第11章 BSM连续时间期权定价模型——动态复制方法

1、中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制方法Chapter 11 B-S-M Option Pricing-Dynamical Replication Method中央财经大学期权与期货B-S-M期权定价模型的假设01B-S-M偏微分方程的求解03目录CONTENTS用动态复制方法推导B-S-M期权定价偏微分方程022中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制方法中央财经大学期权与期货学习要点 B-S-M期权定价模型的假设； B-S-M期权定价模型的推导； B-S-M期权定价方程的求解过程。中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制

2、方法中央财经大学期权与期货本章知识结构图中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制方法第节导 言中央财经大学期权与期货第节 导言期权定价的发展 1942-1943年，伊藤清定义随机积分 1969年，默顿指出几何布朗运动比起布朗运动更适合作为股票价格的模型 1973年，布莱克、斯科尔斯、默顿期权定价理论利用了伊藤的随机积分理论和伊藤公式，并在实际市场中获得了充分的验证，他们的定价公式称为B-S-M定价公式（有时简记为B-S公式），获得1997年诺贝尔经济学奖中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制方法第一节B-S-M期权定价模型的假设中央财经大学期权与期

3、货第一节 B-S-M期权定价模型的假设模型的假设B-S-M模型是一个关于无收益的欧式看涨期权的连续时间定价模型。模型假设如下：1、期权交易的基础资产的价格呈对数正态分布。也就是说期权交易的基础资产的价格运动遵循几何布朗运动。2、在期权有效期内，基础资产本身不产生收益（如股票期权的基础资产股票，在期权有效期内不支付股利）。3、基础资产以及期权合约的买卖不涉及交易成本，不考虑税收问题，且基础资产的卖空不受限制。4、投资者可按已知的并在期权有效期内保持不变的无风险利率不受限制地进行借贷。5、不存在无风险套利机会。6、证券交易在时间上是连续的。7、所有资产可以无限细分。中央财经大学期权与期货第一节 B

4、-S-M期权定价模型的假设模型的假设B-S-M模型假设的数学表达假设债券的无风险利率为r，则其价格 S0(t) = S0(0)ert 满足dS0(t) = rS0(0)dt 基础资产股票的价格S(t)服从几何布朗运动， 满足dS(t) = S(t) dt + S(t)dW(t) 假设在时刻t，投资者投资了份 0(t) 债券和 (t) 份股票，则 0(t) , t 0 和 (t) , t 0 分别是两个适应的随机过程，( 0(t), (t) ; t 0) 称之为一对投资策略对于投资策略 ( 0(t), (t) ; t 0) ，相应的资产总价值是X(t) = 0(t)S0(t)+(t)S(t)存在

5、函数 C(t, x) 使得 X(t) = C(t, X(t)中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制方法第二节用动态复制方法推导B-S-M期权定价偏微分方程中央财经大学期权与期货第二节 用动态复制方法推导B-S-M期权定价偏微分方程动态复制方法构造一个投资策略，使得在到期日时刻的资产价值等于期权的到期收益。由于对 应用Ito公式令黎曼积分项相等delta对冲法则令伊藤积分项相等带终端条件后即为BSM偏微分方程中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权定价模型动态复制方法第三节B-S-M偏微分方程的求解中央财经大学期权与期货第三节 B-S-M偏微分方程的求解一、偏微分方程的类型B-S-M期权定价偏微分方程属于二阶齐次线性抛物线型偏微分方程中央财经大学期权与期货第三节 B-S-M偏微分方程的求解二、偏微分方程的求解分三步从BSM偏微分方程求解推导出BS期权定价公式。令函数变量代换求解热传导方程进行积分和反向推导，令B-S-M期权定价公式中央财经大学期权与期货第十一章 B-S-M期权