【巧解妙解】高考数学向量与其他问题结合的经典题型

1、平面向量综合应用与解题技巧【命题趋向】由2019年高考题分析可知：1 .这部分内容高考中所占分数一般在10分左右.2 .题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题.3 .考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主.【考点透视】“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主.透析高考试题，知命题热点为：1 .向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积.2 .平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义.3 .两非零向量平行、垂直的充要条件.4 .图形平移、线段的定比分

2、点坐标公式.5 .由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等.6 .利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转 化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题.【例题解析】1.向量的概念，向量的基本运算(1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念(2)掌握向量的加法和减法.(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件(4) 了解

3、平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.(6)掌握平面两点间的距离公式 .例1 (北京卷理)已知 。是 ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且2OA+OB+OC =0,那么匚2.A. AO =ODB . AO 2ODC . AO =3ODD . 2AO =ODdB =显,.2OA 2OD =0, AO =OD."题意仁 y 工能叫合沙再向wg能力解： 20A OB OC =2OA ' (DB OD) (DC OD )=0,故选

4、A._.例 2.(安徽卷)在 ABCD 中，NB =a, AD =b,AN =3NC*, M为 BC的中点，则 MN =(用a b表示)命题意图：本题主要考查向量的加法和减法 ，以及实数与向量的积.角牛.由 AN =3NC44AN =3AC=3(a 州)，am =a + b，所以，MN = (a +b) (a 24例3.(广东卷)如图1所示，D是4ABC的边AB上的中点，则向量cD =()(A) -BC +-BA( B)-BC - BA22(C)- 1 -BC BA2(D)一 1 .BC BA2命题意图：本题主要考查向量的加法和减法运算能力 解：CD=CB+BD=_BC+1BA，故选 A.2例

5、4.(重庆卷)与向量a=i?i)b_47'为的夹解相等，且模为i的向量是() 2,2 ,一 2,2(A)色 _3)(B)_2 :或5, 55, 55,5(C) S收 1、(D) ,2v2 1 '或''2五 1 ', , 33 J 33 J 、3 3 J命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题解：设所求平面向量为12CJ-4,3 )tcos15 5；12故平面向量c与向量a=1Z 1)b-(17 %的夹角相等.故选b.2,2 , 一 2,2例5.(天津卷)设向量 a与b的夹角为0,且f = (3,3), 2:a = (1,1)

6、,则cosB命题意图：本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解：设b =(x,y )由2b -a =2(x,y 尸(3,3 )=(2xW,2y 3 W-1,1 )12x-3 =一1一 ! x =1, T3.10一 10故填也.例6.(2006年湖北卷)已知向量a=(点,1y b是不平行于x轴的单位向量，且ab=«， 则6=()(A)01 1 1(B)1 a)(C)'13ilJ(D)(1,0)<2 ,2J8 2 )<4, 4 )命题意图：本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想, 10

7、解题的能力.解：设 b=(xyXx#y)，则依题意有 y+y2：1, lx 4, j：/3x y = 3. I'.'3y亏b2、b3，满足=2'：'，且 ai 顺故选B.例7.设平面向量a1 > a2、a?的和a抬2 +a3 -0 .如果向量b1、时针旋转30o后与b同向，其中i =1,2,3,则()(A _b； +b2 +b3 =0( B)bl -b2 +b3 =0(O b14b2 _b3 =0( D)R +b24b3 =0命题意图：本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念常规解法：: al+03 =0,，城+2a2+2*03 =0.故把

8、2 a 0=1,2,3),分别按顺时针旋转30 ,后与bj重合，故1+7丁=0,应选D.巧妙解法：令01=0,则:=3,由题意知b2 = M，从而排除B,C,同理排除A,故选(D).点评：巧妙解法巧在取01=0,使问题简单化.本题也可通过画图，利用数形结合的方法来解决.2.平面向量与三角函数，解析几何等问题结合(1)平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而 综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类

9、题综合性比较强，难度 大.例 8. (2007 年陕西卷理 17.)设函数 f(x)=a-b,其中向量 a=(m,cos2x), b=(1+sin2 x,1), xCR,且函数y=f(x)的图象经过点 色,24(I)求实数m的值；(n )求函数f (x)的最小值及此时x的值的集合.解：(I) f(x) = a|_b = m(1+sin2x)+cos2x,由已知 f =m M +sin 1 + cos =2 ,得 m = 1.(工吟2x4422(n )由(I)得 f (x) = 1 sin 2x cos2x = 1. 2 sin，当sinhx1时，f(x)的最小值为1J2,3兀 88,4由sin

10、 2x +|=一1,得*值的集合为«xx = kI 4 J例2. (2007年陕西卷文17)设函数 f(x)=a、b.其中向重 a = (m,cosx), b = (1 + sin x,1), x 匚 R,且f () = 2 .2(i)求实数 m的值；(n)求函数f (x)的最小值.解：(I) f (x) =a|b = m(1 +sin x) + cosx , f L m ' 1 + sin - 1 + cos - = 2 ，得 222(n )由(i)得 f (x) =sin x +cosx +1 = V2sin 1 x + 1+1，,二当 sin 1 x+ = -1 时,

11、44f(x)的最小值为1-收例9.(湖北卷理16)设AB和AC的夹角为0 .已知ZXABC的面积为3,且满足0 0南AC < 6 ,(H )求函数 f(0)=2sin2 1 +6 I J3cos2日的最大 4解：(I)设zXABC中角A, B, C的对边分别为a, b, c,1则由 一 bcsin 8=3 , 0 < bc cos9 < 6 ,可得 0 W cot 9 < 1, 日 w |,一(n)2_4 2f(1)=2sin2i，1-<3cos2- 1-cosi - 21-、3cos214_2二(1 sin 2与-、3 cos21 - sin 213 cos21

12、1 = 2sin i 2 1-3八 I冗 冗I c 冗 冗27tl . f、 冗、 . ew I-,-28w I-,一2< 2sin 281+1 0 3._4 23IL6 33即当日=W时，f(H)max=3；当9=时，"日心所=2.124例10.(广东卷理)已知ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、C (c,0)(1)若c=5,求sin / A的值；(2)若/ A为钝角，求c的取值范围;解：(1) AB=(3,Y), 7C =(c3,Y),若 c=5, 则 7C = (2, 口)，-6 16-6 161, ，一 2 51 1 cos-A =cos <

13、;AC, AB >=f = , 1 sin / A=;52,555/ A为钝角，则 产食+16<0,解得c>25,c的取值范围是(丝，依) c=0,33例11.(山东卷文17)在4ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c, tanC=3".(1)求 COSC ； (2)若解：(1) ,：tanC =377".sin C =37cosC又：'sin2 C cos2 C = 11.cosC =-8解得 cosC=±.* tanC >0,C是锐角.8*T 5- 5.一 ,；CB CA = ,二 abcosC=,.ab = 20

14、.一 22又'：a+b=9，a2+2ab+b2 =81.，a2+b2=41.22. 2c =a +b 2abcosC =36 ., c = 6 .例 12.(湖北卷)设函数 f(x)=a (b+c y 其中向量 1 =(sinx,cosx )b =(sinx,4cosx)c 二-cosx,sin x ,x 三 R.(I)求函数f(x户最大值和最小正周期；(n)将函数y = f (x y图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对 称，求长度最小的d .命题意图：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(I)由

15、题意得，f(x) = a , (b 4c )=(sinx, cosx) (sinx cosx,sinx 3cosx)=sin 2x 2sinxcosx+3cos 2x = 2+cos2x sin2x = 2+v 2 sin(2x+ 3L).所以，f(x)的最大值为2+、；万，最小正周期是空=n.(n)由 sin(2x+ 四)=0得 2x+3I = k.n，即 x=旦_四，kC Z,4428于是d=("一生，2), d|=J(生斗2於kCZ.28V 28 '因为k为整数，要使：|最小，则只有k= 1,此时d =(一三，一2)即为所求.一.,. 一、. 一， ，一 4.兀兀例 1

16、3. ( 2006 年全国卷 II )已知向重 a = (sin 0 , 1), b = (1 , cos 0 ),-万v 0 <2-(I )若 a X b，求 0 ;(n )求| a + b I的最大值.命题意图：本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力解：(I)若 a，b ,则 sin。+ cos。= 0,兀兀.兀由此得 tan 。=1("2-v。<-2),所以 。="4；(n)由 a = (sin 0,1),4b = (1 , cos 0 )得I a + b | =sin0 + 1)

17、2+ (1 + cos 0 )2 =y3+ 2(sin_0 + cos 0 )=5+2娟sin（ 9 十七）,当sin（。+彳）=1时，|a + b|取得最大值，即当 0 =时，| a+b|最大值为，2+1.例14. （2006年陕西卷）如图，三定点-4 T T AD =tAB,BE =tBC , DM =tDE ,t 三0,1.（I）求动直线DE斜率的变化范围;（II ）求动点M的轨迹方程。A(2,1),B(0, _1),C(21);三动点 D E、M满足y命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像和圆锥曲线方程的求法等基本知识,AB图2考查推理和运算能力.解

18、法一：如图，（I )设 D(x0,y 0),E(x E,y E),M(x,y).由=t, = t ,知(x d 2,y d 1)=t( 2, 2).xd=2t+2y d= 2t+1xE= 2tyE=2t 1kDE =yE yD.t e(n)Xe- Xd0,1, =t) 2t - 1- ( -2t+1)- =1-2t - ( - 2t+2)- kDEC 1,1.(x+2t - 2,y+2t 1)=t(2t.1)=t(2 吟,2,4t 2)=( - 2t,4t 22t).即 x2=4y. t 6 0,1, x=2(1-2t+2t - 2,2t - 1+2t.,X=2(1 -2t) 'y=(

19、1 -2t) 2,2t) C -2,2.同即所求轨迹方程为：x 2=4y, x e 2,2 解法二：（I ）同上.(n )如图,=+ =+ = +t = +t( =+= + t= +t(=+ t = + t(一)=(1 t) +t,=（1 t 2）设M点的坐标为一)=(1 t) +t,)=(1 t) + t+ 2(1- t)t+t 2 .(x,y),由=(2,1), =(0,-1), =( 2,1)得/x=(1 -t ) - 2+2(1 -t)ty=(1 t) - 1+2(12,2.故所求轨迹方程为- 0+t2 ( 2)=2(1 2t) 22t)t ( 1)+t1=(12t):x 2=4y,

20、x -2,2消去t得x2=4y,.te0,1, x e例15.（全国卷II(入 >0).过A、）已知抛物线x2=4y的焦点为F, A B是抛物线上的两动点，且AF=X FB B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(I )证明(n)设4FM - AB为定值；ABM勺面积为S,写出S= f（入）的表达式，并求 S的最小值.命题意图：本小题主要考查平面向量的计算方法、和圆锥曲线方程，以及函数的导数的应用等基本知识，考查推理和运算能力 .解：（I）由已知条件，得 F（0, 1）,入0.设 a(Xi, y。，E(X2, y2).由 AF=入 FB,即得 (一Xi, 1 y)=入(X2, y21)

21、, -xi = X X2H-yi=入(V2 1)一 1c 1 .一0 一将式两边平方并把 y1 = 4X1 , y2 = 4X2代入得 y=入y2 解、式得 y1=入，y2 =,且有 X1X2= Xx22= - 4Xy2= 4,抛物线方程为y = %2,求导得y' =1x.所以过抛物线上 A、B两点的切线方程分别是 11y=2X1(X X1)+ y1, y=2X2(X X2) + y2,IP y= -X1X- -X12, y= -X2X - -X22.2 24 24X1 X2 X| X2X1 X2解出两条切线的交点 M的坐标为(2,2)=(2 ,一1).所以 FM AB= ( X1 +

22、X2 , 2) (X2X1, y2y。=：(X22X12) 2(x22=X12) = 0.2244 所以FM- AB为定值，其值为0.1 .(n )由(I )知在 ABW, FMLAB,因而 S= 2| AB| FM .|FMX1 + X2 (21)2+(-2)2+ y2 + 2X ( - 4) +4=1 / 入 + + 2 =12 12 1A /4X12+4X22+-2X1X2 + 41因为|AF、|BF分别等于A、B到抛物线准线y=- 1的距离，所以| AB = | AF| + | BF = y1 + y2+ 2 =入+ + 2 = (+ 个)?.S= 21ABi FM = (五 十 卡)

23、3,由yr+-=>2知s>4,且当入=1时,S取得最小值4.【专题训练与高考预测】1.-、选择题已知 a =(2,3),b =(4,x)，且 a/b,则X 的值为A. 6B. 6c. 83D.2.已知 ABC中，点D在BC边上，且CD =2DB,CD =rAB+sAC,则 r + S 的值是(D. 0x2 +y2 +2x -4y相(A )D. 39A. -B. -C. - 3333 .把直线x-2y=0按向量a=(T,-2)平移后，所得直线与圆切，则实数九的值为A. 39B. 13C. 214 .给出下列命题：a b =0,则a =0或b =0. 若e为单位向量且a/ e,则a=|

24、a|,e.a-a-a=ia 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.其中正确的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 35 .在以下关于向量的命题中，不正确的是()A.若向量 a=(x, y),向量 b=( -y, x)( x、yw0),则 a±bB.四边形ABCD菱形的充要条件是 Ab = DC ,且| AB |二| AD |C.点 G是ABCW重心，则 gA+gB+cG=0D.AABC, AB,和 CA 的夹角等于 180° - A6 .若O为平行四边形 ABCD勺中心，AB = 4 e,= 6 e2,则3e22e1等于()A. AOB.BOC.COD.DO7 .将函

25、数y=x+2的图象按a= (6, 2)平移后，得到的新图象的解析式为()A.y=x+10B.y=x- 6C.y=x+6D.y=x108 .已知向量m=(a,b),向量 mln且|m|二| n|,则n的坐标为A. (a, b)B.( a,b)C.( b, a)D.( b, a)9 .给出如下命题：命题(1)设e1、e2是平面内两个已知向量，则对于平面内任意向量a,都存在惟一的一对实数x、y,使a=xe1+ye2成立；命题(2)若定义域为 R的函数f(x)恒满足| f(x) I = I f(x) I ,则f(x)或为奇函数，或为偶函数.则下述判断正确的是()A.命题(1) (2)均为假命题B.命题

26、(1) (2)均为真命题C.命题(1)为真命题，命题(2)为假命题D.命题(1)为假命题，命题(2)为真命题10 .若|a+b|=|a-b|,则向量a与b的关系是()fTA. a=0 或 b=0B.|a|=|b| C. a?b=0 D.以上都不对11 . O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+M_4b_ +斗)九可0 Y则P的轨迹一定通过 ABC的()|AB| |ACA.外心B.内心C.重心D.垂心12 .若 a=(2,T,1 b =(2,0,3 ) C = (0,2,2),则 ab+C)=()A. 4B. 15C. 7D. 3二、填空题1 .已知| AB|

27、=3,| aC|=4,aB与AC的夹角为60° ,则aB与AB AC的夹角余弦为 .TTT T2 已知 a = ( 4,2,x ), b = (2,1,3), 且 a _L b ,则 x =.» F3. 向量(a + 3b) _L(7a _ 5b ) , (a - 4b ).L(7a - 2b ),则 a和 b所夹角是4. 已知 A(1, 0, 0), B(0, 1, 0 ), C(0, 0, 1),点 D满足条件：DBLAC, DdAB, AD=BC, 则D的坐标为5. 设a,b是直线，a, P是平面，a 1 a,b 1 P ,向量a1在a上，向量 b1在b上，al =1

28、,1f,匕=-3,4,0,则a, P所成二面角中较小的一个的大小为 .三、解答题1 .ABC 中，二个内角分别是 A B、G 向重 a =(2L5cosC ,cosA二B),当 tan a，tan B2 221 ,-=时，求 |a|. 92 .在平行四边形 ABCD43, A (1, 1), AB =(6,0),点M是线段AB的中点，线段 CM与BD 交于点P. .(1)若AD=(3,5),求点C的坐标；(2)当|AB|*AD|时,求点p的轨迹.3 .平面内三个力F；, F；,目作用于同，点O且处于平衡状态，已知f1 , F；的大小分别,求F3的大小及F3与F1夹角的大小为 1kg,、62 k

29、g, F1、F2 的夹角是 454 .已知a, b都是非零向量，且 a+3b与7a 5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹 角.5 .设 a=(1+cos a ,sin a ), b=(1 cos 3 ,sin 3 ), c=(1,0),a C (0,兀)3 C (兀，2 兀)，a 与 c冗Ot p的夹角为0 1, b与c的夹角为0 2,且。1。2=,求sin .6 .已知平面向量 a= ( J3 , 1), b=(,).22(1)证明:a±b；(2)若存在实数k和t,使得x=a+( t23)b, y=ka+tb,且xy,试求函数关系式k=f(t);(3)根据(2)的结论，确定

30、k=f(t)的单调区间.【参考答案】一、选择题1.B 2 , D 3. A4, A5.答案：C提示：若点 G是4ABC的重心，则有 GA+GB+GC =0,而C的结论是GA+GB +CG =0,显然是不成立的，选 C.6.B 7.B 8.C 9.A 10. C 11. B 12 . D二、填空题1.逸 2. 2 3.60。4 . (1, 1, 1)或(Y,3,Y) 5 . arccos13.133.解：由 a - 3b 7a -5b >0, a4b 7a - 2b )=02.有 7a 16a b，7a -30a b 8b =0,.2.2.2 一解得 a =b , b =2a4.解:设 D

31、(x, y, z),则 BD=(x, y1,z), CD=(x,y,z1) AD = (x-1, y, z ),AC =(-1,0,1),AB =(-1,1,0),BC =(0,-1, 1)又 DBL AC= -x+z=0,DC LAB=-x+y=0,AD=BC u (x1j+y2+z2=2,联立解得 x=y=z=1 或 x=y=z= 1 所以 D点为（1,1, 1）或（一-,一-,一4）。 _ .3333三、解答题12 5 5 C ：1 ,|a| =(cos)22252 C :I a | =一 cos cos4222 A - B+cos ，22 A -B 5 .;=-sin242 A B 2

32、 A-B- cos 5 1 cos(A ' B) 1 - cos(A -B)=十1 r ， _=-9 4cos(A-B) -5cos(A ' B)= _(9 -4cosAcosB，4sin Asin B-5cosAcosB-5sin Asin B) 81= -(9 »9sin AsinB -cosAcosB).8p , A,-1 sin Asin B 1又 tan A tan B =，即=-9 cosAcosB 9,9 sin Asin B =cosAcosB.,293 2. J a | ，故1 a | = .842.解：（1）设点C坐标为（x0, y0）,又 AC

33、=AD+AB =(3,5)+(6,0) =(9,5),即(x -1, y0 -1) =(9,5) .x0 =10,y0 =6即点 C (0, 6).设 P(x,y),则BP =AP - AB =(x -1,y -1) -(6,0) =(x -7, y -1).AC =AMMC =- AB 3MP =- AB 3(AP - AB)222=3AP - AB =(3(x -1),3(y -1) -(6,0)=(3x -9,3y -3).ab|4ad |. .OAbcd 为菱形.A AC -LAD,即(x7,y1) (3x9,3y3) =0.(x _7)(3x _9) (y _1)(3y _3) =022,x y -10x _2y 22 =0（y =1）.故点P的轨迹是以（5, 1）为圆心，2为半圆去掉与直线 y=1的两个交点解法二：.lABITADI. D 的轨迹方程为 (x -1)2 +(y -1)2 =36 (y #1).1丁 M为AB中点，.P分BD的比为-.设 P(x,y),B(7,1),. D(3x -14,3y-2).二 P 的轨迹方程(3x -15)2 +(3y -3)2 =36.整理得(x -5)