2015年普通高等学校招生全国统一考试福建卷(文)

1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试(福建卷)(文科) 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1若(1i)(23i)abi(a，bR，i 是虚数单位)，则 a，b 的值分别等于( ) A3，2 B3，2 C3，3 D1，4 2若集合 Mx|2x2，N0，1，2，则 MN 等于( ) A0 B1 C0，1，2 D0，1 3.下列函数为奇函数的是( ) Ay x Byex Cycos x Dyexex 4 阅读如图所示的程序框图， 运行相应的程序， 若输入 x的值为 1， 则输出 y 的值为( ) A2 B7 C8

2、D128 5若直线xayb1(a0，b0)过点(1，1)，则 ab 的最小值等于( ) A2 B3 C4 D5 6若 sin 513，且 为第四象限角，则 tan 的值等于( ) A.125 B125 C.512 D512 7设 a(1，2)，b(1，1)，cakb.若 bc，则实数 k 的值等于( ) A32 B53 C.53 D.32 8. 如图，矩形 ABCD 中，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标为(1，0)，且点 C 与点 D 在函数 f(x)x1，x0，12x1，x0的图象上. 若在矩形 ABCD 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于( ) A.16 B.14 C.38 D

3、.12 9某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( ) A82 2 B112 2 C142 2 D15 10 变量x， y满足约束条件xy0，x2y20，mxy0.若z2xy的最大值为2， 则实数m等于( ) A2 B1 C1 D2 11已知椭圆 E：x2a2y2b21(ab0)的右焦点为 F，短轴的一个端点为 M，直线 l：3x4y0 交椭圆 E 于 A，B 两点若|AF|BF|4，点 M 到直线 l 的距离不小于45，则椭圆 E的离心率的取值范围是( ) A.0，32 B.0，34 C.32，1 D.34，1 12“对任意 x0，2，ksin xcos xx”是“k0，q0)的两

4、个不同的零点，且 a，b，2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq 的值等于_ 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17(本小题满分 12 分)等差数列 an中，a24，a4a715. (1)求数列 an的通项公式； (2)设 bn2an2n，求 b1b2b3b10的值 18(本小题满分 12 分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标根据相关报道提供的全网传播 2015 年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前 20 名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如

5、表所示. 组号 分组 频数 1 4，5) 2 2 5，6) 8 3 6，7) 7 4 7，8 3 (1)现从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家进行调研，求至少有 1 家的融合指数在7，8内的频率； (2)根据分组统计表求这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数 19. (本小题满分 12 分)已知点 F 为抛物线 E：y22px(p0)的焦点，点 A(2，m)在抛物线 E上，且|AF|3. (1)求抛物线 E 的方程； (2)已知点 G(1，0)，延长 AF 交抛物线 E 于点 B，证明：以点 F 为圆心且与直线 GA相切的圆，必与直线 GB 相切 20

6、(本小题满分 12 分)如图，AB 是圆 O 的直径，点 C 是圆 O 上异于 A，B 的点，PO垂直于圆 O 所在的平面，且 POOB1. (1)若 D 为线段 AC 的中点，求证：AC平面 PDO； (2)求三棱锥 P- ABC 体积的最大值； (3)若 BC 2，点 E 在线段 PB 上，求 CEOE 的最小值 21(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)10 3sinx2cosx210cos2x2. (1)求函数 f(x)的最小正周期； (2)将函数 f(x)的图象向右平移6个单位长度，再向下平移 a(a0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数 g(x)的最大值为 2. 求函数

7、 g(x)的解析式； 证明：存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0. 22(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)ln x（x1）22. (1)求函数 f(x)的单调递增区间； (2)证明：当 x1 时，f(x)x1； (3)确定实数 k 的所有可能取值，使得存在 x01，当 x(1，x0)时，恒有 f(x)k(x1) 参考答案与详解 一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.解析：选 A (1i)(23i)32iabi，所以 a3，b2. 2.解析：选 D MNx|2x20，1，20，1. 3.解

8、析：选 D 对于 A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于 B，f(x)f(x)，故不符合要求；对于 C，满足 f(x)f(x)，故不符合要求；对于 D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数，故选 D. 4.解析：选 C 由程序框图知，y2x，x2，9x，x0，b0， 故 ab(ab)1a1b2baab224，等号当且仅当 ab 时取到，故选 C. 6解析：选 D 法一：因为 为第四象限的角， 故 cos 1sin2 151321213， 所以 tan sin cos 5131213512. 法二：因为 是第四象限角，且 sin 513，所以可在 的终边上取一点 P(1

9、2，5)，则 tan yx512. 7解析：选 A cakb(1k，2k), 又 bc，所以 1 (1k)1 (2k)0，解得k32. 8.解析：选 B 因为 f(x)x1，x0，12x1，x0，B 点坐标为(1，0)，所以 C 点坐标为(1，2)，D 点坐标为(2，2)，A 点坐标为(2，0)，故矩形 ABCD 的面积为 2 36，阴影部分的面积为12 3 132，故 P32614. 9解析：选 B 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示 直角梯形斜腰长为1212 2，所以底面周长为 4 2，侧面积为 2 (4 2)82 2， 两底面的面积和为 212 1 (12

10、)3， 所以该几何体的表面积为 82 23112 2. 10解析：选 C 对于选项 A，当 m2 时，可行域如图，直线 y2xz 的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确； 对于选项 B，当 m1 时，mxy0 等同于 xy0，可行域如图，直线 y2xz的截矩可以无限小，z 不存在最大值，不符合题意，故 B 不正确； 对于选项 C，当 m1 时可行域如图，当直线 y2xz 过点 A(2，2)时截距最小，z最大为 2，满足题意，故 C 正确； 对于选项 D，当 m2 时，可行域如图，直线 y2xz 与直线 OB 平行，截距最小值为 0，z 最大为 0，不符合题意，故 D 不

11、正确 11解析：选 A 根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得 A，B 两点到椭圆左、右焦点的距离为 4a2(|AF|BF|)8，所以 a2. 又 d|3 04 b|32（4）245，所以 1b2，所以 eca1b2a2 1b24.因为 1b2，所以 0e32. 12解析：选 B 令 f(t)sin tt，则 f(t)cos t10 恒成立，所以 f(t)sin tt 在0，上是减函数， f(t)f(0)0， 所以 sin tt(0t) 令 t2x， 则 sin 2x2x0 x2， 所以 2sin xcos x2x，所以 sin xcos xx.当 k1 时，ksin xcos xx，故必要性成立；

12、当 x3时，ksin 2x2x 可化为 k43，取 k43，不等式成立，但此时 k1，故充分性不成立 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分把答案填在题中横线上) 13解析：设男生抽取 x 人，则有45900 x900400， 解得 x25. 答案：25 14 解析： B180 75 45 60 ， 由正弦定理， 得BCsin AACsin B， 即BCsin 453sin 60，解得 BC 2. 答案： 2 15解析：因为 f(x)2|xa|，所以 f(x)的图象关于直线 xa 对称又由 f(1x)f(1x)，知 f(x)的图象关于直线 x1 对称，故 a1，且 f(x

13、)的增区间是)1，由函数 f(x)在)m，上单调递增，知)m，)1，所以 m1，故 m 的最小值为 1. 答案：1 16解析：不妨设 ab，由题意得abp0，abq0， a0，b0， 则 a，2，b 成等比数列，a，b，2 成等差数列， ab（2）2，a22b，a4，b1，p5，q4，pq9. 答案：9 三、解答题(本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17解：(1)设等差数列an的公差为 d. 由已知得a1d4，（a13d）（a16d）15，解得a13，d1. 所以 ana1(n1)dn2. (2)由(1)可得 bn2nn， 所以 b1b2b3b10 (2

14、1)(222)(233)(21010) (22223210)(12310) 2（1210）12（110） 102 (2112)55 211532 101. 18解：(1)融合指数在7，8内的“省级卫视新闻台”记为 A1，A2，A3；融合指数在4，5)内的“省级卫视新闻台”记为 B1，B2.从融合指数在4，5)和7，8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取 2 家的所有基本事件是： A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，B1，B2，共 10 个 其中，至少有 1 家融合指数在7，8内的基本事件是：A1，A2，A1，A3，A2，A3，

15、A1，B1，A1，B2，A2，B1，A2，B2，A3，B1，A3，B2，共 9 个 所以所求的概率 P910. (2)这 20 家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于 452205.58206.57207.53206.05. 19.解：(1)由抛物线的定义得|AF|2p2. 因为|AF|3，即 2p23，解得 p2， 所以抛物线 E 的方程为 y24x. (2)法一：因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上， 所以 m 2 2. 由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2 2) 由 A(2，2 2)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2（x1），y24x，得2x2

16、5x20， 解得 x2 或 x12，从而 B12， 2 . 又 G(1，0)， 所以 kGA2 202（1）2 23，kGB 2012（1）2 23， 所以 kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点 F 到直线 GA，GB 的距离相等，故以 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 法二：设以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆的半径为 r. 因为点 A(2，m)在抛物线 E：y24x 上，所以 m 2 2. 由抛物线的对称性，不妨设 A(2，2 2) 由 A(2，2 2)，F(1，0)可得直线 AF 的方程为 y2 2(x1)由y2 2（x1），y24x， 得 2x25x2

17、0， 解得 x2 或 x12，从而 B12， 2 . 又 G(1，0)， 故直线 GA 的方程为 2 2x3y2 20， 从而 r|2 22 2|894 2 17 . 又直线 GB 的方程为 2 2x3y2 20， 所以点 F 到直线 GB 的距离 d|2 22 2|894 217r. 这表明以点 F 为圆心且与直线 GA 相切的圆必与直线 GB 相切 20解：(1)在 AOC 中 ，因为 OAOC，D 为 AC 的中点，所以 ACDO. 又 PO 垂直于圆 O 所在的平面，所以 POAC. 因为 DOPOO，DO，PO平面 PDO， 所以 AC平面 PDO. (2)因为点 C 在圆 O 上，

18、所以当 COAB 时，C 到 AB 的距离最大，且最大值为 1. 又 AB2，所以 ABC 面积的最大值为12 2 11. 又因为三棱锥 P- ABC 的高 PO1， 故三棱锥 P- ABC 体积的最大值为13 1 113. (3)在 POB 中，POOB1，POB90 ， 所以 PB1212 2. 同理 PC 2，所以 PBPCBC. 在三棱锥 P- ABC 中，将侧面 BCP 绕 PB 旋转至平面 BCP，使之与平面 ABP 共面，如图所示 当 O，E，C共线时，CEOE 取得最小值 又因为 OPOB，CPCB，所以 OC垂直平分 PB，即 E 为 PB 的中点 从而 OCOEEC2262

19、2 62， 即 CEOE 的最小值为2 62. 21解：(1)因为 f(x)10 3sinx2cosx210cos2x2 5 3sin x5cos x5 10sinx65， 所以函数 f(x)的最小正周期 T2. (2)将 f(x)的图象向右平移6个单位长度后得到 y10sin x5 的图象，再向下平移 a(a0)个单位长度后得到 g(x)10sin x5a 的图象 又已知函数 g(x)的最大值为 2， 所以 105a2，解得 a13. 所以 g(x)10sin x8. 要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 g(x0)0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0，使得 10sin x080，即 sin x045. 由4532知，存在 003，使得 sin 045. 由正弦函数的性质可知， 当