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文档简介

1、导数在研究函数中的应用知识梳理一 函数的单调性1、利用导数的符号判断函数的单调性:一般地,设函数在某个区间可导,如果,则为增函数;如果,则为减函数;如果在某区间内恒有,则为常数;2、对于可导函数来说,是在某个区间上为增函数的充分非必要条件,是在某个区间上为减函数的充分非必要条件。3、利用导数判断函数单调性的步骤:求函数f(x)的导数f(x).令f(x)0解不等式,得x的范围就是递增区间.令f(x)0解不等式,得x的范围,就是递减区间.4、已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略

2、,否则漏解二 函数极大值、极小值1、极大值:如果是函数f(x)在某个开区间上的最大值点,即不等式 对一切成立,就说函数f(x)在处取到极大值,并称为函数f(x)的一个极大值点,为f(x)的一个极大值。 2、极小值:如果是函数f(x)在某个开区间上的最小值点,即不等式 对一切成立,就说函数f(x)在处取到极小值,并称为函数f(x)的一个极小值点,为f(x)的一个极小值。 3、极大值与极小值统称为极值 ,极大值点与极小值点统称为极值点;若,则叫做函数f(x)的驻点;可导函数的极值点必为驻点,但驻点不一定是极值点。4、判别f(c)是极大、极小值的方法:若满足,且在c的两侧的导数异号,则c是的极值点,

3、是极值,并且如果在c两侧满足“左正右负”,则c是的极大值点,是极大值;如果在c两侧满足“左负右正”,则c是的极小值点,是极小值5、求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间,求导数f(x) (2)求f(x)的驻点,即求方程f(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号即都为正或都为负,那么f(x)在这个根处无极值三 函数的最大值和最小值在区间a,b上连续的函数f在a,b上必有最大值与

4、最小值。求闭区间上连续的函数的最大值和最小值的思想方法和步骤:(1)求函数在(a,b)内的极值;(2)求函数在区间端点的值(a)、(b);(3)将函数 的各极值与(a)、(b)比较,其中最大的是最大值,其中最小的是最小值。四三次函数有极值导函数的判别式>03.3.1 利用导数研究函数的单调性典例剖析:题型一 求函数的单调区间例1已知函数y=x+,试讨论出此函数的单调区间.分析:讨论函数的单调区间,可以利用导数来判断解答:y=(x+)=1=令0. 解得x1或x1.y=x+的单调增区间是(,1)和(1,+).令0,解得1x0或0x1.y=x+的单调减区间是(1,0)和(0,1)点评:利用导数

5、讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,再求函数f(x)的导数f(x).,然后解不等式f(x)0,得递增区间,解不等式f(x)0,得递减区间.题型二 已知函数的单调性,求参数的取值范围例2. 若函数在区间内为减函数,在区间上为增函数,试求实数的取值范围分析:常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递增,则;若函数单调递减,则”来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解解答:函数求导得,令得或,因为函数在区间内为减函数,所以当时,又因为在函数区间上为增函数,所以当时,即实数的取值范围5,7点评:已知单调区间求参数a的取值范围是近年来常见的考查导数的一种题型。备选题例3:已知函数f(x

6、)=2ax,x(0,1,若f(x)在x(0,1上是增函数,求a的取值范围;解: 由已知可得f(x)=2a+,f(x)在(0,1)上是增函数,f(x)0,即a, x(0,1.a1.当a=1时,f(x)=2+对x(0,1)也有f(x)0,满足f(x)在(0,1上为增函数,a1.评述:求参数的取值范围,凡涉及函数的单调性、最值问题时,用导数的知识解决较简单.点击双基1.函数y=x+cosx在(-,+)内是( )A 增函数 B减函数 C 有增有减 D 不能确定解:因为=1-sinx0恒成立,故选A2.函数的单调减区间是 ( D )A( B. C, D.以上都不对。 解:(x)=3+2>0恒成立,

7、不存在单调减区间,故选D3.函数 (,则 ( )A B. C D.大小关系不能确定解:(x)=-=<0时x<1,所以(为减区间,又,故选C4.函数的单调增区间是 解:(x)=1+2cosx>0,所以cosx>-; 单调增区间为(0,)5.如果函数y=+lnx-ax在定义域为增函数,则a的取值范围是 解:定义域为(0,=x+-a0,即ax+在定义域(0,上恒成立,又x+最小值为2,所以a23.3.2函数的极大值和极小值第一课时典例剖析题型一 函数极值的求法例1 已知在与时,都取得极值(1) 求的值;(2)若,求的单调区间和极值;分析:可导函数在点取到极值时,;求函数极值时

8、,先求单调区间,再求极值。解:(1)f (x)3x22a xb0由题设,x1,x为f (x)0的解a1,1×()a,b2 (2)f (x)x3x22 xc,由f (1)12c,c1f (x)x3x22 x1x(,)(,1)(1,)f (x)f (x)的递增区间为(,),及(1,),递减区间为(,1)当x时,f (x)有极大值,f ();当x1时,f (x)有极小值,f (1) 评析:列表求单调区间和极值不容易出错。题型二 例2 设函数的图象如图所示,且与在原点相切,若函数的极小值为,(1)求的值;(2)求函数的递减区间分析;从图上可得是函数的极大值点,函数的图象经过(0,0)点且图象

9、与x轴相切于(0,0)点,可先求出的值。解:(1)函数的图象经过(0,0)点 c=0,又图象与x轴相切于(0,0)点,=3x2+2ax+b 0=3×02+2a×0+b,得b=0 y=x3+ax2,=3x2+2ax当时,当时,当x=时,函数有极小值4 ,得a=3(2)=3x26x0,解得0x2 递减区间是(0,2)评析:求出的值后,利用导数就可求出单调区间。备选题例3:已知函数+lnx, 求的极值.解;因为f(x)=-, 令f(x)=0,则x=注意函数定义域为(0,),所以驻点是x=,当x(0, )时f(x)<0, 为减函数,当x(,+)时f(x)>0, 为增函数

10、,所以x=是极小值点,的极小值为f()=(1+ln2),没有极大值。评析:注意函数的定义域点击双基1、函数y=1+3x-x有 ( )A极大值1,极小值-1, B。极小值-2,极大值2C极大值3 ,极小值 2, D。极小值-1,极大值3解:=-3+3,令=0得x= -1或x=1,易得x= -1是极小值点,x=1.是极大值点,故选D,2、函数y=3+mx+x有极值的充要条件是 ( )A m>0 B m<0 C m0 D, m0解:=3+m=0则方程要有两解,函数y=3+mx+x才有极值。所以m<0,故选B3、 f(x)在区间(a,b)的图像如右Y则f(x) 在区间(a,b)内有极

11、大值点( )A 2个 B。3个 C 4个 D 1个aABCD x0b解:A,B,D三点左右导数异号,是极值点,其中A,D是极大值点B是极小值点。注意C不是极值点,故选A4、y=x+的极大值为极小值为解:=1-=0,则x=-2或x=2, x=-2是极大值点,所以极大值为-4,x=2是极小值点,所以极小值为4.5、若函数在处有极大值,则常数的值为_;解;,时取极小值, 时取极大值,故常数的值为6典例剖析:题型一 函数最大值和最小值的求法例1 (1) 求f(x)x33 x29 x 5在4,4上的最大值和最小值(2) 求函数在上的最大值和最小值分析:求闭区间上函数最大最小值的方法为: 求出导数为0的点

12、和导数不存在的点, 求出导数为0的点和导数不存在的点及端点的函数值, 比较它们的大小。解答:(1)f(x)3 x2 6 x 93(x 1)(x 3)令f(x)0得x11,x23 f(x)在x 1处有极大值f(1)10f(x)在x 3处有极小值f(3)22在区间端点处f(4)71,f(4)15比较上述结果得:f(x)在4,4上的最大值为f(1)10,最小值为f(4)71(2) 当时,由得, 为不存在的点由于所以,函数的最大值是最小值是点评:利用导数求最值问题是导数的一个重要应用。题型二 函数最大值和最小值的综合应用例2已知在区间上最大值是5,最小值是11,求的解析式.分析:先讨论在区间上的单调性

13、,再求最大值和最小值。解 令=0,得 若a>0,0+0-极大 因此f(0)必为最大值,f(0)=5,得b=5, 若a<0,同理可得f(0)为最小值, f(0)=-11,得b=-11, 评析:函数的单调性要借助导数的符号,故要对a的符号进行讨论。备选题点击双基1、函数在区间上的最小值为( )A B C D 解: 得而端点的函数值,得,故选D2、函数y=1+3xx3有( )A.极小值2,极大值2 B.极小值2,极大值3C.极小值1,极大值1 D.极小值1,极大值3解:y=33x2=3(1+x)(1x).令y=0得x1=1,x2=1.当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数;当1x1

14、时, y0,函数y=1+3xx3是增函数;当x1时,y0,函数y=1+3xx3是减函数.当x=1时,函数y=1+3xx3有极小值1;当x=1时,函数y=1+3xx3有极大值3,故选D3、下列结论正确的是()A若是在上的极大值点,则是在上的最大值B若是在上的极大值点,则是在上的最大值C若是在上唯一的极大值点,则是在上的最大值D若是在上唯一的极大值点,且在上无极小值点,则是在上的最大值 解:故选D4、函数的最小值为_。解:在恒成立,为增函数,故最小值为5、函数在区间上的最大值是 。解:,比较处的函数值,得课外作业一选择题1、在区间上的最大值是( )(A)-2 (B)0 (C)2 (D)4解:,令可

15、得x0或2(2舍去),当1£x<0时,>0,当0<x£1时,<0,所以当x0时,f(x)取得最大值为2,故选C2、已知f(x)=2x36x2+m(m为常数)在2,2上有最大值3,则m值是( )A.37 B.29 C.5 D.3解: 或,故,故选D3、函数在内有最小值,则的取值范围是( )A B C D 解:,故选B 4、函数f(x)=x2-4x+1在1,5的最大值和最小值分别为 ( )A、f(1),f(5) B、f(2),f(5) C、f(1),f(2) D、f(5),f(2)解:由二次函数可得,故选D5、方程的实根的个数是(  

16、 )A  3   B  2    C  1    D   0解:设f(x)= , 方程f (x)=0的=4>0,方程的两根,并且的系数大于0,则函数f (x)的图象为先增后减再增,且在x=1取得极大值,在x=3取得极小值,又f (3)=-10<0,由此可得出函数f (x)的简图。可知方程x3-6x2+9x-10=0有三个实根,故选A6、设M,m分别是函数在上的最大值和最小值,若,则A、等于0 B、小于0 C、等于1 D、不确定解:因为,所以为常数函数,故

17、,故选A7、函数的最大值为( )A B C D解:令,当时,;当时,在定义域内只有一个极值,所以,故选A8、函数,在上的最大、最小值分别为 A.、 B、 C、 D、解:,讨论点,故选B.二填空题9、函数的最大值是_。解:,当时,的最大值是210、函数f(x)=x在-2,2上的最小值为_解:=-1,x>0时>0;x<0时<0.x=0是极小值点,也是最小值点。最小值为1。11、对于总有0 成立,则= 解:若x0,则不论取何值,0显然成立;当x0 即时,0可化为,设,则, 所以 在区间上单调递增,在区间上单调递减,因此,从而4;三解答题12、求函数在内的最小值解:在上,令得当

18、时,;当时,故在处取得极小值则函数在点处取得最小值13、已知在时有极大值6,在时有极小值,求 的值;并求在区间3,3上的最大值和最小值.解:(1)由条件知 (2),x3(3,2)2(2,1)1(1,3)3006由上表知,在区间3,3上,当时,时,14、已知:f(x)=log3,x(0,+).是否存在实数a、b,使f(x)同时满足下列两个条件:(1)f(x)在(0,1)上是减函数,在1,+)上是增函数;(2)f(x)的最小值是1,若存在,求出a,b,若不存在,说明理由.解:设g(x)=f(x)在(0,1)上是减函数,在1,+)上是增函数g(x)在(0,1)上是减函数,在1,+)上是增函数.x=1

19、是g(x)的极小值点, 解得经检验,a=1,b=1时,f(x)满足题设的两个条件.思悟小结求可导函数f(x)的最值的方法:(1)求f(x)在给定区间内的极值;(2)将f(x)的各极值与端点值比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.3.4生活中的优化问题举例知识梳理1、在生产实践及科学实验中,常遇到质量最好、用料最省、效益最高、成本最低、利润最大、投入最小等问题,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题,通常称为优化问题。解决优化问题的常见方法有判别式方法、平均不等式方法、线性规范方法、差分方法、利用二次函数的性质和利用单调性等。2、不少优化问题,可以化为求函数最值问题,对

20、于函数的最值问题,多利用函数的图像、性质以及不等式的性质来解题。其中求导数是求函数最大(小)值的有力工具。导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题。主要有以下几个方面:与几何有关的最值问题;与物理学有关的最值问题;与利润及其成本有关的最值问题;效率最值问题等。3、利用导数解决优化问题的基本思路:建立数学模型利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系;(2)求函数的导数,解方程;(3)比较函数在区间端点和使的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值。解决生活中的优化问题应当注意的

21、问题:(1)在求实际问题的最大值、最小值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际问题的值应舍去;(2)在实际问题中,有时会遇到函数在区间内只有一个点使的情形,如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点值比较,也可以知道这就是最大(小)值;(3)在解决实际优化问题时,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示,还应该确定函数关系式中自变量的定义区间。典例剖析:题型一 面积最小问题例1 如图,等腰梯形的三边分别与函数,的图象切于点.求梯形面积的最小值。 解:设梯形的面积为,点P的坐标为。由题意得, 点的坐标为,直线的方程为。 直线的方程为即: 令 得,令 得,当且仅当,即时,取“=”且,

22、 时,有最小值为.梯形的面积的最小值为。 评析:本题用不等式求最小值,也可以用导数求最小值。题型二 最大利润问题例2 某工厂生产某种产品,已知该产品的月生产量x(t)与每吨产品的价格p(元/t)之间的关系式为:p=24200x2,且生产x t的成本为:R=50000+200x(元).问该产品每月生产多少吨才能使利润达到最大?最大利润是多少?(利润=收入成本)解:每月生产x吨时的利润为f(x)=(24200x2)x(50000+200x)=x3+24000x50000(x0).由f(x)=x2+24000=0,解得x1=200,x2=200(舍去).f(x)在0,+)内只有一个点x1=200使f(x)=0,它就是最大值点.f(x)的最

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