平面向量共线的坐标表示

1、平面向量共线的坐标表示教学目标1用坐标表示两向量共线(重点)2根据平面向量的坐标判断向量共线(难点)3两直线平行与两向量共线的判定(易混点)基础·初探教材整理平面向量共线的坐标表示阅读教材P98“思考”以下至“例6”以上内容，完成下列问题1设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0，a、b共线，当且仅当存在实数，使ab2如果用坐标表示，可写为(x1，y1)(x2，y2)，当且仅当x1y2x2y10时，向量a、b(b0)共线注意：对于2的形式极易写错，如写成x1y1x2y20或x1x2y1y20都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减判断(正确的打“”，错误的

2、打“×”)(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线()(2)向量(2，3)与向量(4，6)反向()解：(1)正确因为(4，8)4(1，2)，所以向量(1，2)与向量(4，8)共线(2)正确因为(4，6)2(2，3)，所以向量(2，3)与向量(4，6)反向【答案】(1)(2)小组合作型判定直线平行、三点共线(1)已知A(1，3)，B，且A，B，C三点共线，则C的坐标可以是()A(9，1)B(9，1)C(9，1)D(9，1)(2)已知四点坐标A(1，1)、B(1，5)、C(2，1)、D(4，11)，请判断直线AB与CD是否平行？(3)已知A(1，1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，

3、7)，向量与平行吗？直线AB平行于直线CD吗？(1)利用向量的平行条件x1y2x2y10，可证明有公共点的两个平行向量共线，从而可证明三点共线(2)判定两直线平行，先判定两向量平行，再说明两向量上的相关点不共线解：(1)设点C的坐标是(x，y)，因为A，B，C三点共线，所以.因为(1，3)，(x，y)(1，3)(x1，y3)，所以7(y3)(x1)0，整理得x2y7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C【答案】C(2)因为(1，5)(1，1)(2，4)，(4，11)(1，1)(5，10)，(2，1)(1，1)(1，2)，所以2，5.所以.由于与、有共同的起点A，所以A、B、C、D四点共线，因

4、此直线AB与CD重合(3)因为(1(1)，3(1)(2，4)，(21，75)(1，2)又因为2×24×10，所以.又因为(1(1)，5(1)(2，6)，(2，4)，所以2×42×60，所以A，B，C不共线，所以AB与CD不重合，所以ABCD三点共线的条件以及判断方法：若已知三点的坐标，判断其是否共线可采用以下两种方法：(1)直接利用上述条件，计算(x2x1)(y3y1)(x3x1)(y2y1)是否为0；(2)任取两点构成向量，计算出两向量如，再通过两向量共线的条件进行判断再练一题1设O是坐标原点，(k，12)，(4，5)，(10，k)，当k为何值时，A，

5、B，C三点共线？ 解：(4k，7)，(10k，k12)，又A，B，C三点共线，由两向量平行的充要条件，得(4k)(k12)7(10k)0，解得k2或k11.当k2或k11时，A，B，C三点共线已知平面向量共线求参数(1)已知向量a(x，3)，b(3，x)，则存在实数x，使ab；存在实数x，使(ab)a；存在实数x，m，使(mab)a；存在实数x，m，使(mab)b.其中，所有叙述正确的序号为_(2)已知a(1，2)，b(3，2)，当k为何值时，kab与a3b平行？平行时它们是同向还是反向？(1)可利用向量共线定理列方程判断方程解的情况来解决(2)方法一：可利用b与非零向量a共线等价于ba(&g

6、t;0，b与a同向；<0，b与a反向)求解；方法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用ba判定同向还是反向解：(1)由abx29无实数解，故不对；又ab(x3，3x)，由(ab)a得3(x3)x(3x)0，即x29无实数解，故不对；因为mab(mx3，3mx)，由(mab)a得(3mx)x3(mx3)0.即x29无实数解，故不对；由(mab)b得3(3mx)x(mx3)0，即m(x29)0，所以m0，xR，故正确【答案】(2)法一：kabk(1，2)(3，2)(k3，2k2)，a3b(1，2)3(3，2)(10，4)，当kab与a3b平行时，存在唯一实数，使kab(a3b)由(k3，

7、2k2)(10，4)，所以解得k.当k时，kab与a3b平行，这时kabab(a3b)，因为<0，所以kab与a3b反向法二：由题知kab(k3，2k2)，a3b(10，4)，因为kab与a3b平行，所以(k3)×(4)10×(2k2)0，解得k.这时kab(a3b)所以当k时，kab与a3b平行，并且反向利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理ab(b0)列方程组求解(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2x2y10直接求解再练一题2(1)已知向量a(1，2)，b(2，3)，若向量ab与向量c(4，7)共线，则_(2)已知向量a(1，2)，b(3，

8、4)，若(3ab)(akb)，求实数k的值解：(1)a(1，2)，b(2，3)，ab(，2)(2，3)(2，23)向量ab与向量c(4，7)共线，7(2)4(23)0，2.【答案】2(2)3ab(0，10)，akb(13k，24k)，因为(3ab)(akb)，所以0(1030k)0，所以k.向量共线的综合应用如图2319所示，已知点A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标图2319要求点P的坐标，只需求出向量的坐标，由与共线得到，利用与共线的坐标表示求出即可；也可设P(x，y)，由及，列出关于x，y的方程组求解解：法一：由O，P，B三点共线，可设(4，4)，则(44

9、，4)，(2，6)由与共线得(44)×64×(2)0，解得，所以(3，3)，所以P点的坐标为(3，3)法二：设P(x，y)，则(x，y)，因为(4，4)，且与共线，所以，即xy.又(x4，y)，(2，6)，且与共线，则得(x4)×6y×(2)0，解得xy3，所以P点的坐标为(3，3)1关于解决两线段的交点问题可以用解析几何的知识联立两直线方程求交点的坐标；也可以使用对应向量共线列等式，再解方程组求解2本例利用了向量共线定理，已知四边形四个顶点坐标求对角线交点坐标的向量解法，为我们展示了向量的坐标运算在解决平面几何、平面解析几何问题中的应用，在以后学习中应

10、加以体会运用再练一题3如图2320，已知A(4，5)，B(1，2)，C(12，1)，D(11，6)，求AC与BD的交点P的坐标图2320解：设(111，62)(10，4)易得(11，1)，(1011，41)又(8，4)，而与共线，4×(1011)8×(41)0，解得.设点P的坐标为(xp，yp)，(5，2)(xp1，yp2)，即故点P的坐标为(6，4)探究共研型共线向量与中点坐标公式探究1设P1、P2的坐标分别是(x1，y1)、(x2，y2)，如何求线段P1P2的中点P的坐标？【提示】如图所示，P为P1P2的中点，()，线段P1P2的中点坐标是.探究2设P1，P2的坐标分别

11、是(x1，y1)、(x2，y2)，点P是线段P1P2的一个三等分点，则P点坐标是什么？【提示】点P是线段P1P2的一个三等分点，分两种情况：当时，()；当时，().探究3当时，点P的坐标是什么？【提示】()，(x1，y1)(x2，y2)，P.已知点A(3，4)与点B(1，2)，点P在直线AB上，且|2|，求点P的坐标点P在直线AB上，包括点P在线段AB内和在线段AB的延长线上，因此应分类讨论解：设P点坐标为(x，y)，|2|.当P在线段AB上时，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，2，(x3，y4)2(1x，2y)，解得P点坐标为(5，8)综上所述，点

12、P的坐标为或(5，8)在求有向线段分点坐标时，不必过分强调公式记忆，可以转化为向量问题后解方程组求解，同时应注意分类讨论再练一题4已知ABC的三个顶点坐标依次为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，求ABC的重心G的坐标解：延长AG交BC于点D，G为ABC的重心，D为BC的中点，()()().综上所述，G的坐标为.构建·体系1下列满足平行的一组向量是()Aa(1，4)，b(504，2 016)Ba(2，3)，b(4，6)Ca(1，2)，b(1 008，2 016)Da(1，4)，b(3，12)解：A中，因为x1y2x2y11×(2 016)504×

13、(4)0，ab；B中，因为x1y2x2y12×(6)4×3240，a与b不平行；C中，因为x1y2x2y11×2 016(1 008)×24 0320，a与b不平行；D中，因为x1y2x2y11×123×4240，a与b不平行【答案】A2设kR，下列向量中，与向量a(1，1)一定不平行的向量是() 【导学号：00680052】Ab(k，k)Bc(k，k)Cd(k21，k21)De(k21，k21)解：由向量共线的判定条件，当k0时，向量b，c分别与a平行；当k±1时，向量e与a平行对任意kR，1·(k21)1

14、83;(k21)0，a与d不平行【答案】C3已知a(6，2)，b(m，3)，且ab，则m()A9B9C3D3解：因为a(6，2)，b(m，3)，若ab则6×(3)2m0，解得m9.【答案】B4与向量a(1，2)平行，且模等于的向量为_解：因为所求向量与向量a(1，2)平行，所以可设所求向量为x(1，2)，又因为其模为，所以x2(2x)25，解得x±1.因此所求向量为(1，2)或(1，2)【答案】(1，2)或(1，2)5已知向量a(1，2)，b(x，1)，ua2b，v2ab，且uv，求实数x的值解：因为a(1，2)，b(x，1)，ua2b(1，2)2(x，1)(2x1，4)，

15、v2ab2(1，2)(x，1)(2x，3)又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，解得x.学业分层测评学业达标一、选择题1已知向量a(2，3)，b(1，2)，若ma4b与a2b共线，则m的值为()AB2CD2解：ma4b(2m4，3m8)，a2b(4，1)，由ma4b与a2b共线，有(2m4)4(3m8)，解得m2，故选D【答案】D2已知A，B，C三点共线，且A(3，6)，B(5，2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A13B9C9D13解：设C(6，y)，又(8，8)，(3，y6)，8×(y6)3×80，y9.【答案】C3已知向量a(1sin ，1)，b，且ab

16、，则锐角等于()A30°B45°C60°D75°解：由ab，可得(1sin )(1sin )0，即cos ±，而是锐角，故45°.【答案】B4(2016·马鞍山期末)已知向量a(1，2)，b(m，4)，且ab，那么2ab()A(4，0)B(0，4)C(4，8)D(4，8)解：由ab知42m0，m2，2ab(2，4)(2，4)(4，8)故选C【答案】C5如果向量a(k，1)，b(4，k)共线且方向相反，则k等于()A±2B2C2D0解：由a，b共线得k24，又两个向量的方向相反，故k2.故选C【答案】C二、填空题6已

17、知向量a(2，3)，ba，向量b的起点为A(1，2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为_解：由ba，可设ba(2，3)设B(x，y)，则(x1，y2)b.由又B点在坐标轴上，则120或320，所以B或.【答案】或7向量a(1，2)，向量b与a共线，且|b|4|a|，则b_解：因为ba，令ba(，2)，又|b|4|a|，所以()2(2)216(14)，故有216，解得±4，b(4，8)或(4，8)【答案】(4，8)或(4，8)三、解答题8已知点A(1，2)，B(2，8)及，求点C，D和的坐标解：设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由题意可得(x11，y12)，(3，6)，(1x2，

18、2y2)，(3，6)，因为，所以(x11，y12)(3，6)(1，2)，(1x2，2y2)(3，6)(1，2)，则有和解得和所以点C，D的坐标分别为(0，4)和(2，0)，所以(2，4)9如图2321，在OCB中，A是CB的中点，D是OB的靠近B点的一个三等分点，DC与OA交于点E，若，求实数的值图2321解：C、E、D三点共线，存在实数x，有x，x()，x，又A是CB的中点，·()x，xx，10，.能力提升1(2016·温州高一检测)若i2j，(3x)i(4y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单位向量).与共线，则x，y的值可能分别为()A1，2B2，2C3，2D2，4解：因为(1，2)