 |6.（4分）函数I - ,：-11- ：的值域为.7.（5 分）已知 i 是虚数单位，7 是

2、复数 z 的共轭复数，若z 1+i=o,贝 G 在复平1 2i面内所对应的点所在的象限为第_象限.9.（5 分）若直线 I: x+y=5 与曲线 C: x2+y2=16 交于两点 A （xi, yi）、B （X2, y2） ,贝 U X1y2+x2y1的值为_.10.（5 分）设、a2、氏、a4是 1, 2, 3, 4 的一个排列，若至少有一个 i （i=1.2,3, 4）使得 ai=i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为 _ .11. （5 分）已知正三角形 ABC 的边长为 乙点M是厶 ABC 所在平面内的任一动点，若-,贝 U的取值范围为_.12. （5 分）双曲线壬,：.绕坐标原点

3、0 旋转适当角度可以成为函数 f （x）的 图象，关于此函数 f （x）有如下四个命题：1f （x）是奇函数；2f（x）的图象过点3f （x）的值域是：- I .心8. （5 分）若数列an的前 n 项和-：Tit .( n N*),则 |；一4_ 函数 y=f （x）- x 有两个零点； 则其中所有真命题的序号为_选择题（本大题共 4 4 题，每题 5 5 分，共 2020 分）Qi 3. n 0凶I13. （5 分）若数列an（n N ）是等比数列，则矩阵 2 4所表示方程组1日5a6a8j的解的个数是（）A. 0 个 B. 1 个 C.无数个 D.不确定14.（5 分）“m0”是 函数

4、f（x）=|x（mx+2）|在区间（0,+）上为增函数”的（ ）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件15.（5 分）用长度分别为 2、3、5、6、9 （单位：cm）的五根木棒连接（只允许连接，不允许折断），组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的最大表面积为（）A. 258cm2B. 414cm2C. 416cm2D. 418cm2，且 f （x- 1）4-2_x-1K30)人每日的平均分拣量为 1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？19. (14 分)设函数 f (x) =s

5、in(0,冲| 0)的左、右焦点，且2t2t2椭圆 C 上的点到点 F2的距离的最小值为I、I,点M、N 是椭圆 C 上位于 x 轴 上方的两点，且向量订与向量厂)平行.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 当时， 求厶 FiMN 的面积；(3) 当？门-|；时，求直线 F?N 的方程.21 .( 18 分)设 d 为等差数列&的公差，数列bn的前 n 项和 Tn，满足(-1)nbn(n N*)，且 d=a5=b2，若实数 m Pk=x| ak-2 3)，则称 m 具有性质 Pk.(1) 请判断 3、b2是否具有性质 氏，并说明理由；(2) 设 Sn为数列an的前 n 项和，若Sn-2

6、入 a 是单调递增数列，求证：对任意的 k (k N*，k 3)，实数入都不具有性质 Pk；(3) 设 Hn是数列Tn的前 n 项和，若对任意的 n N*，H?n-1都具有性质 Pk,求 所有满足条件的 k 的值.2018 年上海市普陀区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一 填空题(本大题共 1212 题，1-61-6 每题 4 4 分，7-127-12 每题 5 5 分，共 5454 分)1.(4 分)设全集 U=1, 2, 3, 4, 5,若集合 A=3, 4, 5,则?UA= 1,2【解答】解：全集 U=1, 2, 3, 4, 5,集合A=3, 4, 5,二?UA= 1, 2.故答案为：

7、1, 2.2.(4分)若三_：1；_，则1=一 一 .【解答】解： ；二 _门_：匕=11 L.故答案为：.43.(4 分)方程 log2 (2 -x) +log2 (3- x) =log212 的解 x= - 1.【解答】解：方程 log2 (2 - x) +log2 (3 - x) =log212, * 3-E0，即 ,L(2-Z)(3-X)=12I*_5x_6=0解得 x=- 1.故答案为：-1.4 (4 分)工的二项展开式中的常数项的值为-84 .A9-3r【解答】解：二项展开式的通项=-Jg由：i,得 r=3.2 一 的二项展开式中的常数项为.故答案为：-84.5.（4 分）不等式|

8、.一的解集为 0, 1）U（1, 21【解答】解：由题意得：巧 J ,解得：0 xv1 或 1vxo3n【解答】解：数列an的前 n 项和:(n N*),可得 n=1 时，ai=S=-3+2+1=0；当 n2 时，an=Sn Sn-1= 3n2+2n +1 +3 (n - 1)2 2n+2 1 =-6n+5,则一=、=(- 2+丄)=-2+0=- 2.故答案为：-2.9. (5 分)若直线 I: x+y=5 与曲线 C: x2+y2=16 交于两点 A (X1, y。、B (X2, y2), 则X1y2+X2y1的值为 16.【解答】解：直线 I: X+y=5 与曲线C:X2+y2=16 交于

9、两点 A (X1, yj、B (X2, y2),+y=5+ + /二16所以：2X2- 10 x+9=0,则：X1+X2=5, ：，,则：X1y2+x?y1=X1(5 - X2) +X2(5 - X1), =5 (Xl+X2)- 2X1X2, =25- 9, =16.故答案为：16.10. (5 分)设、a?、色、a4是 1, 2, 3, 4 的一个排列，若至少有一个 i (i=1,2, 3, 4)使得 ai=i 成立，则满足此条件的不同排列的个数为15 .【解答】解：根据题意，、a2、a3、a4是 1, 2, 3, 4 的一个排列，则所有的排列有 A44=24 个，假设不存在 i (i=1,

10、 2, 3, 4)使得 a=i 成立，则 a1可以在第 2、3、4 位置，有 3 种情况，则：*假设 ai在第二个位置，则 ai可以在第 1、3、4 位置，也有 3 种情况， 此时 a3、a4只有 1 种排法，剩余的两个数在其余两个位置，有 1 种情况，则不存在 i （i=1，2，3, 4）使得 ai=i 成立的情况有 3X3=9 种，则至少有一个 i （i=1, 2, 3, 4）使得 ai=i 成立排列数有 24 - 9=15 个; 故答案为：15.11. （5 分）已知正三角形 ABC 的边长为 乙点M是厶 ABC 所在平面内的任一动 点，若-,则 T 的取值范围为0, 6【解答】解：以

11、A 点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系,鳥），不妨设 M (cos , sin ), T,+i l+M=(-cos,-sin-cos,-sin)+18sin ( 0i的解有无数个;agx+agyag故选：C.14.(5 分)“m0”是 函数 f(x)=|x(mx+2)|在区间(0,+)上为增函数”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件【解答】解：Im0,二函数 f (x) =| x (mx+2) | =| mx2+2x| ,If (0) =0,二 f (x)在区间(0, +x)上为增函数”；函数 f (x) =| x (mx+2) | =| m

12、x2+2x| 在区间(0, +)上为增函数，f (0) =0,二 m R, “m0”是函数 f (x) =| x ( mx+2) |在区间(0, +)上为增函数”的充分非 必要条件.故选：A.15.(5 分)用长度分别为 2、3、5、6、9 (单位：cm)的五根木棒连接(只允 许连接，不允许折断)，组成共顶点的长方体的三条棱，则能够得到的长方体的 最大表面积为()2 2 2 2A. 258cm B. 414cm C. 416cm D. 418cm【解答】解：设长方体的三条棱分别为 a, b, c,则长方体的表面积 S=2 (ab+bc+ac)w(a+b)2+ (b+c)2+ (a+c)2,当且

13、仅当 a=b=c 时上式“=成立.由题意可知，a, b, c 不可能相等，故考虑当 a, b, c 三边长最接近时面积最大，此时三边长为 8, 8, 9,用 2、6 连接，3、5 连接各为一条棱，第三条棱为 9 组成长方体，此时能够得到的长方体的最大表面积为 2 (8X8+8X9+8X9) =416 (cm2).则方程组故选：C.16. (5 分)定义在 R 上的函数 f( x)满足 I -：4，且 f (x- 1)4-严-ls0=f (x+1 )，贝 U 函数 g)二 f(K)危主在区间-1，5上的所有零点之和为()x-2A. 4B. 5 C. 7D. 8r【解答】解：函数迪二八 2 0 x

14、l，且 f (x- 1) =f (x+1)，函数的周L4-2_X-1Xn1X2=2n.（2）V圆锥的体积为亠-,，底面直径 AB=2,3点 C 是弧小的中点，点 D 是母线 PA 的中点. P0 丄平面 ABC, OCX AB，以 0 为原点，OC 为 x 轴，OB 为 y 轴，OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 A (0, - 1, 0), P (0, 0, V3), D (0,-字),B (0, 1, 0), C (1, 0, 0),= (0 , 1 ,-二)，=(-1, 30）人每日的平均分拣量为 1200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时， 用人数量比引进机器人前的用人

15、数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本 p (x) = 1 厂+X+150 万元，可得600机 器 人 的=2 600 x600K当且仅当一.,即 x=300 时，上式等号成立.600Xx若使每台机器人的平均成本最低，应买300 台；(2 )引进机器人后， 每台机器人的日平均分拣量q ( m )一 ?480(m30)当 1 m 30 时， 日平均分拣量为 480X300=144000. 300 台机器人的日平均分拣量的最大值为 144000 件.若传统人工分拣 144000 件，则需要人数为i.j.i 人.日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少19. (14 分

16、)设函数 f(x)=sin( 3X) ( 30，I | 兀、/ JT TT 1(2)由于：仁=sin ()=,且 OVCV n, ABC 面积为二，所以：=：讣上一匚-辽解得：ab=20.由于：c2=a2+b2- 2abcosC c=2 ,所以：20= (a+b)2- 3ab,解得：a+b=4 ,所以：- -.上方的两点，且向量“与向量丁了平行.(I)求椭圆 C 的方程;(2)当-! - n 1时，求 FiMN 的面积;20.(16 分)设点 Fi、F2分别是椭圆：22L亠-1(t 0)的左、右焦点，且2tZt2椭圆 C 上的点到点 F2的距离的最小值为m,点 M、N 是椭圆 C 上位于 x

17、轴(3)当门-I；时，求直线 RN 的方程.22【解答】解：(1)点 Fi、F2 分别是椭圆 C：- (t0)的左、右焦点,2t2t2 a= , c=t,椭圆 C 上的点到点 F2 的距离的最小值为，二：,a- c= t t=2 話:一 2,解得 t=2,22椭圆的方程为+=1,34(2)由(1)可得 Fi (- 2, 0), F2 (2, 0),点 M、N 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的两点，可设 N (2 :cos0,2sin0,二(2“J：cos (+2,2sin0 ,=(2 :cos 0- 2,2sin0 , J i , (2 :cos0+2) (2 .:cos0-2)+4sin20

18、=0解得 cos0=0 sin =1 ,- N (0 , 2), T；= (-2,2), k “=-1,.向量”与向量丁亍平行, 直线 RM 的斜率为-1 , 直线方程为 y=- x- 2 ,* / ，解得 x=0 , y=- 2 (舍去),或 x=-琴，心,+ 二 13 3L841联立方程 | RM|2=4-1=2-二=- 丄 -1(2-1)? : = , X -2； X-1=0解得 X =+73，或 X =-V3 (舍去)1-返点 N 到直线直线 y 二-x- 2 的距离为FiMN 的面积=| FiM|?d=xlx2,2233(3) i向量.”与向量平行,二二(入一 1)n . vi =

19、， 即卩心 1,设 M (xi, yi), N (X2, y2), (xi+2)=X2-2,y2=X y,X2=Xx+2(?+1)=1,X22+2y22=8,X x2( X1)2+2Xy12=12X+8X+4+4X(2+1)4X( 2+1)X1=X- _X1(1-32 ( 21),- 3, y | “|2= (X1+2)2+y12= (- 3+2)2+4-7-T；-3=J-3=-二 yi= 一一，V2VkLn k =- 一Fi HL-V3+22 冃 N 的方程为 y- 0=-即为 x+ y - 2=021.(18 分)设 d 为等差数列(nN*)，且N*，k 3)，则称 m 具有性质 Pk.(

20、1)请判断 bi、b2是否具有性质 F6，并说明理由;(2) 设 Sn为数列an的前 n 项和，若Sn-2 入a是单调递增数列，求证：对任 意的 k (k N*，k 3)，实数入都不具有性质 Pk；(3) 设 Hn是数列Tn的前 n 项和，若对任意的 n N*，H?n-1都具有性质 Pk,求 所有满足条件的 k 的值.【解答】解：（1）订（n N*），11211 a可得 n=1 时，T1+ = - b1= - T1，解得 b1=-，472+丄力2= - 2+b2=b2，444T3+ = - b3= - +b2+b3+ ，即 b2+2b3=，848T4+1=b4=-+b2+b3+b4+，即 b?+b3= ，4；4234,23解得 b2= ， b3=-厂同理可得 b4= ， b5=-，1664b6= ， b7=- -，6452